[专升本类试卷]2012年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析.doc

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1、2012 年河南省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y= 的定义域是 ( )（A）-4，+)（B） (-4，+)（C） -4，0)(0，+)（D）(-4，0)(0 ，+)2 下列函数中为偶函数的是 ( )（A）y=x 2+log3(1-x)（B） y=xsinx（C） y=ln（D）y=e x3 当 x0 时，下列无穷小量中与 ln(1+2x)等价的是 ( )（A）x（B）（C） x2（D）2x4 没函数 f(x)=sin2 ，则 x=0 是 f(x)的 ( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点

2、5 函数 y= 在点 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）间断（C）连续但不可导（D）连续且可导6 设函数 f(x)=x(x) ，其中 (x)在 x=0 处连续且 (0)0，则 f(0) ( )（A）不存在（B）等于 (0)（C）存在且等于 0（D）存在且等于 (0)7 若函数 y=f(u)可导，u=e x，则 dy= ( )（A）f(e x)dx（B） f(ex)d(ex)（C） f(x)exdx（D）f(e x)dex8 曲线 y= 有水平渐近线的充分条件是 ( )9 设函数 y=x- = ( )10 曲线 f(x)= 在点(0，1)处的切线斜率是 ( )（A）0（B） 1（C） 2（

3、D）311 方程 x3+3x+c=0(其中 c 为任意实数)在区间(0 ，1)内实根最多有 ( )（A）4 个（B） 3 个（C） 2 个（D）1 个12 若 f(x)连续，则下列等式正确的是 ( )（A）f(x)dx=f(x)（B） f(x)dx=f(x)（C） df(x)=f(x)（D）df(x)dx=f(x)13 如果 f(x)的一个原函数为 x-arcsinx，则f(x)dx= ( )14 设 f(x)=1，且 f(0)=1，则 f(x)dx= ( )（A）x+C（B） +x+C（C） x2+x+C（D） +C15 (-cost2)dt= ( )（A）-cosx 2（B） cos(si

4、nx)2cosx（C） xcosx2（D）cos(sinx 2)16 = ( )（A）1（B） 0（C） 1-2e-1（D）e -1-117 下列广义积分收敛的是 ( )18 微分方程 =1 是 ( )（A）二阶非线性微分方程（B）二阶线性微分方程（C）一阶非线件微分方程（D）一阶线性微积分方程19 微分方程 的通解为 ( )（A）y 2=cos2x+C（B） y2=sin2x+C（C） y=sin2x+C（D）y=cos 2x+C20 在空间直角坐标系中，若向量 a 与 Ox 轴和 Oz 轴正向的夹角分别为 45和 60，则向量 a 与 Dy 轴正向的夹角为 ( )（A）30（B） 60（C

5、） 45（D）60或 12021 直线 与平面 2x+y=0 的位置关系是 ( )（A）直线在平面内（B）平行（C）垂直（D）相交但不垂直22 下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是 ( )（A）（B） z=x2-y2（C） y2=x-x2（D）z 2-x2=2y223 （A）0（B）（C）（D）224 函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微是 f(x，y)在该点处两个偏导数 存在的 ( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件25 已知 z=x+y+sin(xy)，则 = ( )（A）sin(xy)（B） sin(xy)(1+xy)（

6、C） cos(xy)-xysin(xy)（D）-xycos(xy)26 幂级数 的和函数 s(x)为 ( )（A）e -x（B） e-2x（C）（D）2e -2x27 下列级数发散的是 ( )28 若级数 (x-2)n 在点 x=0 处条件收敛，则在 x=-1，x=2，x=3，x=4，x=5 中使该级数收敛的点有 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个29 若 L 是曲线 y=x3 上从点 (1，1)到(-1，-1)的一条连续曲线段，则曲线积分 L(ey+y-2)dx+(xey+x-3y)dy 的值为 ( )（A）e -1+e-4（B） -e-1-e-4（C） -e-1-e

