（浙江专用）2020版高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题（第2课时）定点与定值问题讲义（含解析）.docx

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1、1第 2 课时 定点与定值问题题型一 定点问题例 1 (2018湖州模拟)已知椭圆 y21( a0)的上顶点为 B(0，1)，左、右焦点分别为x2a2F1， F2， BF2的延长线交椭圆于点 M， 4 .BM F2M (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线 l 交椭圆于 P， Q 两点，且 kBP kBQ m(m 为非零常数)，求证：直线 l 过定点.(1)解 方法一 设 M(x0， y0)， F2(c， 0)，则由 4 ，BM F2M 得Error! 即Error!代入椭圆方程得 1，又 a2 c21，所以 a22，16c29a2 19所以椭圆的标准方程为 y21.x22方法二 如图，连接 B

2、F1， MF1，设| BF1| BF2|3 n，则| F2M| n，又| MF1| MF2| BF1| BF2|6 n，所以| MF1|5 n，由| BF1| BM| MF1|345，得 F1BM90，则 OBF245， a22 b22，所以椭圆的标准方程为 y21.x22(2)证明 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，当直线 l 的斜率不存在时， x1 x20， y1 y2，所以 kBP kBQ m，y1 1x1 y2 1x2 2x1x1 ，即直线 l： x .2m 2m当直线 l 的斜率存在时，设直线 l： y kx t，把 y kx t 代入椭圆的方程并整理得(12 k2)x2

3、4 ktx2 t220， 16 k2t24(12 k2)(2t22)8(2 k21 t2)0，所以Error!kBP kBQ y1 1x1 y2 1x22 kx1 t 1x1 kx2 t 1x22kx1x2 t 1x1 x2x1x2 m，2k2t2 21 2k2 t 1 4kt1 2k22t2 21 2k2整理得 2k m(t1)， t 1，2km所以直线 l 的方程为 y kx 1 k 1，2km (x 2m)过定点 .(2m， 1)综上，直线 l 过定点 .(2m， 1)思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何

4、时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.跟踪训练 1 (2018浙江重点中学调研)已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，| F1F2|2 ，点 P 在椭圆上，tan PF2F12 且 PF1F2的面积为 4.5(1)求椭圆的标准方程；(2)若点 M 是椭圆上任意一点， A1， A2分别是椭圆的左、右顶点，直线 MA1， MA2分别与直线x 交于 E， F 两点，试证：以 EF 为直径的圆交 x 轴于定点，并求该定点的坐标.352解 (1)由 tan PF2F12，得 sin PF2F1 ，255c

5、os PF2F1 .55由题意得Error!解得Error!所以 2a| PF1| PF2|426， a3，结合 2c2 ， c ，得 b24，5 5故椭圆的标准方程为 1.x29 y243(2)由(1)得 A1(3，0)， A2(3，0)，设 M(x0， y0)，则直线 MA1的方程为 y (x3)，与直线 x 的交点为 E ，y0x0 3 352 (352， y0x0 3(352 3)直线 MA2的方程为 y (x3)，与直线 x 的交点为 F .y0x0 3 352 (352， y0x0 3(352 3)设以 EF 为直径的圆交 x 轴于点 Q(m， 0)，则 QE QF，从而 kQEk

6、QF1，即 1，y0x0 3(352 3)352 my0x0 3(352 3)352 m即 2，94y20x20 9 (352 m)又 1，得 m 1，x209 y204 352故以 EF 为直径的圆交 x 轴于定点，该定点的坐标为 ， .(352 1， 0) (352 1， 0)题型二 定值问题例 2 (2018北京)已知抛物线 C： y22 px 经过点 P(1，2)，过点 Q(0，1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A， B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点， ， ，求证： 为定值.QM Q

7、O QN QO 1 1(1)解 因为抛物线 y22 px 过点(1，2)，所以 2p4，即 p2.故抛物线 C 的方程为 y24 x.由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程为 y kx1( k0)，由Error!得 k2x2(2 k4) x10.依题意知 (2 k4) 24 k210，解得 kb0)上一点， F1， F2分别为 C 的左、右焦点，x2a2 y2b2且| F1F2|4， F1MF260， F1MF2的面积为 .433(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 N(0，2)，过点 P(1，2)作直线 l，交椭圆 C 于异于 N 的 A， B 两点，直线 NA， NB的

8、斜率分别为 k1， k2，证明： k1 k2为定值.(1)解 在 F1MF2中，由 |MF1|MF2|sin60 ，得| MF1|MF2| .12 433 1635由余弦定理，得|F1F2|2| MF1|2| MF2|22| MF1|MF2|cos60(| MF1| MF2|)22| MF1|MF2|(1cos60)，解得| MF1| MF2|4 .2从而 2a| MF1| MF2|4 ，即 a2 .2 2由| F1F2|4，得 c2，从而 b2，故椭圆 C 的方程为 1.x28 y24(2)证明 当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，显然 k0，则其方程为 y2 k(x1)，由Error!

