浙江专用2020版高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布考点规范练56离散型随机变量的均值与方差20190118490.docx

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1、1考点规范练 56 离散型随机变量的均值与方差基础巩固组1.已知离散型随机变量 X的分布列为X12 3P35310110则 X的数学期望 E(X)=( )A B.2 C D.3.32 .52答案 A解析 E(X)=1 +2 +3 故选 A.35 310110=32.2.若随机变量 X的分布列如下表,且 E(X)=2,则 D(2X-3)= ( )X02aP16p13A.2 B.3 C.4 D.5答案 C解析 由题意可得 +p+ =1,解得 p= ,因为 E(X)=2,所以 0 +2 +a =2,解得 a=3.所以 D(X)16 13 12 16 12 13=(0-2)2 +(2-2)2 +(3-

2、2)2 =1.所以 D(2X-3)=4D(X)=4.故选 C.16 12 133.若 B (n,p),且 E( )=6,D( )=3,则 P(= 1)的值为( )A.32-2 B.32-10C.2-4 D.2-8答案 B解析 E( )=np=6,D( )=np(1-p)=3p= ,n=12,P(= 1)=12 C112(12)12= 3210.4.随机变量 X的分布列为X1 2 4P0.40.30.3则 E(5X+4)=( )2A.11 B.15 C.35 D.39答案 B解析 E(X)=10.4+20.3+40.3=2.2.所以 E(5X+4)=5E(X)+4=15.故选 B.5.(2017

3、浙江绍兴期中)已知随机变量 的分布列为下表所示,若 E( )= ,则 D( )=( )14 -101P 13abA B C.1 D.56 .4148 .23答案 B解析 由 E( )=-1 +0a+1b= ,整理得 b= ,13 14 712由 +a+b=1,得 a=1- ,所以 D( )=13 13-712=112(-1-14)213+(0-14)2112+(1-14)2712=4148.6.设一随机试验的结果只有 A和 ,且 P(A)=p,令随机变量 X= 则 X的方差 D(X)等于 .A 1,A出现,0,A不出现, 答案 p(1-p)解析 X服从两点分布,故 D(X)=p(1-p).7.

4、随机变量 的分布列如下: -101P abc其中 a,b,c成等差数列,若 E( )= ,则 D( )的值是 . 13答案59解析 由题意得 b= ,a+c= ,又 E( )=-a+c= ,所以 a= ,c=a+b+c=12b=a+c 13 23 13 a+c=23-a+c=1316 12.故 D( )=E( 2)-E( )2=16+12-19=59.38.盒中有大小相同的 5个白球和 3个黑球,从中随机摸出 3个小球,记摸到黑球的个数为 X,则P(X=2)= ,E(X)= . 答案1556 98解析 P(X=2)= ,P(X=0)= ,C15C23C38 =1556 C35C38=1056P

5、(X=1)= ,P(X=3)= ,C25C13C38 =3056 C33C38=156所以 的分布列为 0 1 2 3P 105630561556156E(X)=130+215+3156 =6356=98.能力提升组9.已知 X的分布列为X-101P121316且 Y=aX+3,E(Y)= ,则 a的值为( )73A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 E(X)=-1 +0 +1 =- ,E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=- a+3= ,所以 a=2.故选 B.12 13 16 13 13 7310.若 p为非负实数,随机变量 的分布列为 012P12-pp12则 E( )的最大值

6、为( )A.1 B C D.2.32 .52答案 B4解析 由 得 0 p ,E( )=p+10 p 12,0 12-p 12, 12 32.11.某抽签盒中有编号为 1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取 3支,设 X为这 3支签的号码中最大的一个,则 X的数学期望为( )A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6答案 B解析 由题意可知, X可以取 3,4,5,6,P(X=3)= ,P(X=4)= ,1C36=120 C23C36=320P(X=5)= ,P(X=6)=C24C36=310 C25C36=12.由数学期望的定义可求得 E(X)=3 +4 +5 +6 =5.25.120

7、3203101212.设 0p2,E( 1)E( 2)C.p1p2,E( 1)E( 2) D.p10,所以 p1p2.n6(m+n)14.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X的均值 E(X)= . 答案65解析 由题意知, X可能的取值为 0,1,2,3.若 X=0,观察知题图中位于大正方体内部的 27个小正方体无涂漆面,则 P(X=0)= ;27125若 X=1,观察知题图中位于各面中部的 9个小正方体涂 1面漆,则 P(X=1)= ;69125=54125若 X=2,观察知题图中位于各棱中部的

8、 3个小正方体涂 2面漆,则 P(X=2)= ;123125=36125若 X=3,观察知题图中位于大正方体顶点处的 8个小正方体涂 3面漆,则 P(X=3)=8125.6故 E(X)=0 +1 +2 +32712554125361258125=65.15.某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏,根据他的游玩经验,每次开启一个新的游戏,这三个关卡他能够通过的概率分别为 (这个游戏的游戏规则是:如果玩者没有通过上一个关卡,他照样可以玩12,13,14下一个关卡,但玩该游戏的得分会有影响) .则此人在开启一个这种新的游戏时,他能够通过两个关卡的概率为 ,设 X表示他能够通过此游戏的关卡的个数,则随机变量

