2019高考数学一轮复习第8章立体几何第8课时空间向量的应用二空间的角与距离练习理.doc

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1、1第8课时 空间向量的应用(二) 空间的角与距离1在正方体ABCDA 1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin ， 的值等于( )DB1 CM A. B.12 21015C. D.23 1115答案 B解析 分别以DA，DC，DD 1为x，y，z轴建系，令AD1， (1，1，1)， (1， ，0)DB1 CM 12cos ， .DB1 CM 1 12352 1515sin ， .DB1 CM 210152已知直四棱柱ABCDA 1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA 12AB，E为AA 1的中点，则异面直线BE与CD 1所成角的余弦值为( )A. B.1010 15C. D.3 101

2、0 35答案 C解析 如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设AA 12AB2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，2) (0，1，1)， (0，1，2)BE CD1 cos ， .BE CD1 1 225 3 10103若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于( )A120 B60C30 D150答案 C解析 设直线l与平面所成的角为，则sin|cos120| ，又090.30.124(2018天津模拟)已知长方体ABCDA 1B1C1D1中，ABBC4，CC 12，则直线BC 1与平面DBB 1D1所成角的正弦

3、值为( )2A. B.32 52C. D.105 1010答案 C解析 由题意，连接A 1C1，交B 1D1于点O，连接BO.在长方体ABCDA 1B1C1D1中，ABBC4，C 1OB 1D1.易得C 1O平面DBB 1D1，C 1BO即为直线BC 1与平面DBB 1D1所成的角在RtOBC 1中，OC 12 ，BC 12 ，直线BC 1与平面DBB 1D1所成角的正弦值为 ，故选C.2 51055.(2018辽宁沈阳和平区模拟)如图，在正四棱柱ABCDA 1B1C1D1中，AB2，BB 14，则直线BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( )A. B.13 33C. D.63 2 23答

4、案 A解析 如图所示，建立空间直角坐标系则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，4)，B(2，2，0)，B 1(2，2，4)， (2，2，0)AC ， (2，0，4)， (0，0，4)AD1 BB1 设平面ACD 1的法向量为 n(x，y，z)，则 nAC 0，nAD1 0， )即 取x2，则y2，z1，故 n(2，2，1)是平面ACD 1的一个法向量 2x 2y 0， 2x 4z 0， )设直线BB 1与平面ACD 1所成的角是，则sin|cos n， | .故选A.BB1 |nBB1 |n|BB1 | 494 136若正三棱柱ABCA 1B1C1的所有棱长都相等，D是A 1C

5、1的中点，则直线AD与平面B 1DC所成角的正弦值为( )A. B.35 45C. D.34 55答案 B解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B 1D平面ACD，B 1DDC，故B 1DC为直角三角形设棱长为1，则有AD ，B 1D ，DC ，SB 1DC .52 32 52 12 32 52 1583设A到平面B 1DC的距离为h，则有VAB 1DCVB 1ADC， hSB 1DC B1DSADC .13 13 h ，h .13 158 13 32 12 25设直线AD与平面B 1DC所成的角为，则sin .hAD 45向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直

6、角坐标系设各棱长为2，则有A(0，1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B 1( ，0，2)3设 n(x，y，z)为平面B 1CD的法向量，则有 n(0，2，1)nCD 0，nCB1 0) y 2z 0，3x y 2z 0)sin ， n .AD AD n|AD |n| 457(2018山东师大附中模拟，理)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCD，ADCD ，AB ，PA ，DAAB，点Q在PB上，且满足PQQB13，则102 10 6直线CQ与平面PAC所成角的正弦值为_答案 13052解析 方法一：如图，过点Q作QHCB交PC于点H.DAAB，DCAB，在RtADC

7、中，AC .AD2 CD2 5PA平面ABCD，在RtPAC中，PC .PA2 AC2 11取AB的中点M，连接CM，DCAB，CMAD ，102在RtCMB中，CB ，CM2 MB2 5又PB 2PA 2AB 216，PC 2CB 2PB 2，CBPC.QHBC，QHPC.PACB，PAQH.由可得，QH平面PAC，QCH是直线CQ与平面PAC所成的角QH BC ，HC PC ，CQ ，sinQCH .14 54 34 3 114 QH2 HC2 262 QHCQ 13052方法二：以A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，

8、P(0，0， )，C( ， ，0)，B(0， ，0)，6102 102 104PQ PB，Q(0， ， )，可知平面PAC的一个法向量为 m(1，1，0)，又 ( ， ，14 104 3 64 CQ 102 104)，3 64|cos m， | ，故直线CQ与平面PAC所成角的正弦值为 .CQ |mCQ |m|CQ | 13052 130528(2018上海八校联考)如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE底面BCFE，DFAE，DFAE1，CE ，四边形ABCD是正方形7(1)九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明

