1、1考点规范练 23 平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固组1.已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若 =3a,则点 B的坐标为 ( )ABA.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14)答案 D解析 设点 B的坐标为( x,y),则 =(x+1,y-5).AB由 =3a,得 解得AB x+1=6,y-5=9, x=5,y=14.2.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 为实数,(a + b)c,则 = ( )A B C.1 D.2.12 .14答案 A解析 由于 a+ b=(1+ ,2),故(a + b)c4(1 + )-6=0,解得 =
2、 ,故选 A.123.(2017浙江三市十二校联考)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与 同方向的单位向量是( )ABA B.(35,-45) .(45,-35)C D.(-35,45) .(-45,35)答案 A解析 =(4,-1)-(1,3)=(3,-4),AB=OB-OA故与 同方向的单位向量为ABAB| AB|=(35,-45).4.已知向量 在边长为 1的正方形网格中的位置如图所示,若 = + ,则 + 等于AC,AD和 AB AC AB AD( )A.2 B.-2 C.3 D.-32答案 A解析 如图所示,建立平面直角坐标系,则 =(1,0), =(2,-2), =(1,2)
3、.AD AC AB因为 = + ,AC AB AD所以(2, -2)= (1,2)+ (1,0)=(+ ,2 ),所以 解得 所以 += 2.故选 A.2= + ,-2=2 , = -1, =3, 5.如图,在 OAB中, P为线段 AB上的一点, =x +y ,且 =2 ,则( )OPOAOB BPPAA.x= ,y=23 13B.x= ,y=13 23C.x= ,y=14 34D.x= ,y=34 14答案 A解析 由题意知 ,又 =2 ,所以 )= ,所以 x=OP=OB+BP BPPA OP=OB+23BA=OB+23(OA-OB23OA+13OB,y=23 13.6.若平面向量 a,
4、b满足 |a+b|=1,a+b平行于 x轴,b =(2,-1),则 a= .答案 (-1,1)或( -3,1)解析 由 |a+b|=1,a+b平行于 x轴,得 a+b=(1,0)或( -1,0),则 a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或 a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).37.已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1, ).若 c(2a+b),则 = . 答案12解析 由题可得 2a+b=(4,2), c(2a +b),c=(1, ), 4- 2=0,即 = ,故答案为12 12.8.如图,在 ABCD中, AC,BD相交于点 O,E为线段 AO的中点 .若
5、= + ( , R),则 += .BE BA BD答案34解析 由平面向量基本定理可得 ,故 = ,= ,所以 +=BE=12BA+12BO=12BA+14BD 12 14 34.能力提升组9.已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c等于( )A.- a+ b B a- b12 32 .12 32C.- a- b D.- a+ b32 12 32 12答案 B解析 设 c= a+ b,即( -1,2)= (1,1)+ (1,-1),所以 解得 所以 c= a- b.-1= + ,2= - , =12, = -32, 12 3210.已知向量 a=(3,-2),b=(x,
6、y-1),且 ab,若 x,y均为正数,则 的最小值是( )3x+2yA.24 B.8 C D.83 .53答案 B解析 ab, - 2x-3(y-1)=0,化简得 2x+3y=3.x ,y均为正数,(2x+3y)3x+2y=(3x+2y)134= =8,13(6+9yx+4xy+6) 13(12+2 9yx4xy)当且仅当 时,等号成立,9yx=4xy的最小值是 8,故选 B.3x+2y11.给定两个长度为 1的平面向量 ,它们的夹角为 90,如图所示,点 C在以 O为圆心的圆弧 ABOA和 OB上运动,若 =x +y ,其中 x,yR,则 x+y的最大值是( )OCOAOBA.1 B. 2
7、C D.2. 3答案 B解析 法一:以 O为原点,向量 所在直线分别为 x轴、 y轴建立直角坐标系,设 = ,OA,OB OA,OC,则 =(1,0), =(0,1), =(cos ,sin ).由 =x +y , 0,2 OA OB OC OCOAOB x=cos ,y=sin .x+y= cos+ sin= sin ,+ ,2 ( +4) 4 4,34x+y 的最大值为 2.法二: 点 C在以 O为圆心的圆弧 AB上,| |2=|x +y |2=x2+y2+2xy =x2+y2=1 x+y 当且仅当 x=y= 时OC OAOB OAOB (x+y)22 . 2. 22等号成立 .12.在平