7、+4（D）030 设 I= ，则交换积分次序后，I 可化为 ( )二、填空题31 已知 f(x-1)=x2-x，则 f( )=_32 设函数 f(x)= (x0)，则 f(ln2)=_33 如果函数 f(x)在点 a 处可导且 f(a)为 f(x)的极小值，则 f(a)=_34 凹线 y=xe-x 的拐点是_35 不定积分 =_36 微分方程 满足 y(0)=0 的特解为_37 向量 a=1，-1，2在 b=0，3，4 上的投影为_38 设方程 xy+xz+yz=0 所确定的隐函数为 z=z(x，y)，则 =_39 设积分区域 D：x 2+y24y，则 dxdy=_40 若 =k(k0)，则正

8、项级数 的敛散性为 _三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。41 求极限42 已知参数方程43 求不定积分44 求45 求微分方程 +3y=0 的通解46 求函数 z(x，y)=y 3-x2+6x-12y+10 的极值47 求过点 A(2，-3 ，-1) 且与直线 l： 平行的直线方程48 求函数 z=arctan 的全微分49 并算 ，其中 D 为圆环： 2x2+y24250 求幂级数 的收敛域四、综合题51 求函数 f(x)= 在 x0 时的最大值，并从数列 1， ，中选出最大的一项(已知 )52 过点 M(3，0)作曲线 y=ln(x-3)的切线，该切线与此曲线及 x 轴围成一平面图形D

9、。试求平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积五、证明题53 证明不等式： ，其中 n2012 年河南省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 函数有意义，则 x+40 且 x0，即 x-4 且 x0故选 C.2 【正确答案】 B【试题解析】 两个奇函数之积为偶函数，故选 B，选项 A 和 D 是非奇非偶函数，选项 C 为奇函数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 f(x)0 时 ln(1+f(x)-f(x)，故选 D.4 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 x0 时 均不存在，因此属于第二类

10、间断点，故选 D.5 【正确答案】 C【试题解析】 因 =0，所以函数 y= 在点 x=0 处连续，但因其导数在 x=0 处没有意义，所以不可导，故选 C.6 【正确答案】 A【试题解析】 又因(0)0，所以 ，因此 f(0)不存在7 【正确答案】 B【试题解析】 根据一阶微分形式的不变性得 dy=df(u)=f(u)du=f(ex)d(ex)8 【正确答案】 B【试题解析】 若水平渐近线存在，则要求自变量逼近无穷大时函数值能无限地逼近某确定的数值，因此首先要求自变量的变化为 x，因此可直接排除选项 C 和D而当 =，因此选项 A 错误，故选 B9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 dy=d

11、x- d(sinx)=(1- cosx)dx， 所以，故选 D10 【正确答案】 B【试题解析】 由导数定义易知曲线 f(x)在 x=0 处的左右导数均存在且相等，并等于 111 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=x3+3x+c，则 f(x)=3x2+30，表明 f(x)在实数范围内是严格单调递增的，又因为 f(0)=c，f(1)=4+c，则当任意实数 c 取区间(-4，0)内的值时，可由零点定理证明原方程在区间(0，1)内最多有 1 个实根12 【正确答案】 A【试题解析】 选项 B 和 C 是先求导(微分)后积分，分别少了一个积分常数选项D 是先积分后微分，而等式右端缺少微分符号

12、，因此选 A.13 【正确答案】 C【试题解析】 若 f（x) 的一个原函数为 F(x)，则f(x)dx=F(x)+C，故选 C.14 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=1，所以 f(x)=x+C1，又因 f(0)=1，所以 C1=1，因此 f(x)=x+1，所以 f(x)dx= +x+C15 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(t)dt=fu(x)u(x)-fv(x)v(x)，所以 (-cost2)dt=0-cos(sinx)2cosx=cos(sinx)2cosx16 【正确答案】 C【试题解析】 17 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =-，故选项 A 发散； 因为 当

13、 k1 时收敛，当 k1 时发散，故选项 B 发散； 因为 当 k1时收敛，当 k1 时发散，故选项 C 发散； ，所以选项。收敛18 【正确答案】 A【试题解析】 由微分方程阶的概念易知选项 A 正确19 【正确答案】 B【试题解析】 变量分离得 ydy=sinxcosxdx，两边分别积分得 ，故选 B.20 【正确答案】 D【试题解析】 由已知可知 =45，=60，由向量夹角余弦公式cos2+cos2+cos2=1，不难得出 cos2= 所以选项 D 正确21 【正确答案】 B【试题解析】 已知直线的方向向量为 S=-1，2，3，平面的法向量为n=2， 1，0，因为 S.n=0，所以直线与