9、得(12 k2)x24 k(k2) x2 k28 k0. 56 k232 k0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .4kk 21 2k2 2k2 8k1 2k2从而 k1 k2 y1 2x1 y2 2x22kx1x2 k 4x1 x2x1x22 k( k4) 4.4kk 22k2 8k当直线 l 的斜率不存在时，可得 A ， B ，得 k1 k24.( 1，142) ( 1， 142)综上， k1 k2为定值.直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，

10、选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.例 椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别是 F1， F2，离心率为 ，过 F1且垂直于 xx2a2 y2b2 32轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；6(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1， PF2，设 F1PF2的角平分线 PM 交 C的长轴于点 M(m， 0)，求 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线 PF1， PF2的斜率分别为 k1， k2，若 k20，证明 为定值，并求出这个定值.1kk1 1

11、kk2解 (1)由于 c2 a2 b2，将 x c 代入椭圆方程 1，得 y .x2a2 y2b2 b2a由题意知 1，即 a2 b2.2b2a又 e ，ca 32所以 a2， b1.所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)设 P(x0， y0)(y00)，又 F1( ，0)， F2( ，0)，3 3所以直线 PF1， PF2的方程分别为1PFl： y0x( x0 )y y00，3 32： y0x( x0 )y y00.3 3由题意知 .|my0 3y0|y20 x0 32 |my0 3y0|y20 x0 32由于点 P 在椭圆上，所以 y 1.x204 20所以 .|m 3|(32x0

12、2)2|m 3|(32x0 2)2因为 b0)的下顶点及左、x2a2 y2b2右焦点 F1， F2，过椭圆 C 的左焦点 F1的直线与椭圆 C 相交于 M， N 两点，线段 MN 的中垂线交 x 轴于点 D 且垂足为点 P.(1)求椭圆 C 的方程；(2)证明：当直线 MN 斜率变化时， 为定值.|DF1|MN|(1)解 当 x0 时，由 x2( y1) 24，得 y1 或 y3；当 y0 时，由 x2( y1) 24，得 x .3又圆 x2( y1) 24 过椭圆 1( ab0)的下顶点及焦点 F1， F2，x2a2 y2b2故 c ， b1，所以 a2 b2 c24，3即椭圆 C 的方程为

13、 y21.x24(2)证明 易知直线 MN 的斜率存在，且不为 0，8所以设直线 MN： y k(x )，且 M(x1， y1)， N(x2， y2)，3由Error! 消去 y，得(14 k2)x28 k2x4(3 k21)0，3 (8 k2)244(14 k2)(3k21)16( k21)0，3故 x1 x2 ， x1x2 ，83k21 4k2 43k2 11 4k2则 MN 的中点 P ，(43k21 4k2， 3k1 4k2)故 MN 的中垂线 DP 的方程为k ， k0，(y3k1 4k2) (x 43k21 4k2)由 y0 得 D ，(33k21 4k2， 0)故| DF1| ，

14、333k21 4k2 31 k21 4k2|MN| |x1 x2| ，1 k241 k21 4k2因此， 为定值.|DF1|MN| 342.已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 y 轴上，且抛物线上有一点 P(m， 5)到焦点的距离为6.(1)求该抛物线 C 的方程；(2)已知抛物线上一点 M(4， t)，过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME，且 MD ME，判断直线DE 是否过定点，并说明理由.解 (1)由题意设抛物线方程为 x22 py(p0)，其准线方程为 y ， P(m， 5)到焦点的距离等于 P 到其准线的距离，所以 5 6，即p2 p2p2.所以抛物线方程为 x24 y.(2

15、)由(1)可得点 M(4，4)，设直线 MD 的方程为 y k(x4)4( k0)，联立Error!得 x24 kx16 k160，由题意得 0，设 D(x1， y1)， E(x2， y2)，则 xMx116 k16，9所以 x1 4 k4，16k 164y1 4( k1) 2，4k 424同理可得 x2 4， y24 2，4k (1k 1)所以直线 DE 的方程为 y4( k1) 2 (x4 k4)4k 12 4(1k 1)24k 4 4k 4 (x4 k4)(k 1k)(k 1k 2)k 1k (x4 k4).(k1k 2)化简得 y x4 k(k1k 2) 4k (x4)8.(k1k 2

