[职业资格类试卷]中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷23及答案与解析.doc

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1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 23及答案与解析一、单项选择题1 “= ”是“cos2= ”的( )（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件2 若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 1，AB 1 与上底面 ABCD 成 60角，则 A1C1 到上底面 ABCD 的距离为( )（A）（B） 1（C）（D）3 设 G 是正AP 1P2P3 及其内部的点构成的集合，点 P0 是P 1P2P3 的中心，若集合S=PPG，PP 0PP i，i=1 ，2，3 ，则集合 S 表示的平面区域是( )（A）三角形区域（B）

2、四边形区域（C）五边形区域（D）六边形区域4 设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线，ac，a= c ，则 bc的值一定等于( )（A）以 a， b 为邻边的平行四边形的面积（B）以 b，c 为两边的三角形面积（C）以 a，b 为两边的三角形面积（D）以 b，c 为邻边的平行四边形的面积5 若函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x2 的零点之差的绝对值不超过 025，则 f(x)可以是( )（A）f(x)=4x1（B） f(x)=(x1) 2（C） f(x)=ex1（D）f(x)=ln(x )6 设 m，n 是平面 内的两条不同直线；l 1

3、，l 2 是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分而不必要条件是( )（A）m 且 l1（B） ml1 且 nl2（C） m 且 n（D）m 且 nl27 在平面直角坐标系中，若不等式组 (a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于 2，则 a 的值为 ( )（A）5（B） 1（C） 2（D）38 教师不直接将学习内容提供给学生而是为学生创设问题情境，引导学生去探究和发现新知识和问题的方法是( )（A）讲授法（B）发现法（C）掌握学习法（D）头脑风暴法二、简答题9 设 f(x)在点 x=0 的某个领域内二阶可导，且 ，试求：f(0) ，f(0)及 f(0)的值10 求不定积分sec 3xdx.1

4、1 求 y2y+5y=2cos 2x 的通解12 数列是高中数学很重要的内容之一，数列中求通项的问题也是最常见的题型，其形式多样，解法灵活请谈谈你认为的几种常用的求数列通项的方法13 简述你对数学教学的看法三、解答题14 如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，BAD=FAB=90，BC AD，BE AF，G，H 分别为 FA，FD 的中点(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C，D ，F，E 四点是否共面?为什么 ?(3)设 AB=BE，证明：平面 ADE平面 CDE四、论述题15 数学以其高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛的应用性

5、，渗透于科学技术以及实际生产、生活的各个领域数学教育贯彻理论联系实际，最有效、最直接的途径是数学试题的改革，因此高考中出现应用性问题是顺理成章的但学生在解决应用问题方面仍存在一定的困难请就“如何培养高中学生应用题的读题能力” 简要谈一下你的看法五、案例分析题16 下面是一位同学解一道参数方程试题的解题过程(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线问题：(1)请判断该同学的解法是否正确；(2) 如错误，请分析错因，并给出正确解法；(3)指出解决此类问题时应注意的事项。六、教学设计题17 下面是一位教师对指数函

6、数及其性质一课的教学设计一、教学内容本节课是普通高中课程标准实验教科书.数学(1)(人教 A 版)第二章第一节第二课(21 2)指数函数及其性质指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究二、教学过程(一)创设情景、提出问题师：如果让 1 号同学准备 2 粒米，2 号同学准备 4 粒米，3 号同学准备 6 粒米，4号同学准备 8 粒米，5 号同学准备 10 粒米，按这样的规律，51 号同学该准备多少粒米?学生回答后，教师公布事先估算的数据：51 号同学该准备 102 粒米，大约 5 克重师：

7、如果改成让 1 号同学准备 2 粒米，2 号同学准备 4 粒米，3 号同学准备 8 粒米，4 号同学准备 16 粒米，5 号同学准备 32 粒米，按这样的规律，51 号同学该准备多少粒米?学情预设：学生可能说很多或可能算出具体数目 师：大家能否估计一下，51 号同学该准备的米有多重?教师公布事先估算的数据：51 号同学所需准备的大米约重 12 亿吨师：12 亿吨是一个什么概念?根据 2007 年9 月 13 日美国农业部发布的最新数据显示，20072008 年度我国大米产量预计为127 亿吨这就是说 51 号同学所需准备的大米相当于 20072008 年度我国全年的大米产量！设计意图：用一个看

8、似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸式增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用 y 表示，每位同学的座号数用 x 表示，y 与 x 之间的关系分别是什么?学生很容易得出y=2x(xN*)和 y=2x(xN*)学情预设：学生可能会漏掉 z 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中 x 的范围(二)师生互动、探究新知 1指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题 2 中，也有一个与 y=2x 类似的关系式y=1073 x(xN*，x20)(1)让学生思考讨论以下问题 (问题逐个给出) y=2x(xN*)和 y

