浙江专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入考点规范练25平面向量的应用201901184115.docx

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1、1考点规范练 25 平面向量的应用基础巩固组1.已知 a=(3,4),b=(sin ,cos ),若 ab,则 = ( )sin +cossin -cosA.7 B C.- D.-7.17 17答案 D解析 因为 ab,所以 3cos- 4sin= 0,即 tan= ,所以 =-7.故选 D.34 sin +cossin -cos =tan +1tan -1=34+134-12.已知 |a|=2|b|,|b|0,且关于 x的方程 x2+|a|x-ab=0有两个相等的实数根,则向量 a与 b的夹角是( )A.- B.- C D6 3 .3 .23答案 D解析 设向量 a与 b的夹角为 . 由已知

2、可得 =| a|2+4ab=0,即4|b|2+42|b|2cos= 0, cos=- 又 0 ,12.=23.3.在 ABC中,已知向量 满足 =0且 ,则 ABC为( )AB与 AC (AB|AB |+ AC|AC |)BC AB|AB |AC|AC |=12A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形答案 D解析 设 BAC的角平分线为 AD,则 = 由已知得 AD BC, ABC为等腰三角形 .又AB|AB |+ AC|AC | AD.,即 cosA= ,A= 60, ABC为等边三角形 .故选 D.AB|AB |AC|AC |=12 124.在 ABC中

3、, AB=8,AC=6,AD垂直 BC于点 D,E,F分别为 AB,AC的中点,若 =6,则 BC=( )DEDFA.2 B.10132C.2 D.1437答案 A解析 令 BC=a,则由条件可知, ) )= )=6.DEDF=12(DB+DA12(DC+DA14(DBDC+DA2)=24 ,又在 Rt ADC,Rt ADB中有 =64 ,( )2+ =36 ,DA2-DB(BC-DB BD2+DA2 BC-BD DA2联立 解得 =52.a= 2 故选 A.BC2 13.5.已知三个向量 m= ,n= ,p= 共线,其中 a,b,c,A,B,C分别是 ABC的三条边(a,cosA2) (b,

4、cosB2) (c,cosC2)及相对三个角,则 ABC的形状是( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案 B解析 m= 与 n= 共线, a cos =bcos 由正弦定理,得 sinAcos =sinBcos(a,cosA2) (b,cosB2) B2 A2. B2 A2. sinA=2sin cos ,sinB=2sin cos ,A2 A2 B2 B2 2sin cos cos =2sin cos cos ,A2 A2 B2 B2 B2 A2化简,得 sin =sinA2 B2.又 00,即 a=3,即点 A的横坐标为 3.能力提升组9.已知函数 f(x

5、)=sin( x+ )的部分图象如图所示,点 B,C是该图象与 x轴的交点,过点 C的直线与该图象交于 D,E两点,则( )( )的值为( )BD+BE BE-CEA.-1 B.-12C D.2.124答案 D解析 f(x)=sin( x+ )的周期为 2.| |=1.D,E关于点 C对称, C 是线段 DE的中点, (BC)( )=2 ( )=2 =2.故选 D.BD+BE BE-CE BCBE+EC BC210.已知 ABD是等边三角形,且 ,| |= ,那么四边形 ABCD的面积为( )AB+12AD=ACCD 3A B C.3 D.32 .32 3 3 .92 3答案 B解析 如图所示

6、, ,CD=AD-AC=12AD-AB, CD2=(12AD-AB)2即 3=14AD2+AB2-ADAB.| |=| |, |2-| | |cos60=3.AD AB 54|AD ADAB| |=2.又 ,AD BC=AC-AB=12AD| |= |=1.| |2+| |2=| |2.BC CD.BC12|AD BC CD BDS 四边形 ABCD=S ABD+S BCD= 22sin60+ 1 ,故选 B.12 12 3=32 311.设 P为 ABC所在平面上一点,且满足 3 +4 =m (m0).若 ABP的面积为 8,则 ABC的面积PAPCAB为( )A.7 B.8 C.14 D.

7、16答案 C5解析 由 3 +4 =m ,设 ,(如图所示)于是可得点 D在边 ACPAPCAB得37PA+47PC=m7AB PD=37PA+47PC=m7AB上, ,且 3 =4 ,则 ,由 ,所以 S ABP=S ABD,所以 S ABD=8.又因为AB PD ADDC|DA|CA|=47 AB PD,S ABDS ABC=|DA|CA|所以 ,则 S ABC=14.8S ABC=4712.在 ABC中, D是 BC中点, AD=m,BC=n,则 等于 ( )ABACA.m2- n2 B.m2+ n214 14C m2+n2 D m2-n2.14 .14答案 A解析 由已知 BD=DC=