16、)所以直线 DE 过定点(4，8).3.知抛物线 C1的方程为 x22 py(p0)，过点 M(a，2 p)(a 为常数)作抛物线 C1的两条切线，切点分别为 A， B.(1)过焦点且在 x 轴上截距为 2 的直线 l 与抛物线 C1交于 Q， N 两点， Q， N 两点在 x 轴上的射影分别为 Q， N，且| Q N|2 ，求抛物线 C1的方程；5(2)设直线 AM， BM 的斜率分别为 k1， k2.求证： k1k2为定值.(1)解 因为抛物线 C1的焦点坐标是 ，(0，p2)所以过焦点且在 x 轴上截距为 2 的直线方程是 1，即 1.x2 yp2 x2 2yp联立Error!消去 y

17、并整理，得 x2 x p20，p22显然 0 恒成立，设点 Q(xQ， yQ)， N(xN， yN)，则 xQ xN ， xQxN p2.p22则| Q N| xQ xN| xQ xN2 4xQxN10 2 ，( p22)2 4 p2 p44 4p2 5解得 p2.所以抛物线 C1的方程为 x24 y.(2)证明 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)(x10， x20)，得 y ，则 y .x22p xp所以切线 MA 的方程是 y y1 (x x1)，x1p即 y x .x1p x212p又点 M(a，2 p)在直线 MA 上，于是有2 p a ，x1p x212p即 x 2 ax

18、14 p20.21同理，有 x 2 ax24 p20，2因此， x1， x2是方程 x22 ax4 p20 的两根，则 x1 x22 a， x1x24 p2.所以 k1k2 4，x1p x2p x1x2p2 4p2p2故 k1k2为定值得证.4.已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ，过左焦点 F 且垂直于 x 轴的直22线交椭圆 C 于 P， Q 两点，且| PQ|2 .2(1)求 C 的方程；(2)若直线 l 是圆 x2 y28 上的点(2，2)处的切线，点 M 是直线 l 上任一点，过点 M 作椭圆 C 的切线 MA， MB，切点分别为 A， B，设切线的斜率都存在.求

19、证：直线 AB 过定点，并求出该定点的坐标.解 (1)由已知，设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2因为| PQ|2 ，不妨设点 P( c， )，2 2代入椭圆方程得 1，c2a2 2b2又因为 e ，ca 22所以 1， b c，12 2b2所以 b24， a22 b28，11所以 C 的方程为 1.x28 y24(2)依题设，得直线 l 的方程为 y2( x2)，即 x y40，设 M(x0， y0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， x0 x1且 x0 x2，由切线 MA 的斜率存在，设其方程为 y y1 k(x x1)，联立Error!得(2 k21) x

20、24 k(y1 kx1)x2( y1 kx1)280，由相切得 16 k2(y1 kx1)28(2 k21)( y1 kx1)240，化简得( y1 kx1)28 k24，即( x 8) k22 x1y1k y 40，21 21因为方程只有一解，所以 k ，x1y1x21 8 x1y1 2y21 x12y1所以切线 MA 的方程为 y y1 (x x1)，x12y1即 x1x2 y1y8，同理，切线 MB 的方程为 x2x2 y2y8，又因为两切线都经过点 M(x0， y0)，所以Error!所以直线 AB 的方程为 x0x2 y0y8，又 x0 y04，所以直线 AB 的方程可化为 x0x2

21、(4 x0)y8，即 x0(x2 y)8 y80，令Error! 得Error!所以直线 AB 恒过定点(2，1).5.设椭圆 C： 1( ab0)的离心率 e ，左顶点 M 到直线 1 的距离x2a2 y2b2 32 xa ybd ， O 为坐标原点.455(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点 O 到直线 AB 的距离为定值.12(1)解 由 e ，得 c a，又 b2 a2 c2，32 32所以 b a，即 a2 b.12由左顶点 M( a，0)到直线 1，xa yb即到直线 bx ay ab0 的距离

22、 d ，455得 ，即 ，|b a ab|a2 b2 455 2aba2 b2 455把 a2 b 代入上式，得 ，解得 b1.4b25b 455所以 a2 b2， c .3所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)证明 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，当直线 AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知 x1 x2， y1 y2.因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点，故 0，OA OB 即 x1x2 y1y20，也就是 x y 0，21 21又点 A 在椭圆 C 上，所以 y 1，x214 21解得| x1| y1| .255此时点 O 到直线 AB 的距离 d1| x1| .