9、=1073 x(xN*，x20)这两个解析式有什么共同特征?它们能否构成函数? 它们是我们学过的哪个函数?如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字?设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现 y=2x，y=1073 x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量师：如果可以用字母 a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成 y=ax 的形式自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数(2)让学生讨论并给出指数函数的定义对于底数的分类，可将问题分

10、解为：若 a0 会有什么问题 ?(如 a=2，x= ，则在实数范围内相应的函数值不存在)若 a=0 会有什么问题?(对于 x0，a x 都无意义)若 a=1 又会怎么样?(1 x 无论 x 取何值，它总是 1，对它没有研究的必要)师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定 a 0 且 a1在这里要注意生生之间、师生之间的对话学情预设：若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求 a0，且a1；a=1 为什么不行?若学生只给出 y=ax，教师可以引导学生通过类比一次函数(y=kx+b，k0)、反比例函数(y= ，k0)、二次函数 (y=ax2+bx+c，a0)中的限制条件，思考指

11、数函数中底数的限制条件设计意图：对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值； 讨论出a0，且 a1 也为下面研究性质时对底数的分类做准备 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出 12 个指数函数?教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如 y=23x，y=3 2x，y=2 x学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的设计意图：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解2 指数函数的性质(1)提出两个问题 目前研究函数一般可以包括哪些方面?设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素(对应法则、定义域、值域)和函数的

12、基本性质(单调性、奇偶性)研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究?用什么方法、从什么角度研究 ?可以从图像和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考设计意图：让学生知道图像法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从不同的角度对函数进行研究；对学生进行数学思想方法 (从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透(2)分组活动，合作学习师：好，下面我们就从图像和解析式这两个不同的角度对指数函数

13、进行研究让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图像的角度入手研究指数函数；每一大组再分为若干合作小组 (建议 4 人一小组)；每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解(3)交流、总结师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点

14、评或要求学生分析这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质?师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢?如过定点(0，1)，y=a x 与 y=( ) x的图像关于 y 轴对称等学情预设：首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报；对于从图像的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过操作电脑看函数图像的变化设计意图： 函数的表示法有三种：列表法、图像法、解析法，通过这个活动，让学生知

15、道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图像角度研究只是能直观地看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的；让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然师：从图像入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性以及过定点(0，1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表) 可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到教师通过几何画板中改变参数 a 的值，追踪 y=ax 的图

16、像，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律师生共同总结指数函数的图像和性质，教师可以边总结边板书(三)巩固训练、提升总结 1例：已知指数函数 f(x)=ax(a0，且 a1)的图像经过点(3，)，求f(0)，f(1)，f(3) 的值解：因为 f(x)=ax 的图像经过点 (3，)，所以 f(3)=即a3=，解得 a= ，于是 f(x)= 所以 f(0)=1，f(1)= ，f(3)= 设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗? 师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即只列一个方程就可以了设计意图：让学生明

17、确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想2练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y=3x 和 y=( )x 的大致图像，并说出这两个函数的性质；(2) 求下列函数的定义域：.3师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识?你有什么收获?学情预设：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数设计意图：让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从也应该从多个角度进行)，让学生体会本课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去总结本节课中所用到的数学思想方法强调各种研究数学的方法之间既有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通4 作业：课本 5

18、9 页习题 2.1A 组第 5 题请回答以下问题：(1)说明该节课的教学重难点(2)请对该设计进行点评(3) 请说明该教学设计的设计意图中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 23答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 依题意，B 1AB=60，如图，BB 1=1tan60= ，故选 D3 【正确答案】 D【试题解析】 如图，A、B、C、D、E、F 为各边三等分点，则集合 S 为六边形ABCDEF，其中，P 0A=P2APiA(i=1，3) 即点 P 可以是点 A4 【正确答案】 A【试题解析】 假设 a 与 b 的夹角为

19、 ，则bc=b ccosb，c=bacos(90)=b asin ，即为以 a，b 为邻边的平行四边形的面积，故选 A5 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)=4x 1 的零点为 x= ，f(x)=(x1) 2 的零点为 x=1，f(x)=e x1 的零点为 x=0，f(x)=ln(x )的零点为 x= 现在我们来估算 g(x)=4x+2x2 的零点，因为 ，所以 g(x)的零点 x( )，又函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x2 的零点之差的绝对值不超过 025，只有 f(x)=4x1 的零点适合，故选 A6 【正确答案】 B【试题解析】 要得到 ，必须是一个平面内的两条相交直线分