9、；若不是，请说明理由(2)记AB与平面AEC所成的角为，求cos2的值答案 (1)略 (2)17解析 (1)AE底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上，AEEC，AEEB，AEBC.四边形ABCD是正方形，BCAB，BC平面ABE.又BE平面ABE，BCBE，四面体EABC是鳖臑，AEB，AEC，CBE，ABC为直角(2)AE1，CE ，AEEC，7AC2 ，又ABCD为正方形2BC2，BE .3作BOEC于O，则BO平面AEC，连接OA，则OA为AB在面AEC上的射影BAO，由等面积法得BEBCECOB.OB ，sin ，cos212sin 2 .327 OBAB 217 17提示

10、 本题也可用向量法求解9.(2016课标全国，理)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值答案 (1)略 (2)8 525解析 (1)由已知得AM AD2.23取BP的中点T，连接AT，TN.由N为PC的中点知TNBC，TN BC2.12又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.5(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE

11、 .AB2 BE2AB2 （ BC2） 2 5以A为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(AE 0，2，0)，C( ，2，0)，N( ，1，2)， (0，2，4)， ( ，1，2)， ( ，1，2)552 PM PN 52 AN 52设 n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则 即nPM 0，nPN 0， ) 2y 4z 0，52x y 2z 0， )可取 n(0，2，1)于是|cos n， | .AN |nAN |n|AN | 8 525所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 .8 52510如图所示，在四棱台ABCDA 1B

12、1C1D1中，AA 1底面ABCD，四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA 12A1B12.(1)若M为CD中点，求证：AM平面AA 1B1B；(2)求直线DD 1与平面A 1BD所成角的正弦值答案 (1)略 (2)15解析 (1)四边形ABCD为菱形，BAD120，连接AC，如图，则ACD为等边三角形，又M为CD中点，AMCD，由CDAB，得AMAB，AA 1底面ABCD，AM平面ABCD，AMAA 1，又ABAA 1A，AM平面AA 1B1B.6(2)四边形ABCD为菱形，BAD120，ABAA 12A 1B12，DM1，AM ，AMDBAM90，3又AA 1底面ABCD，以AB，A

13、M，AA 1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A 1(0，0，2)，B(2，0，0)，D(1， ，0)，D 1( ， ，2)，312 32 ( ， ，2)， (3， ，0)， (2，0，2)，DD1 12 32 BD 3 A1B 设平面A 1BD的法向量为 n(x，y，z)，则 y x z，令x1，则 n(1， ，1)，nBD 0，nA1B 0， ) 3x 3y 0，2x 2z 0， ) 3 3 3直线DD 1与平面A 1BD所成角的正弦值为sin|cos n， | | .DD1 nDD1 |n|DD1 | 1511.(2018山西太原一模)如图，在几何体

14、ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF2BE2，EF3.(1)证明：平面ACF平面BEFD；(2)若二面角AEFC是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值答案 (1)略 (2)12解析 (1)四边形ABCD是菱形，ACBD.BE平面ABCD，BEAC，BDBEB，AC平面BEFD，平面ACF平面BEFD.(2)设AC与BD的交点为O，由(1)得ACBD，分别以OA，OB为x轴和y轴，过点O作垂直于平面ABCD的直线为z，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，BE平面ABCD，BEBD，DFBE，DFBD，BD 2EF 2(DFBE) 28，BD2 .

15、27设OAa(a0)，则A(a，0，0)，C(a，0，0)，E(0， ，1)，F(0， ，2)， (0，2 ，1)，2 2 EF 2(a， ，1)， (a， ，1)AE 2 CE 2设 m(x 1，y 1，z 1)是平面AEF的法向量，则 即mEF 0，mAE 0， ) 2 2y1 z1 0， ax1 2y1 z1 0， )令z 12 ， m( ，1，2 )是平面AEF的一个法向量，23 2a 2设 n(x 2，y 2，z 2)是平面CEF的法向量，则 即 令z 22 ，nEF 0，nCE 0， ) 2 2y2 z2 0，ax2 2y2 z2 0， ) 2 n( ，1，2 )是平面CEF的一个

16、法向量，3 2a 2二面角AEFC是直二面角， mn 90，a .18a2 2BE平面ABCD，BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，AB 2，tanBAE .OA2 OB2BEAB 12故直线AE与平面ABCD所成角的正切值为 .121.(2017山西临汾一模)如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是( )A90 60C45 30答案 B解析 将其还原成正方体ABCDPQRS，显然PBSC，ACS为正三角形，ACS60.2.(2018成都一诊)如图，正四棱锥PABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的

17、角为( )A60 B30C45 D90答案 A解析 8如图，正四棱锥PABCD中，根据底面积为6可得，BC .连接BD，交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P6ABCD的高，根据体积公式可得，PO1.因为PO底面ABCD，所以POBD，又BDAC，POACO，所以BD平面PAC，连接EO，则BEO为直线BE与平面PAC所成的角在RtPOA中，因为PO1，OA ，所以PA2，3OE PA1，在RtBOE中，因为BO ，所以tanBEO ，即BEO60.12 3 BOOE 33.如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF ADa，G12是EF的中点，则