8、面直角坐标系 xOy中,已知点 A,B分别在 x,y轴上运动,且 |AB|=2,若 m= ,则 |m|的13OA+23OB取值范围是( )A B.23,43 .13,23C.0,2 D.0,2535答案 A解析 由题意,设 A(a,0),B(0,b),由 |AB|=2,得 a2+b2=4, m= (a,0)+ (0,b)=13OA+23OB=13 23 (13a,23b).| m|2=(13a)2+(23b)2=a2+4b29 =4+3b29 .又 0 b24, |m|2 ,得 |m| 故选 A.49 169 23 43.13.已知 OAB是边长为 1的正三角形,若点 P满足 =(2-t) +
9、t (tR),则 | |的最小值为( )OP OAOB APA B.1 C D. 3 .32 .34答案 C解析 以 O为原点,以 OB为 x轴,建立坐标系, OAB为边长为 1的正三角形, A ,B(1,0),(12,32)=(2-t) +t ,OP OAOB=(1+12t, 3- 32t),AP=OP-OA=(12t+12,32- 32t)| |=AP (12t+12)2+(32- 32t)2= ,故选 C.t2-t+1= (t-12)2+34 3214.已知向量 a,b,且 |b|=2,ab=2,则 |tb+(1-2t)a|(tR)的最小值为 . 答案 1解析 设 b=(2,0),a=(
10、x,y),由 ab=2得 x=1, a=(1,y).t b+(1-2t)a=1+(1-2t)y.|t b+(1-2t)a|2=1+(1-2t)2y21,当且仅当 t= 或 y=0时取“ =”.故所求最小值为 1.1215.在直角坐标系 xOy中,已知点 A,B,C是圆 x2+y2=4上的动点,且满足 AC BC.若点 P的坐标为(0,3),则 | |的最大值为 . PA+PB+PC答案 11解析 因为 AC BC,所以 AB为直径 .所以 =2 ,设 C(2cos ,2sin ),PA+PBPO则 =2 =(2cos ,2sin- 9),PA+PB+PCPO+PC6所以 | |= ,当 sin
11、=- 1时,有最大PA+PB+PC 4cos2 +(2sin -9)2= 85-36sin值为 11.16.已知 A(cos , sin ),B(2cos , sin ),C(-1,0)是平面上三个不同的点,且满足关3 3系 = ,则实数 的取值范围是 . CA BC答案 -2,1且 0解析 = , CA BC (cos+ 1, sin )= (-1-2cos ,- sin ),3 3 1+cos= (-1-2cos ), sin=- sin ,3 3 1=cos2+ sin2= (-1-2cos )-12+(- sin )2,化为: = ,令 2cos+ 1=t -1,3.4cos +23c
12、os2 +4cos +2则 = =f(t),f(t)= ,8t3t2+2t+3 -24(t+1)(t-1)(3t2+2t+3)2可知: t=1时,函数 f(t)取得最大值, f(1)=1.又 f(-1)=-2,f(3)= , -2,1,23由于 t=0时, = 0,点 A与 C重合,舍去 . -2,1, 0 .故答案为: -2,1, 0 .17.如图,已知 ABC的面积为 14,D,E分别为边 AB,BC上的点,且 ADDB=BEEC= 2 1,AE与 CD交于点P.设存在 和 ,使 = = =a, =b.AP AE,PD CD,AB BC(1)求 及 ;(2)用 a,b表示 ;BP(3)求
13、PAC的面积 .解 (1)由于 =a, =b,则 =a+ b, a+b.AB BC AE23 DC=13= = = = ,AP AE (a+23b),DP DC (13a+b),AP=AD+DP=23AB+DP7即 a+ =23 (13a+b) (a+23b).解得 =23+13 , =23 , =67, =47.(2) =-a+ =- a+ b.BP=BA+AP67(a+23b) 17 47(3)设 ABC, PAB, PBC的高分别为 h,h1,h2,h1h=| | |= ,S PAB= S ABC=8.PD CD47 47h2h=| | |=1-= ,S PBC= S ABC=2,PE
14、AE17 17S PAC=4.18.如图, G是 OAB的重心, P,Q分别是边 OA,OB上的动点,且 P,G,Q三点共线 .M为 AB的中点 .(1)设 = ,将 用 , 表示;PG PQ OG OP,OQ(2)设 =x =y ,证明: 是定值 .OPOA,OQOB1x+1y(1)解 + + ( )=(1- ) +OG=OP+PG=OP PQ=OP OQ-OP OP OQ.(2)证明 由(1)得 =(1- ) + =(1- )x +y ;OG OP OQ OA OB因为 G是 OAB的重心,所以 )=OG=23OM=2312(OA+OB13OA+13OB.又 不共线,OA,OB所以由 ,得 (1- )x=13,y =13, 解得 1x=3-3 ,1y=3 . 8所以 =3(定值) .1x+1y
