浙江专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入考点规范练23平面向量基本定理及向量的坐标表示201901184113.docx

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1、1考点规范练 23 平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固组1.已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若 =3a,则点 B的坐标为 ( )ABA.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14)答案 D解析 设点 B的坐标为( x,y),则 =(x+1,y-5).AB由 =3a,得 解得AB x+1=6,y-5=9, x=5,y=14.2.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 为实数,(a + b)c,则 = ( )A B C.1 D.2.12 .14答案 A解析 由于 a+ b=(1+ ,2),故(a + b)c4(1 + )-6=0,解得 =

2、 ,故选 A.123.(2017浙江三市十二校联考)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与 同方向的单位向量是( )ABA B.(35,-45) .(45,-35)C D.(-35,45) .(-45,35)答案 A解析 =(4,-1)-(1,3)=(3,-4),AB=OB-OA故与 同方向的单位向量为ABAB| AB|=(35,-45).4.已知向量 在边长为 1的正方形网格中的位置如图所示,若 = + ,则 + 等于AC,AD和 AB AC AB AD( )A.2 B.-2 C.3 D.-32答案 A解析 如图所示,建立平面直角坐标系,则 =(1,0), =(2,-2), =(1,2)

3、.AD AC AB因为 = + ,AC AB AD所以(2, -2)= (1,2)+ (1,0)=(+ ,2 ),所以 解得 所以 += 2.故选 A.2= + ,-2=2 , = -1, =3, 5.如图,在 OAB中, P为线段 AB上的一点, =x +y ,且 =2 ,则( )OPOAOB BPPAA.x= ,y=23 13B.x= ,y=13 23C.x= ,y=14 34D.x= ,y=34 14答案 A解析 由题意知 ,又 =2 ,所以 )= ,所以 x=OP=OB+BP BPPA OP=OB+23BA=OB+23(OA-OB23OA+13OB,y=23 13.6.若平面向量 a,

4、b满足 |a+b|=1,a+b平行于 x轴,b =(2,-1),则 a= .答案 (-1,1)或( -3,1)解析 由 |a+b|=1,a+b平行于 x轴,得 a+b=(1,0)或( -1,0),则 a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或 a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).37.已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1, ).若 c(2a+b),则 = . 答案12解析 由题可得 2a+b=(4,2), c(2a +b),c=(1, ), 4- 2=0,即 = ,故答案为12 12.8.如图,在 ABCD中, AC,BD相交于点 O,E为线段 AO的中点 .若

5、= + ( , R),则 += .BE BA BD答案34解析 由平面向量基本定理可得 ,故 = ,= ,所以 +=BE=12BA+12BO=12BA+14BD 12 14 34.能力提升组9.已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c等于( )A.- a+ b B a- b12 32 .12 32C.- a- b D.- a+ b32 12 32 12答案 B解析 设 c= a+ b,即( -1,2)= (1,1)+ (1,-1),所以 解得 所以 c= a- b.-1= + ,2= - , =12, = -32, 12 3210.已知向量 a=(3,-2),b=(x,

6、y-1),且 ab,若 x,y均为正数,则 的最小值是( )3x+2yA.24 B.8 C D.83 .53答案 B解析 ab, - 2x-3(y-1)=0,化简得 2x+3y=3.x ,y均为正数,(2x+3y)3x+2y=(3x+2y)134= =8,13(6+9yx+4xy+6) 13(12+2 9yx4xy)当且仅当 时,等号成立,9yx=4xy的最小值是 8,故选 B.3x+2y11.给定两个长度为 1的平面向量 ,它们的夹角为 90,如图所示,点 C在以 O为圆心的圆弧 ABOA和 OB上运动,若 =x +y ,其中 x,yR,则 x+y的最大值是( )OCOAOBA.1 B. 2

7、C D.2. 3答案 B解析 法一:以 O为原点,向量 所在直线分别为 x轴、 y轴建立直角坐标系,设 = ,OA,OB OA,OC,则 =(1,0), =(0,1), =(cos ,sin ).由 =x +y , 0,2 OA OB OC OCOAOB x=cos ,y=sin .x+y= cos+ sin= sin ,+ ,2 ( +4) 4 4,34x+y 的最大值为 2.法二: 点 C在以 O为圆心的圆弧 AB上,| |2=|x +y |2=x2+y2+2xy =x2+y2=1 x+y 当且仅当 x=y= 时OC OAOB OAOB (x+y)22 . 2. 22等号成立 .12.在平