14、平面是平行关系22 【正确答案】 C【试题解析】 平面曲线 f(x，y)=0 绕 x 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为 f(x，)=0；平面曲线 f(x，y)=0 绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为 f(，y)=0易知选项 C 正确23 【正确答案】 B【试题解析】 令 xy=t，则当(x，y)(1，1) 时，t1，所以原极限为24 【正确答案】 A【试题解析】 二元函数可微，则偏导数必然存在；但当偏导数均存在时，二元函数未必可微，故可微是偏导数存在的充分条件25 【正确答案】 C【试题解析】 =1+ycos(xy)； =cos(xy)-xysin(xy)26 【正确答案】 B【试题解析】

15、因为 et= ，t R，所以令 t=-2x 时，则有=e-2x27 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A 因为通项的极限不收敛于 0，故发散；利用交错级数的莱布尼兹判别法可知选项 B 收敛；选项 C 中乘以-1，可得其为公比绝对值小于 1 的几何级数，所以收敛；利用比值判别法可知选项 D 收敛28 【正确答案】 C【试题解析】 令 x-2=t，则 在点 t=-2 处条件收敛， 在点 t=-2 处收敛，从而级数 在区间(-2，2)内绝对收敛.假设 在点 t=-3 处收敛，可知该级数 必然在(-3，3)内绝对收敛，则可得 在点 t=-2 处绝对收敛，这与题设矛盾，所以可知当 在点 t=-2 处条

16、件收敛时，级数 在区间(-2，2)外必然发散.而 x=-1，x=2，x=3，x=4 ，x=5 对应的 t 中使该级数收敛的点分别为 t=-3，0，1，2，3，故 在点 t=0，1 时收敛，在点 t=3 时发散，而对 t=2，则可能发散，也可能收敛故选 C.29 【正确答案】 C【试题解析】 P(x ，y)=e y+y-2，Q(x ，y)=xe y+x-3y，且 =ey+1= ，所以该曲线积分与路径无关可将积分路径更改为从点(1，1)到(-1，-1)的直线段 y=x，此时L(ey+y-2)dx+(xey+x-3y)dy= (ex+xex-x-2)dx考虑到在对称区间上奇函数的积分为零，所以原积分

17、= (ex+xex-x-2)dx= (ex+xex-2)dx=-e-1-e+4 本题应注意曲线积分的始点对应积分的下限，终点对应积分的上限30 【正确答案】 A【试题解析】 原积分域是由两个 y 型域构成，即D=D1D2=(x，y)0x1，0yx 2(x，y)1x2,0y2-x改变投影方向后可得 Y 型域 D=(x，y)0y1， x2-y，所以改变积分次序后可得 I=二、填空题31 【正确答案】 x+【试题解析】 f(x-1)=x 2-x=x(x-1)=(x-1+1)(x-1)=(x-1)2+(x-1)，所以 f(t)=t2+t，因此 f=x+32 【正确答案】 4【试题解析】 对于 1型的未

18、定式 lim(1+u(x)v(x)(其中 limu(x)=0，limv(x)=) ，若当 limu(x)v(x)=k，则必有 lim(1+u(x)v(x)=ek 据此易知 f(x)= =e2x，所以 f(ln2)=e2ln2=433 【正确答案】 0【试题解析】 可导函数的极值点必为驻点，得 f(a)=034 【正确答案】 (2， )【试题解析】 y=e -x-xe-x， y=-2e-x+xe-x=(x-2)e-x，令 y=0 得 x=2，因当 x2 时y0，当 x2 时 y0；所以(2， )为凹凸区间的分界点，即为曲线 y=xe-x 的拐点35 【正确答案】 lnx 2-1-lnx+C【试题