23、255当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y kx m，与椭圆方程联立有Error!消去 y，得(14 k2)x28 kmx4 m240，所以 x1 x2 ， x1x2 .8km1 4k2 4m2 41 4k2因为以 AB 为直径的圆过坐标原点 O，所以 OA OB，所以 x1x2 y1y20，OA OB 所以(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m20，所以(1 k2) m20，4m2 41 4k2 8k2m21 4k213整理得 5m24( k21)，所以点 O 到直线 AB 的距离 d1 .|m|k2 1 255综上所述，点 O 到直线 AB 的距离为定值 .2556

24、.(2018丽水、衢州、湖州三地市质检)如图， F1， F2是椭圆 C： y21 的左、右焦点，x22A， B 是椭圆 C 上的两点，且都在 x 轴上方， AF1 BF2，设 AF2， BF1的交点为 M.(1)求证： 为定值；1|AF1| 1|BF2|(2)求动点 M 的轨迹方程.(1)证明 方法一 如题图所示，由题意知 F1(1，0)， F2(1，0)，设直线 AF1的方程为x my1，与椭圆 C 的方程联立，由Error!消去 x，整理得( m22) y22 my10.由题意知， 0，因为点 A 在 x 轴上方，设 A(xA， yA)，所以 yA0， yA ，2m 22m2 12m2 2

25、 m 2m2 1m2 2所以| AF1| |yA0| .1 m21 m2m 2m2 1m2 2直线 BF2的方程为 x my1，设 B(xB， yB)，同理可得 yB ，| BF2| |yB0| ， m 2m2 1m2 2 1 m2 1 m2 m 2m2 1m2 2所以 ， ，1|AF1| m2 21 m2m 2m2 1 1|BF2| m2 21 m2 m 2m2 114所以 1|AF1| 1|BF2| m2 21 m2m 2m2 1 m2 21 m2 m 2m2 1m2 21 m2 1m 2m2 1 1 m 2m2 1 2 .m2 21 m222m2 12m2 1 m2 2所以 为定值.1|

26、AF1| 1|BF2|方法二 如图所示，延长 AF1交椭圆于 B1，由椭圆的对称性可知| B1F1| BF2|，所以要证 为定值，只需证 为定值.1|AF1| 1|BF2| 1|AF1| 1|B1F1|设直线 AF1的方程为 x my1， A(x1， y1)， B1(x2， y2)， y10， y20，所以 y1 y2 ， y1y2 .2mm2 2 1m2 2所以 1|AF1| 1|B1F1| 1m2 1( 1|y1| 1|y2|) 1m2 1(1y1 1y2) 1m2 1y2 y1y1y2 2 .1m2 1 y1 y22 4y1y2y1y2 8m2 1m2 1 2所以 为定值.1|AF1|

27、1|BF2|(2)解 方法一 设直线 AF2， BF1的方程分别为x k1y1， x k2y1，联立，得Error!解得Error!所以点 M 的坐标为 .(k1 k2k2 k1， 2k2 k1)又由(1)方法一可得 k1 m ，xA 1yA myA 2yA 2yAk2 m ，xB 1yB myB 2yB 2yB所以 k1 k2 m m 2 m22yA 2yB (1yB 1yA)152 m m2 22m2 1 m m2 22m2 1 m2( m2 m)6 m，k2 k12 4 .m2 22m2 1 m m2 22m2 1 m 2m2 1所以Error!所以动点 M 的轨迹方程为 1( y0).

28、x298y218方法二 如图所示，设| AF1| d1，| BF2| d2，因为 AF1 BF2，所以 ，|MF1|MB| d1d2所以 ，即| MF1| |BF1|.|MF1|BF1| d1d1 d2 d1d1 d2又| BF1| BF2|2 ，2所以| BF1|2 | BF2|2 d2，2 2所以| MF1| |BF1| .d1d1 d2 d122 d2d1 d2同理可得| MF2| ，d222 d1d1 d2所以| MF1| MF2| 2 ，d122 d2d1 d2 d222 d1d1 d2 2 2d1d2d1 d2由(1)可知 ，d1d2d1 d2 11d2 1d1 122所以| MF1| MF2| |F1F2|2，动点 M 的轨迹为以 F1， F2为左、右焦点，以 为长轴长32 32的椭圆的一半，所以动点 M 的轨迹方程为 1( y0).x298y21816