8、 =- =( )( )=( )( )n2,DCDB,ABACAD+DB AD+DC AD+DB AD-DB= =m2- =m2- n2.故选 A.AD2-DB2 (n2)2 1413.设抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过点( -2,0)且斜率为 的直线与 C交于 M,N两点,则 =( )23 FMFNA.5 B.6 C.7 D.8答案 D解析 根据题意,过点( -2,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x+2),与抛物线方程联立 消23 23 y=23(x+2),y2=4x, 元整理得, y2-6y+8=0,解得 M(1,2),N(4,4),又 F(1,0),所以 =(0,2), =(3,

9、4),则FM FN=03+24=8,故选 D.FMFN14.已知 ABC的面积是 4, BAC=120,点 P满足 =3 ,过点 P作边 AB,AC所在直线的垂线,垂足BPPC分别是 M,N.则 = . PMPN答案338解析 不妨令 ABC为等腰三角形, BAC=120,6B=C= 30,b=c.S ABC= bcsinA=4,b 2=c2= 由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA= =1612 163. 4833.=3 , BPPC| |= |= ,| |= |=PC14|BCa4 BP34|BC3a4.过点 P作边 AB,AC所在直线的垂线,垂足分别是 M,N,故 | |=|

10、|sinB= ,| |=| |sinC=PM BP3a8 PN PC a8. MPN=180-A=60,=| | |cos60= 故答案为 PMPNPM PN3a8a812=3a2128=338. 338.15.在 ABCD中, BAD=60,AB=1,AD= ,P为 ABCD内一点,且 AP= ,若 = + ( , R),332 AP AB AD则 + 的最大值为 . 3答案 1解析 = + ,| |2=( + )2, AP AB AD AP AB AD即 = 2| |2+ 2| |2+2(32)2 AB AD ABAD.又 AB=1,AD= , BAD=60,3=| | |cos60= A

11、BADABAD32.= 2+3 2+34 3. (+ )2=334+ 3 34+( + 32 )2. (+ )21 .3+ 的最大值为 1,当且仅当 = ,= 时取等号 .312 3616.(2017浙江高考)已知向量 a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 答案 4 2 5解析 设向量 a,b的夹角为 ,由余弦定理有: |a-b|= ,|a+b|=12+22-212cos = 5-4cos,12+22-212cos( - )= 5+4cos则 |a+b|+|a-b|= ,5+4cos + 5-4cos7令 y= ,5+4cos + 5-4cos则

12、 y2=10+2 16,20,25-16cos2 据此可得:(|a+b|+|a-b|) max= =2 ,(|a+b|+|a-b|)min= =4,即 |a+b|+|a-b|的最小值是20 5 164,最大值是 2 5.17.已知 a=(2cos x,2sin x),b= ,函数 f(x)=cos.(sin(x-6),cos(x-6)(1)求函数 f(x)零点;(2)若锐角三角形 ABC的三内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,且 f(A)=1,求 的取值范围 .b+ca解 (1)由条件可知,ab =2cosxsin +2sinxcos =2sin ,(x-6) (x-6) (2x-6)f

13、 (x)=cos= =sinab|a|b|=2sin(2x-6)2 (2x-6). 函数 f(x)零点满足 sin =0,由 2x- =k, kZ,解得 x= ,kZ .(2x-6) 6 k2+12(2)由正弦定理得 ,由(1) f(x)=sin ,又 f(A)=1,即b+ca =sinB+sinCsinA (2x-6)sin =1, 2A- =2k + ,kZ,又 A(0,), A= ,(2A-6) 6 2 3A+B+C= , C= -B.代入上式化简得,23=2sin ,又在锐角三角形 ABC中,有 0Bb+ca =sinB+sin(23-B)sinA =32sinB+ 32cosBsin

14、A = 3sin(B+6)sinA (B+6), 0C= -B , B B+ ,则有 sin 1,即 2.2 23 2 6 2,3 623 32 (B+6) 3b+ca 18.已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P为该平面上一动点,作 PQ l,垂足为 Q,且=0.(PC+12PQ)PC-12PQ(1)求动点 P的轨迹方程;(2)若 EF为圆 N:x2+(y-1)2=1的任一条直径,求 的最值 .PEPF解 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y).由 =0,(PC+12PQ)(PC-12PQ)得 | |2- |2=0,即( x-2)2+y2- (x-8)2=0,PC14|PQ

15、14化简得 =1.x216+y2128所以点 P在椭圆上,其方程为 =1.x216+y212(2)因 =( )( )=(- )( )= -1,PEPFNE-NP NF-NP NF-NP NF-NPNP2-NF2=NP2P是椭圆 =1上的任一点,设 P(x0,y0),x216+y212则有 =1,即 =16- ,又 N(0,1),x2016+y2012 x20 4y203所以 +(y0-1)2=- -2y0+17=- (y0+3)2+20.因 y0 -2 ,2 ,所以当 y0=-3时, 取NP2=x2013y20 13 3 3 NP2得最大值 20,故 的最大值 19.PEPF当 y0=2 时, 取得最小值 13-4 (此时 x0=0),3 NP2 3故 的最小值为 12-4PEPF 3.