20、别与另外一个平面平行若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面对于选项 A，不是同一平面的两直线，显然既不充分也不必要；对于选项 B，由于 l1 与 l2是相交直线，而且由于 l1m 可得 l2，故可得 ，充分性成立，而 不一定能得到 l1m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选 B对于选项 C，由于m，n 不一定是相交直线，故是必要非充分条件对于选项 D，由 nl2，可转化为C，故不符合题意综上选 B7 【正确答案】 D【试题解析】 如图可得满足 x10 与 x+y10 的可行域，而 axy+1=0 的直线恒过(0 ，1) ，故看作直线绕点(0，1) 旋转，当 a= 5 时，则

21、可行域不是一个封闭区域，当 a=1 时，面积是 1；a=2 时，面积是 ；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选D8 【正确答案】 B【试题解析】 教师不直接将学习内容提供给学生而是为学生创设问题情境，引导学生去探究和发现新知识和问题的方法是发现法发现法的教学程序是：(1)创设情境，引导学生进入问题；(2) 观察探究，引导学生发现目标；(3)推理证明，引导学生验证发现；(4)总结、巩固、提高二、简答题9 【正确答案】 因为，所以，10 【正确答案】 sec3xdx=secxdtanx=secxtanxtanxsecxtanxdx=secxtanxsecx(sec 2x1)dx=secxtanxs

22、ec 3xdx+secxdx 移项后可得：sec3xdx= secxtanx+ lnsecx+tanx+C11 【正确答案】 齐次方程的特征方程 22+5=0 的特征根为：1=1+2i， 2=12i又因为 2cos2t=cos2t+1，且 =2i 或 0 不是方程的特征根，故可设方程的一个特解为 (x)=Acos2x+Bsin2x+C故方程的通解为12 【正确答案】 举例说明，有：叠加法，叠乘法，换元法，倒数法，待定系数法，分类讨论法等考生可根据自身条件简要说明每种方法适用的情况13 【正确答案】 数学教学应当以学生的发展为本教师不应是数学教学活动的“管理者”，而应成为学生数学学习活动的组织者

23、、引导者、参与者教师的主要职责是向学生提供从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动的机会，为学生的数学学习活动创设一个宽松的氛围，激发学生的求知欲，最大限度地发挥他们数学学习的潜能，让学生在活动中通过“动手实践、自主探索、合作交流、模仿与记忆”等学习方式学习数学，获得对数学的理解，发展自我三、解答题14 【正确答案】 (1)证明：由题意知，FG=GA，FH=HD，所以 GH AD，又 BCAD，故 GH BC，所以四边形 BCHG 是平行四边形(2)解：C，D，F ，E 四点共面理由如下：连接 EC由 BE AF，G 是 FA 的中点知，BE FG，所以EFBG由(1)知 BGCH，所

24、以 EFCH，故 EC，FH 共面又点 D 在直线 FH 上，所以 C，D ，F ，E 四点共面 (3)证明：连结 EG，由 AB=BE，BE AG 及BAG=90知，四边形 ABEG 是正方形，故 BGEA由题设知 FA，AD，AB 两两垂直，故 AD平面 FABE，因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影，根据三垂线定理知 BGED，又 EDEA=E，所以 BG平面 ADE由(1)知 CHBG，所以CH平面 ADE由(2)知 H平面 CDE，故 CH 平面 CDE，得平面 ADE平面CDE四、论述题15 【正确答案】 读题的过程通常可以分为三步：(1)层次分析(理清主次)；(2)重

25、点攻击(扫除专业术语) ；(3)数据重组(数量关系简单化、数据处理符号化) 对高中学生应用题读题能力的培养也理应从这三步入手五、案例分析题16 【正确答案】 (1)解法不正确(2) 错因分析：错解中(1)在曲线 C1 中，审题不认真，误把 当成参数，致使求错交点坐标(3)解决此类问题时，应注意： 首先弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；认真观察方程的表现形式，根据需要相互转化，以便于寻找最佳的化简求解途径六、教学设计题17 【正确答案】 (1)教学重点：指数函数的概念、图像和性质教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数函数的性质(2)首先，本节课让学生从不同角度去研究函数，对函数进行

26、了一个全方位的研究，不仅仅通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中其次，本课使用几何画板动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响最后，本教学设计在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题(3)函数及其图像在高中数学中占有很重要的位置如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图像语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望持久的好奇心我们知

27、道，函数的表示法有三种：列表法、图像法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图像的作用，这其实只是借助了图像的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去在本课的教学中努力实践以下两点：第一，在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式第二，在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法