18、GB与平面AGC所成角的正弦值为( )A. B.23 33C. D.63 13答案 C解析 设GB与平面AGC所成的角为.如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，2a)，G(a，a，0)， (a，a，0)， (0，2a，AG AC 2a)， (a，a，0)，设平面AGC的法向量为 n1(x 1，y 1，1)，由 BG AG n1 0，AC n1 0) n1(1，1，1)sin .ax1 ay1 0，2ay1 2a 0) x1 1，y1 1)|BG n1|BG |n1| 2a2a 3 634已知直四棱柱ABCDA 1B1C1D1中，底面ABCD为

19、正方形，AA 12AB，则CD与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A. B.23 33C. D.23 13答案 A解析 如图，连接AC交BD于点O，连接C 1O，过C作CHC 1O于点H. CH平面C 1BD，BD ACBD AA1AC AA1 A) BD 平 面 ACC1A1CH平 面 ACC1A1) CH BDCH C1OBD C1O O)HDC为CD与平面BDC 1所成的角5(2018黑龙江大庆实验中学期末)在正三棱柱ABCA 1B1C1中，AB4，点D在棱BB 1上，若BD3，则AD与平面AA 1C1C所成角的正切值为( )A. B.2 35 2 3913C. D.54 439答案

20、 B解析 取AC的中点E，连接BE，如图所示，可得 ( ) ，即52 cosAD EB AB BD EB AB EB 342 (为 与 的夹角)，cos ，sin ，tan ，又BE332 AD EB 2 35 135 396平面AA 1C1C，所求角的正切值为 .2 39136(2016北京东城质量调研)在直三棱柱ABCA 1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA 12，D，E分别是CC 1与A 1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.则A 1B与平面ABD所成角的余弦值是( )A. B.23 73C. D.32 37答案 B解析 以C为坐标原点，CA所在直线为

21、x轴，CB所在直线为y轴，CC 1所在直线为z轴，建立直角坐标系，设CACBa，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，A 1(a，0，2)，D(0，0，1)，E( ， ，1)，G( ， ， )， ( ， ， )，a2 a2 a3 a3 13 GE a6 a6 23(0，a，1)，BD 点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G， 平面ABD， 0，解得a2.GE GE BD ( ， ， )， (2，2，2)， 平面ABD， 为平面ABD的一个法向量GE 13 13 23 BA1 GE GE cos ，A 1B与平面ABD所成的角的余弦值为 .GE BA1 GE BA1 |GE |BA1 |436

22、3 2 3 23 737(2018太原模拟)在三棱锥ABCD中，底面BCD为边长是2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2 ，则三棱锥ABCD外接球的表面积为( 2)A3 B4C5 D610答案 D解析 顶点A在底面BCD上的射影为BCD的中心，而且BCD是正三角形，三棱锥ABCD是正三棱锥，ABACAD.令底面BCD的重心(即中心)为P，BCD是边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，DE ，PE ，DP .直线AE与底面BCD所成角的正切值为2333 2 33，即tanAEP2 ，AP ，AE 2AP 2EP 2，A

23、D2，于是ABACADBCCDDB2，三2 22 63棱锥ABCD为正四面体构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为 ，正方体的体2对角线长为 ，外接球的半径为 ，外接球的表面积为4( )26.662 628(2018江西临海上一中一模)已知在正方体ABCDA 1B1C1D1中，棱长为1.点E是棱A 1B1的中点，则直线AE与平面BDD 1B1所成角的正弦值是_答案 1010解析 取AB的中点为F，连接B 1F，过点F作FGBD，垂足为G，连接B 1G，由正方体性质知BB 1FG，BDBB 1B，BD平面BDD 1B1，BB 1平面BDD 1B1，所以FG平面BDD 1B1，故

24、FB 1G为FB 1与平面BDD 1B1所成的角，所以FG ，B 1F ，所以sinFB 1G .又因为AEB 1F，24 522452 1010所以直线AE与平面BDD 1B1所成角的正弦值是 .10109(2014福建，理)在平面四边形ABCD中ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图所示(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值答案 (1)略 (2)63解析 (1)平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD

25、内作BEBD，如图所示由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD 平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系BE BD BA 11依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M ，(0，12， 12)则 (1，1，0)， ， (0，1，1)BC BM (0， 12， 12) AD 设平面MBC的法向量 n(x 0，y 0，z 0)，则 即 取z 01，得平面MBC的一个法向量 n(1，1，1)nBC 0，nBM 0， ) x0 y0 0，12y0 12z0 0， )设直线AD与平面

26、MBC所成角为，则sin|cos n， | ，AD |nAD |n|AD | 63即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为 .6310(2017浙江)如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点(1)证明：CE平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值解析 (1)如图，设PA中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，所以EFAD且EF AD，12又因为BCAD，BC AD，所以EFBC且EFBC，12即四边形BCEF为平行四边形，所以CEBF，因此CE平面PAB.(2)分别取BC，AD的中点

27、为M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中点得BNAD.所以AD平面PBN，由BCAD得BC平面PBN，那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD1.在PCD中，由PC2，CD1，PD 得CE ，2 212在PBN中，由PNBN1，PB 得QH ，314在RtMQH中，QH ，MQ ，14 2所以sinQMH ，28所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是 .28