8、面直角坐标系 xOy中,已知点 A,B分别在 x,y轴上运动,且 |AB|=2,若 m= ,则 |m|的13OA+23OB取值范围是( )A B.23,43 .13,23C.0,2 D.0,2535答案 A解析 由题意,设 A(a,0),B(0,b),由 |AB|=2,得 a2+b2=4, m= (a,0)+ (0,b)=13OA+23OB=13 23 (13a,23b).| m|2=(13a)2+(23b)2=a2+4b29 =4+3b29 .又 0 b24, |m|2 ,得 |m| 故选 A.49 169 23 43.13.已知 OAB是边长为 1的正三角形,若点 P满足 =(2-t) +

9、t (tR),则 | |的最小值为( )OP OAOB APA B.1 C D. 3 .32 .34答案 C解析 以 O为原点,以 OB为 x轴,建立坐标系, OAB为边长为 1的正三角形, A ,B(1,0),(12,32)=(2-t) +t ,OP OAOB=(1+12t, 3- 32t),AP=OP-OA=(12t+12,32- 32t)| |=AP (12t+12)2+(32- 32t)2= ,故选 C.t2-t+1= (t-12)2+34 3214.已知向量 a,b,且 |b|=2,ab=2,则 |tb+(1-2t)a|(tR)的最小值为 . 答案 1解析 设 b=(2,0),a=(

10、x,y),由 ab=2得 x=1, a=(1,y).t b+(1-2t)a=1+(1-2t)y.|t b+(1-2t)a|2=1+(1-2t)2y21,当且仅当 t= 或 y=0时取“ =”.故所求最小值为 1.1215.在直角坐标系 xOy中,已知点 A,B,C是圆 x2+y2=4上的动点,且满足 AC BC.若点 P的坐标为(0,3),则 | |的最大值为 . PA+PB+PC答案 11解析 因为 AC BC,所以 AB为直径 .所以 =2 ,设 C(2cos ,2sin ),PA+PBPO则 =2 =(2cos ,2sin- 9),PA+PB+PCPO+PC6所以 | |= ,当 sin

11、=- 1时,有最大PA+PB+PC 4cos2 +(2sin -9)2= 85-36sin值为 11.16.已知 A(cos , sin ),B(2cos , sin ),C(-1,0)是平面上三个不同的点,且满足关3 3系 = ,则实数 的取值范围是 . CA BC答案 -2,1且 0解析 = , CA BC (cos+ 1, sin )= (-1-2cos ,- sin ),3 3 1+cos= (-1-2cos ), sin=- sin ,3 3 1=cos2+ sin2= (-1-2cos )-12+(- sin )2,化为: = ,令 2cos+ 1=t -1,3.4cos +23c

12、os2 +4cos +2则 = =f(t),f(t)= ,8t3t2+2t+3 -24(t+1)(t-1)(3t2+2t+3)2可知: t=1时,函数 f(t)取得最大值, f(1)=1.又 f(-1)=-2,f(3)= , -2,1,23由于 t=0时, = 0,点 A与 C重合,舍去 . -2,1, 0 .故答案为: -2,1, 0 .17.如图,已知 ABC的面积为 14,D,E分别为边 AB,BC上的点,且 ADDB=BEEC= 2 1,AE与 CD交于点P.设存在 和 ,使 = = =a, =b.AP AE,PD CD,AB BC(1)求 及 ;(2)用 a,b表示 ;BP(3)求

13、PAC的面积 .解 (1)由于 =a, =b,则 =a+ b, a+b.AB BC AE23 DC=13= = = = ,AP AE (a+23b),DP DC (13a+b),AP=AD+DP=23AB+DP7即 a+ =23 (13a+b) (a+23b).解得 =23+13 , =23 , =67, =47.(2) =-a+ =- a+ b.BP=BA+AP67(a+23b) 17 47(3)设 ABC, PAB, PBC的高分别为 h,h1,h2,h1h=| | |= ,S PAB= S ABC=8.PD CD47 47h2h=| | |=1-= ,S PBC= S ABC=2,PE

14、AE17 17S PAC=4.18.如图, G是 OAB的重心, P,Q分别是边 OA,OB上的动点,且 P,G,Q三点共线 .M为 AB的中点 .(1)设 = ,将 用 , 表示;PG PQ OG OP,OQ(2)设 =x =y ,证明: 是定值 .OPOA,OQOB1x+1y(1)解 + + ( )=(1- ) +OG=OP+PG=OP PQ=OP OQ-OP OP OQ.(2)证明 由(1)得 =(1- ) + =(1- )x +y ;OG OP OQ OA OB因为 G是 OAB的重心,所以 )=OG=23OM=2312(OA+OB13OA+13OB.又 不共线,OA,OB所以由 ,得 (1- )x=13,y =13, 解得 1x=3-3 ,1y=3 . 8所以 =3(定值) .1x+1y