9、X的数学期望为 .答案14 1312解析 随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,3.又 P(X=2)= ,(1-12)1314+12(1-13)14+1213(1-14)=14P(X=0)= ,(1-12)(1-13)(1-14)=14P(X=1)=,12(1-13)(1-14)+(1-12)13(1-14)+(1-12)(1-13)14=1124P(X=3)= 所以随机变量 X的分布列为121314=124.X01 23P14112414124随机变量 X的数学期望 E(X)=0 +1 +2 +314 112414 124=1312.16.一个口袋里装有大小相同的 6个小球,其中红色、黄

10、色、绿色的球各 2个,现从中任意取出 3个小球,其中恰有 2个小球同颜色的概率是 .若取到红球得 1分,取到黄球得 2分,取到绿球得 3分,记变量 为取出的三个小球得分之和,则 的期望为 . 答案 635解析 根据题意,知任取 3个小球共有 =20(种)取法,而其中恰有 2个小球同颜色的有 3 =12(种)C36 C22C14取法,故所求概率为 P=1220=35.由题意得,随机变量 的可能取值为 4,5,6,7,8,P(= 4)= ,P(= 5)= ,P(= 6)C22C1220=110 2C22C1220=15= ,P(= 7)= ,P(= 8)= ,C12C12C1220=25 2C22

11、C1220=15 C22C1220=1107因此 E( )=4 +5 +6 +7 +8 =6.11015 25 15 11017.为迎接 2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动 .该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过 1小时免费,超过 1小时的部分每小时收费标准为 40元(不足 1小时的部分按 1小时计算) .有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过 1小时离开的概率分别为 ;1小14,16时以上且不超过 2小时离开的概率分别为 ;两人滑雪时间都不会超过 3小时 .12,23(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变

12、量 ,求 的分布列与数学期望 E( ),方差 D( ).解 (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为 0,40,80元,两人都付 0元的概率为 P1= ,1416=124两人都付 40元的概率为 P2= ,1223=13两人都付 80元的概率为P3= ,(1-14-12)(1-16-23)=1416=124则两人所付费用相同的概率为 P=P1+P2+P3=124+13+124=512.(2)设甲、乙所付费用之和为 ,则 的可能取值为 0,40,80,120,160,则P(= 0)= ,1416=124P(= 40)= ,1423+1216=14P(= 80)= ,1416+1223+1416=

13、512P(= 120)= ,1216+1423=14P(= 160)=1416=124.所以 的分布列为 0 40 80 120160P 1241451214124E( )=0 +40 +80 +120 +160 =80,124 14 512 14 1248D( )=(0-80)2 +(40-80)2 +(80-80)2 +(120-80)2 +(160-80)2124 14 512 14 124=40003.18.某公司采用招考的方式引进人才,规定必须在 B,C,D三个测试点中任意选取两个进行测试,若在这两个测试点都测试合格,则可参加面试,否则不被录用,已知考生在每个测试点测试结果互不影响,

14、若考生小李和小王一起前来参加招考,小李在测试点 B,C,D测试合格的概率分别为 ,小王在上述23,13,12三个测试点测试合格的概率都是23.(1)小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大?请说明理由;(2)假设小李选择测试点 B,C进行测试,小王选择测试点 B,D进行测试,记 X为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和,求随机变量 X的分布列及数学期望 E(X).解 (1)设考生小李在 B,C,D各测试点测试合格记为事件 B,C,D,且各个事件相互独立,由题意 P(B)= ,P(C)= ,P(D)=23 13 12.若选择在 B,C测试点测试,则参加面试的概率为 P1=P(B

15、C)=P(B)P(C)= ;若选择在 B,D2313=29测试点测试,则参加面试的概率为 P2=P(BD)=P(B)P(D)= ;若选择在 C,D测试点测试,则参2312=13加面试的概率为 P3=P(CD)=P(C)P(D)= 因为 P2P1P3,所以小李选择在 B,D测试点测试参1312=16.加面试的可能性最大 .(2)记小李在 B,C测试点测试合格为事件 X1,X2,记小王在 B,D测试点测试合格为事件 Y1,Y2,则 P(X1)=P(Y1)=P(Y2)= ,P(X2)= ,且 X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,23 13所以 P(X=0)=P( )= ;X1X2Y1Y21323

16、(23)2=281P(X=1)=P(X1 X2 Y1 Y2)=3 ;X2Y1Y2+X Y1Y2+X1X2Y2+X1X2Y1 (23)2(13)3+(23)4=1381P(X=2)=P(X1X2 +X1 Y1 +X1 Y2+ X2 Y2+ X2Y1 Y1Y2)=3 +3Y1Y2 X2Y2 X2Y1 X1Y1 X1 Y2+X1X2 23(13)3;13(23)3=1027P(X=3)=P(X1X2Y1 +X1X2 Y2+X1 Y1Y2+ X2Y1Y2)=3 ;Y2 Y1 X2 X1 (23)2(13)3+(23)4=2881P(X=4)=P(X1X2Y1Y2)=13(23)2=881.所以 X的分布列为X0 1 2 3 49P281138110272881881E(X)=0 +1 +2 +3 +4281138110272881881=73.