19、解析】 36 【正确答案】 y=【试题解析】 由一阶非齐次线性微分方程 +p(x)y=Q(x)知 P(x)=2x,Q(x)= ，代入通解公式 y=e-p(x)dx(Q(x)ep(x)dxdx+C)可得 y=e-2xdx( e2xdxdx+C)= (dx+C)=(x+C)，根据初始条件 y(0)=0 可知 C=0，所以特解为 y=37 【正确答案】 1【试题解析】 向量 a=1,-1,2与 b=0，3，4 的夹角的余弦为 cosa=，所以向量 a=1，-1，2与 b=0，3，4上的投影为acosa= =138 【正确答案】 -1【试题解析】 令 F(x，y， z)=xy+xz+yz，则 =y+z

20、， =x+y，当 x=0，y=1 时，z=0，所以39 【正确答案】 4【试题解析】 dxdy 表示积分区域 D 的面积，所以 dxdy=440 【正确答案】 发散【试题解析】 若 =k(k0)，即 =k，这说明 un(x)与 在 n时为同阶无穷小，从而正项级数 与调和级数 具有相同的敛散性，因调和级数发散，故正项级数 发散三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。41 【正确答案】 原式42 【正确答案】 因为43 【正确答案】 令 =t，则 x=t2-1，且 dx=2tdt，于是原式=2te tdt=2tdet=2(tet-etdt)=2(t-1)et+C 将 t= 代入上式，得原式=44 【

21、正确答案】 原式= =-145 【正确答案】 原方程的特征方程为 2r2+4r+3=0，解得特征方程的根为 r=，所以原方程的通解为 y=e-x (其中 C1，C 2 为任意常数)46 【正确答案】 由 解得驻点为(3，2)和(3，-2) 又 zxx=-2，z xy=0，z yy=6y，对于驻点(3，2) ，因为 A=zxx(3，2)=-20，B=z xy(3，2)=0 ， C=zyy(3，2)=12， 所以 AC-B2=-240，于是点(3 ，2)不是函数的极值点 对于驻点(3， -2)，因为 A=z xx(3，-2)=-20，B=z xy(3，-2)=0，C=z yy(3，-2)=-12，

22、 于是AC-B2=240 所以函数在点(3，-2) 处取极大值，极大值为 z(3，-2)=35 47 【正确答案】 因为所求直线平行于直线 l： 所以所求直线的方向向量为 S= =6i-5j-3k=6，-5，-3由直线的点向式方程可得，所求的直线方程为48 【正确答案】 由于49 【正确答案】 在极坐标系下，区域 D 如第 49 题图所示，可以表示为 D=(r，)02，r2， 所以50 【正确答案】 因为 = =1，所以原级数的收敛半径为 R= =1， 也就是，当-1x-21，即 1x3 时，原级数收敛 当x=1 时，原级数为 ，是交错级数且满足 u n=0，所以它是收敛的； 当 x=3 时，

23、原级数为 ，这是一个 p= 1 的 P 一级数，所以它是发散的 所以，原级数的收敛域为1，3) 四、综合题51 【正确答案】 因为 lnf(x)= ，两边对戈求导得 ， 所以f(x)= (1-lnx)，令 f(x)=0，解得 x=e 又因为在区间(0 ，e) 内 f(x)0，f(x)单调增加；在区间(e，+)内 f(x)0，f(x)单调减少，而 f(x)在区间(0，+)上连续，所以 f(x)在 x=e 处取最大值 已知 ，由上述分析知于是数列的第三项 是此数列中最大的一项52 【正确答案】 设切线与曲线相切于点 M0(x0，ln(x 0-3)，如第 52 题图所示由于 ，则切线方程为 y-ln(x0-3)= (x-x0) 因为切线经过点 M(3，0)，所以将 x=3，y=0 代人上式得切点坐标 M0(e+3，1) 从而切线方程为 y= (x-3) 因此，所求旋转体的体积为五、证明题53 【正确答案】 设 f(x)=lnx，则 f(x)在n，m上连续，在(n，m) 内可导，故 f(x)在区间n ，m 上满足拉格朗日中值定理条件，于是，至少存在一点 (n，m) ，使得 又因为 0nm，故 ，从而有 所以