贵州省凯里市第一中学2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题文（含解析）.doc

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1、- 1 -凯里一中 2017-2018 学年度第二学期期末考试试卷高二文科数学一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分。其中每小题只有一个正确选项）1. 已知集合 ， 则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用对数函数的定义域化简集合 ，求出其补集，利用交集的定义求解即可.详解：因为 ，又因为集合 ，故选 C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素的集合.2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. D.

2、【答案】B【解析】分析：利用 化简复数 ，利用复数模的计算公式求解即可.详解：因为 ，故选 B.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知 是公差为 的等差数列， 为数列 的前 项和，若 ， 则 （ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由 是公差为 的等差数列， ，可得 ，解得 ，利用等差数列求和公式求解即可.详解： 是公差为 的等差数列， ，解得 ，则

3、 ，故选 D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.4. 设 ，向量 ， ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先根据向量垂直的充要条件求出 的坐标，进一步求出，利用向量模的坐标表示可得结果.详解：已知 ，由于 ，解得 ， ，故选 A.点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答.5. 若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答

4、案】C- 3 -【解析】 =1, 1，a0，0 c1， 故选：C6. 某几何体的三视图及尺寸大小如右图所示，则该几何体的体积为 （ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，结合图中数据利用棱锥的体积公式求解即可.详解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，且底面直角梯形的上底边为 ，下底边为 ，梯形的高为 ，四棱锥的高为 ，该四棱锥的体积为 ，故选 C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察

5、三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量 （单位：度）与气温 （单位： ）之间的关系，随机选取了 天的用电量与当天气温，并制作了对照表：- 4 -由表中数据得线性回归方程： ，则由此估计：当气温为 时，用电量约为 ( )A. 度 B. 度 C. 度 D. 度【答案】A【解析】分析：利用平均数公式求出样本中

6、心点的坐标，代入回归方程可得 ，从而可得回归方程，再将 代入所求方程即可得结果详解：样本平均数 ，即样本中心 ，则线性回归方程 过 ，则 ，即 ，回归方程为 ，时， ，故选 A.点睛：本题主要考查线性回归方程的应用，根据平均数公式求出样本中心，根据样本中心的性质求出 的值是解答本题的关键.8. 设 ，若 是 和 的等比中项，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 是 和 的等比中项， 又， ，当且仅当 ，即 时等号成立.本题选择 C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均- 5 -为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”

7、，若忽略了某个条件，就会出现错误9. 已知函数 最小正周期为 ，则函数 的图象( )A. 关于直线 对称 B. 关于直线 对称C. 关于点 对称 D. 关于点 对称【答案】D【解析】分析：利用两角和的正弦公式化简 ，由 可得结果.详解：化简可得 ，由周期公式可得 ，解得 ，故 ，由 ，可得 错误，令 ，可得对中心横坐标为 ，令 得 ，所以函数 的图象关于点 对称，故选 D.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数 可求得函数的周期为 ；由 可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐标.10. 设圆 上的动点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案

8、】B【解析】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值.详解：由题意得，圆 ，- 6 -即 ，圆心为 ，半径 ，由圆心到直线的距离 ，圆上动点到直线的最小距离为 ，最大距离为 ，即 的取值范围是 ，故选 B.点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11. 双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，知双曲线的一条渐近线为 联立 ，得到： ，由相切，得 ,解得： ，

9、 .故选：D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 已知 是定义在 上的偶函数，且满足 ，若当 时， ，则函数 在区间 上零点的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：函数 在区间 上零点的个数 函数的图象与 的图象交点个数,根据奇偶性与周期性画出图象，利用数形结合思想求解即可.- 7 -详解：函数 在区间 上零点的个数 函数的图象与 的图象交点个数，因为 ，所

10、以，可得 是周期为 的函数，且 是偶函数，由 时， ， 作出 与 图象如图，可知每个周期内有 个交点，所以函数 ，在区间 上零点的个数为 ，故选 D.点睛：判断方程 零点个数 的常用方法： 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数 零点个数就是方程 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；数形结合法： 一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题(本题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分）13. 曲线

11、在 处的切线方程为_【答案】【解析】分析：求出 ,由 的值可得切点坐标，求出 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线 在点 处的切线方程.详解： ，曲线 在点 处的切线的斜率为 ，- 8 -曲线 在点 处的切线的方程为 ，即为 ，故答案为 .点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ） ；（2）由点斜式求得切线方程 .14. 已知变量 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】【解析】分析：画出可行域，将 变形为 ， 平移直线 ，由图可知当

12、直 经过点 时，直线在 轴上的截距最小，从而可得结果.详解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） ，由 ，解得 ，即 ，由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 在 轴上的截距最小.将 的坐标代入目标函数- 9 -可得 ，即 的最小值为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.

