(福建专用)2019高考数学一轮复习第八章立体几何8.7空间几何中的向量方法课件理新人教A版.ppt
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1、8.7 空间几何中的向量方法,-2-,知识梳理,考点自测,1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线l上的非零向量e以及与 的非零向量叫做直线l的方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线 平面,那么称向量n垂直于平面,记作 .此时把 叫做平面的法向量.,e共线,垂直于,n,向量n,-3-,知识梳理,考点自测,2.线面关系的判定 设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面的法向量为n2=(x2,y2,z2). (1)若l1l2,则e1e2 . (2)若 l1l2,则e1e2 .
2、(3)若l1,则e1n1e1n1=0 . (4)若l1,则e1n1e1=kn1 . (5)若,则n1n2n1=kn2 . (6)若,则n1n2n1n2=0 .,e2=e1,a2=a1,b2=b1,c2=c1,e1e2=0,a1a2+b1b2+c1c2=0,a1x1+b1y1+c1z1=0,a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1,x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2,x1x2+y1y2+z1z2=0,-4-,知识梳理,考点自测,3.利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 范围:两条异面直线所成的角的取值范围是 . 向量求法:设异面直线a,b的方向向量为a,b,直线a与b的夹角为,
3、a与b的夹角为,则有cos = . (2)直线与平面所成的角 范围:直线与平面所成的角的取值范围是 . 向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线l与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有sin = 或cos =sin .,|cos |,|cos |,-5-,知识梳理,考点自测,(3)二面角 范围:二面角的取值范围是 . 向量求法: 若AB,CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图). 设n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则图中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图中向量n1与n2的夹角的大
4、小就是二面角的平面角的大小.,0,-6-,知识梳理,考点自测,4.利用空间向量求距离 (1)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离为 (2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.,-7-,知识梳理,考点自测,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.( ) (4)若空间向量a垂直于平面,则a所在直线与平面垂直.( ) (5)两条直线的方向向量的夹
5、角就是这两条直线所成的角.( ),答案,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.(2017山东临沂模拟)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为n=(-2,0,-4),则( ) A.l B.l C.l D.l与斜交,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) A.斜交 B.平行 C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内,答案,解析,-11-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.在正三棱柱AB
6、C-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( ),答案,解析,-12-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.已知P是二面角-AB-棱上的一点,分别在平面,上引射线PM,PN,如果BPM=BPN=45,MPN=60,那么二面角-AB-的大小为 .,答案,解析,-13-,考点1,考点2,考点3,例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,ABC=BCD=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30.求证:(1)CM平面PAD; (2)平面PAB平面PAD.,-14-,考点1,考
7、点2,考点3,证明: 以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角. PBC=30.,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法? 解题心得1.用向量证明平行的方法 (1)线线平行:证明两直线的方向向量共线. (2)线面平行:证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行. (3)面面平行:证明两平面的法向量为共线向量;转化为线面平行、线
8、线平行问题. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. (2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.,-18-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(2017广东深圳模拟)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN平面A1B1C1; (2)平面MBC1平面BB1C1C.,-19-,考点1,考点2,考点3,证明: 由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直
9、角坐标系.不妨设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1). (1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA1底面A1B1C1.,-20-,考点1,考点2,考点3,(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1). 因为n1n2=20+11+(-1)1=0,所以n1n2,所以平面MBC
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