1、1考点规范练 25 平面向量的应用基础巩固组1.已知 a=(3,4),b=(sin ,cos ),若 ab,则 = ( )sin +cossin -cosA.7 B C.- D.-7.17 17答案 D解析 因为 ab,所以 3cos- 4sin= 0,即 tan= ,所以 =-7.故选 D.34 sin +cossin -cos =tan +1tan -1=34+134-12.已知 |a|=2|b|,|b|0,且关于 x的方程 x2+|a|x-ab=0有两个相等的实数根,则向量 a与 b的夹角是( )A.- B.- C D6 3 .3 .23答案 D解析 设向量 a与 b的夹角为 . 由已知
2、可得 =| a|2+4ab=0,即4|b|2+42|b|2cos= 0, cos=- 又 0 ,12.=23.3.在 ABC中,已知向量 满足 =0且 ,则 ABC为( )AB与 AC (AB|AB |+ AC|AC |)BC AB|AB |AC|AC |=12A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形答案 D解析 设 BAC的角平分线为 AD,则 = 由已知得 AD BC, ABC为等腰三角形 .又AB|AB |+ AC|AC | AD.,即 cosA= ,A= 60, ABC为等边三角形 .故选 D.AB|AB |AC|AC |=12 124.在 ABC中
3、, AB=8,AC=6,AD垂直 BC于点 D,E,F分别为 AB,AC的中点,若 =6,则 BC=( )DEDFA.2 B.10132C.2 D.1437答案 A解析 令 BC=a,则由条件可知, ) )= )=6.DEDF=12(DB+DA12(DC+DA14(DBDC+DA2)=24 ,又在 Rt ADC,Rt ADB中有 =64 ,( )2+ =36 ,DA2-DB(BC-DB BD2+DA2 BC-BD DA2联立 解得 =52.a= 2 故选 A.BC2 13.5.已知三个向量 m= ,n= ,p= 共线,其中 a,b,c,A,B,C分别是 ABC的三条边(a,cosA2) (b,
4、cosB2) (c,cosC2)及相对三个角,则 ABC的形状是( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案 B解析 m= 与 n= 共线, a cos =bcos 由正弦定理,得 sinAcos =sinBcos(a,cosA2) (b,cosB2) B2 A2. B2 A2. sinA=2sin cos ,sinB=2sin cos ,A2 A2 B2 B2 2sin cos cos =2sin cos cos ,A2 A2 B2 B2 B2 A2化简,得 sin =sinA2 B2.又 00,即 a=3,即点 A的横坐标为 3.能力提升组9.已知函数 f(x
5、)=sin( x+ )的部分图象如图所示,点 B,C是该图象与 x轴的交点,过点 C的直线与该图象交于 D,E两点,则( )( )的值为( )BD+BE BE-CEA.-1 B.-12C D.2.124答案 D解析 f(x)=sin( x+ )的周期为 2.| |=1.D,E关于点 C对称, C 是线段 DE的中点, (BC)( )=2 ( )=2 =2.故选 D.BD+BE BE-CE BCBE+EC BC210.已知 ABD是等边三角形,且 ,| |= ,那么四边形 ABCD的面积为( )AB+12AD=ACCD 3A B C.3 D.32 .32 3 3 .92 3答案 B解析 如图所示
6、, ,CD=AD-AC=12AD-AB, CD2=(12AD-AB)2即 3=14AD2+AB2-ADAB.| |=| |, |2-| | |cos60=3.AD AB 54|AD ADAB| |=2.又 ,AD BC=AC-AB=12AD| |= |=1.| |2+| |2=| |2.BC CD.BC12|AD BC CD BDS 四边形 ABCD=S ABD+S BCD= 22sin60+ 1 ,故选 B.12 12 3=32 311.设 P为 ABC所在平面上一点,且满足 3 +4 =m (m0).若 ABP的面积为 8,则 ABC的面积PAPCAB为( )A.7 B.8 C.14 D.