13、已知正项等比数列 的前 项和为 ，.若 ，且 则 =_【答案】【解析】分析：根据 ，且 列出关于首项 ，公比 的方程组，解得 、的值，即可得结果.详解：设正项等比数列 的首项 ，公比 ，因为 ，且所以 ，解得 ，故答案为 .点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 ，一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，以 为圆心， 为

14、半径的圆交 于 两点，若 ，且 的面积为 ，则此抛物线的方程为_【答案】【解析】分析：根据抛物线的定义可得 ， 是等边三角形，由 的面积为 可得 从而得 进而可得结果.- 10 -详解：因为以 为圆心， 为半径的圆交 于 两点， ，由抛物线的定义可得，是等边三角形，的面积为 ，到准线的距离为此抛物线的方程为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查抛物线的标准方程、定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离

15、，使问题得到解决.三、解答题（本题共 6 个小题，满分 70 分）17. 在 中，角 所对的边分别为 ，满足 .（1）求角 的大小； （2）若 ，且 ，求 的面积.【答案】 （ ） （）【解析】分析：（）由 ，利用正弦定理可得 ，从而得，进而可得结果；（）结合（）由余弦定理可得 ，即 ， .详解：（I）由题意得： .，即又 ，- 11 -() ， ，即点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是

16、二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18. 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明” ，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取 100 名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次 6 次及以上男 10 8 7 3 2 15女 5 4 6 4 6 30合计 15 12 13 7 8 45（）把每周使用移动支付超过 3 次的用户称为“移动支付活跃用户” ，由以上数据完成下列 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？移动支付活跃用户 非移动支付活跃用户 总

17、计男女总计 100（）把每周使用移动支付 6 次及 6 次以上的用户称为“移动支付达人” 为了做好调查工作，决定用分层抽样的方法从“移动支付达人”中抽取 6 人进行问卷调查，再从这 6 人中选- 12 -派 2 人参加活动求参加活动的 2 人性别相同的概率？附公式及表如下：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】 （ ）在犯错误概率不超过 0.005 的前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关，（）【解析】分析：（）根据样本数据制成 列联表，根据公式计算 的值；查

18、表比较 与临界值的大小关系，作统计判；（）利用分层抽样确定抽取人数，利用列举法可得基本事件共 个，其中参加活动的 人性别相同有共 个，由古典概型概率公式可得结果.详解：（I）由表格数据可得 列联表如下：非移动支付活跃用户 移动支付活跃用户 合计男 25 20 45女 15 40 55合计 40 60 100将列联表中的数据代入公式计算得：所以在犯错误概率不超过 0.005 的前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关. （II）抽取的男生人数为 ，设为 A，B；- 13 -抽取的女生人数为 ， 设为则有基本事件共 15 个，其中参加活动的 2 人性别相同有共 7 个，设事件 为“从 6 人中

19、选派 2 人参加活动参加活动的 2 人性别相同”则点睛：本题主要考查独立性检验的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ，. ，再 ， 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19. 如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱） ABC-A1B1C1中，已知 AB=AA1=2，点 Q 为BC 的中点 （）求证：平面 平面 ； （）求点 到平面 AQC1

20、的距离【答案】 （ ）见解析（）【解析】分析：（）由等腰三角形的性质可得 ，由线面垂直的性质可得 ，从而可得 平面 ，由面面垂直的判定定理可得结果；（）设点 到平面 AQC1的- 14 -距离为 ，由（I）知， 平面 ，则 , ，利用 可得结果.详解：（I）由题意知： ， 为 的中点， .由 平面 得： 平面 ，且 平面 ，又 平面 ，平面 平面 （II）设点 到平面 AQC1的距离为 ，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中， 平面 ，故 为三棱锥 C1-ABQ 的高。由（I）知， 平面 ，则 ,易求得故 ，因为 ，所以 ，即 ，则点睛：本题主要考查空间垂直关系以及“等积变换”变换的应用，属于中

21、档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.20. 已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为 （）求椭圆 的方程； （）已知直线 与椭圆 交于 两点，若点 的坐标为，则 是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由【答案】 （ ） （）定值为- 15 -【解析】分析：（）根据离心率为 ，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为，结合性质 与椭圆的定义 ，列出关于 、 、 的方程组，求出 、 、，即可得结果；（）由 ， 消去 y 得 ，由平面向量数量积公式，

22、利用韦达定理化简可得 .详解：（I）由题意得： ， 由解得： ，椭圆 的方程为（II）由 ，消去 y 得， 设 ， ， 则 ，所以- 16 -所以 为定值，定值为 。点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数 （）讨论函数 的单调性；（）若函数 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （ ）当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减（）

23、【解析】分析：（）求出 ，分两种情况讨论 的范围，在定义域内，分别令 求得的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（）若函数恒成立，则有 ，由（）知，当 时，函数 有最大值，且从而可得结果 .详解：（I） ，当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，此时，函数 在 上单调递增；在 上单调递减综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减.（2）若函数 恒成立，则有由（）知，当 时，函数 有最大值，且 解之得， 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题不等式- 17 -恒成立

24、问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可 )； 讨论最值 或恒成立； 讨论参数.（二）选做题（10 分） 。请考生在第 22，23 题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，圆 的极坐标方程为（）将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；（）过点 作斜率为 直线 与圆 交于 两点，试求 的值.【答案】 （ ） （）【解析】分析：（）由 得 ， 即 ，利用可得结果；（） （ 为参数） ，代入圆的方程 ，整理得 ，利用直线参数方程的几何意义，结合韦达定理

25、即可得结果.详解：（）由 得 ， 即 ， 又因为 ，所以曲线 的直角坐标方程为 ，即 .（）由题意可知直线 的标准参数方程为 （ 为参数） ，代入圆的方程 整理得 ， 设 两点对应的参数分别为 ， ，则有 ，- 18 -由参数 的几何意义知点睛： 本题考查参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的几何意义，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可.23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 （ 为常数） （）当 时，求不等式 的解集；（）当 时，若函数 的最小值为 ，正数 满足 ，证明 【答案】 （ ） 或 （）见解析【解析】分析：（）对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（）当 ， ，可得 ，由基本不等式可得结果.详解：（）当 ，即求解当 时,当 时, ； 当 时, .综上,解集为 或 . （）证明：当 ，所以 ，即 所以 点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想- 19 -