7、16答案 C5解析 由 3 +4 =m ,设 ,(如图所示)于是可得点 D在边 ACPAPCAB得37PA+47PC=m7AB PD=37PA+47PC=m7AB上, ,且 3 =4 ,则 ,由 ,所以 S ABP=S ABD,所以 S ABD=8.又因为AB PD ADDC|DA|CA|=47 AB PD,S ABDS ABC=|DA|CA|所以 ,则 S ABC=14.8S ABC=4712.在 ABC中, D是 BC中点, AD=m,BC=n,则 等于 ( )ABACA.m2- n2 B.m2+ n214 14C m2+n2 D m2-n2.14 .14答案 A解析 由已知 BD=DC=
8、 =- =( )( )=( )( )n2,DCDB,ABACAD+DB AD+DC AD+DB AD-DB= =m2- =m2- n2.故选 A.AD2-DB2 (n2)2 1413.设抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过点( -2,0)且斜率为 的直线与 C交于 M,N两点,则 =( )23 FMFNA.5 B.6 C.7 D.8答案 D解析 根据题意,过点( -2,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x+2),与抛物线方程联立 消23 23 y=23(x+2),y2=4x, 元整理得, y2-6y+8=0,解得 M(1,2),N(4,4),又 F(1,0),所以 =(0,2), =(3,
9、4),则FM FN=03+24=8,故选 D.FMFN14.已知 ABC的面积是 4, BAC=120,点 P满足 =3 ,过点 P作边 AB,AC所在直线的垂线,垂足BPPC分别是 M,N.则 = . PMPN答案338解析 不妨令 ABC为等腰三角形, BAC=120,6B=C= 30,b=c.S ABC= bcsinA=4,b 2=c2= 由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA= =1612 163. 4833.=3 , BPPC| |= |= ,| |= |=PC14|BCa4 BP34|BC3a4.过点 P作边 AB,AC所在直线的垂线,垂足分别是 M,N,故 | |=|
10、|sinB= ,| |=| |sinC=PM BP3a8 PN PC a8. MPN=180-A=60,=| | |cos60= 故答案为 PMPNPM PN3a8a812=3a2128=338. 338.15.在 ABCD中, BAD=60,AB=1,AD= ,P为 ABCD内一点,且 AP= ,若 = + ( , R),332 AP AB AD则 + 的最大值为 . 3答案 1解析 = + ,| |2=( + )2, AP AB AD AP AB AD即 = 2| |2+ 2| |2+2(32)2 AB AD ABAD.又 AB=1,AD= , BAD=60,3=| | |cos60= A
11、BADABAD32.= 2+3 2+34 3. (+ )2=334+ 3 34+( + 32 )2. (+ )21 .3+ 的最大值为 1,当且仅当 = ,= 时取等号 .312 3616.(2017浙江高考)已知向量 a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 答案 4 2 5解析 设向量 a,b的夹角为 ,由余弦定理有: |a-b|= ,|a+b|=12+22-212cos = 5-4cos,12+22-212cos( - )= 5+4cos则 |a+b|+|a-b|= ,5+4cos + 5-4cos7令 y= ,5+4cos + 5-4cos则
12、 y2=10+2 16,20,25-16cos2 据此可得:(|a+b|+|a-b|) max= =2 ,(|a+b|+|a-b|)min= =4,即 |a+b|+|a-b|的最小值是20 5 164,最大值是 2 5.17.已知 a=(2cos x,2sin x),b= ,函数 f(x)=cos.(sin(x-6),cos(x-6)(1)求函数 f(x)零点;(2)若锐角三角形 ABC的三内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,且 f(A)=1,求 的取值范围 .b+ca解 (1)由条件可知,ab =2cosxsin +2sinxcos =2sin ,(x-6) (x-6) (2x-6)f
13、 (x)=cos= =sinab|a|b|=2sin(2x-6)2 (2x-6). 函数 f(x)零点满足 sin =0,由 2x- =k, kZ,解得 x= ,kZ .(2x-6) 6 k2+12(2)由正弦定理得 ,由(1) f(x)=sin ,又 f(A)=1,即b+ca =sinB+sinCsinA (2x-6)sin =1, 2A- =2k + ,kZ,又 A(0,), A= ,(2A-6) 6 2 3A+B+C= , C= -B.代入上式化简得,23=2sin ,又在锐角三角形 ABC中,有 0Bb+ca =sinB+sin(23-B)sinA =32sinB+ 32cosBsin
14、A = 3sin(B+6)sinA (B+6), 0C= -B , B B+ ,则有 sin 1,即 2.2 23 2 6 2,3 623 32 (B+6) 3b+ca 18.已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P为该平面上一动点,作 PQ l,垂足为 Q,且=0.(PC+12PQ)PC-12PQ(1)求动点 P的轨迹方程;(2)若 EF为圆 N:x2+(y-1)2=1的任一条直径,求 的最值 .PEPF解 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y).由 =0,(PC+12PQ)(PC-12PQ)得 | |2- |2=0,即( x-2)2+y2- (x-8)2=0,PC14|PQ
15、14化简得 =1.x216+y2128所以点 P在椭圆上,其方程为 =1.x216+y212(2)因 =( )( )=(- )( )= -1,PEPFNE-NP NF-NP NF-NP NF-NPNP2-NF2=NP2P是椭圆 =1上的任一点,设 P(x0,y0),x216+y212则有 =1,即 =16- ,又 N(0,1),x2016+y2012 x20 4y203所以 +(y0-1)2=- -2y0+17=- (y0+3)2+20.因 y0 -2 ,2 ,所以当 y0=-3时, 取NP2=x2013y20 13 3 3 NP2得最大值 20,故 的最大值 19.PEPF当 y0=2 时, 取得最小值 13-4 (此时 x0=0),3 NP2 3故 的最小值为 12-4PEPF 3.
