[考研类试卷]考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编7及答案与解析.doc

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1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1999 年) 设随机变量 Xi (i=1，2)，且满足 PX1X2=0=1，则PX1=X2等于( )（A）0。（B）（C）（D）1。2 (2002 年) 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则( )（A）X+Y 服从正态分布。（B） X2+Y2 服从 2 分布。（C） X2 和 Y2 都服从 2 分布。 （D） X 2Y 2 服从 F 分布。3 (2007 年) 设随机变量 (X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)

2、分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y 条件下，X 的条件概率密度 fXY (xy)为( )（A）f X(x)。（B） fY(y)。（C） fX(X)fY(y)。（D）f X(x)f Y(y)。4 (2012 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则PX2+Y21=( )5 (2013 年) 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为则 PX+Y=2=( )6 (2008 年) 随机变量 X， Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(z)，则Z=maxX，Y的分布函数为( )（A）F 2(z)。（B） F(x)F(y)。（C）

3、 1-1-F(x)2。（D）1-F(x)1-F(y)。7 (2009 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1= ，记 FZ(z)为随机变量 Z=XY 的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。二、填空题8 (1999 年) 在天平上重复称量一重为 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 N(a，02 2)。若以 表示 n 次称量结果的算术平均值，为使 P -a01095，n 的最小值应不小于自然数_。9 (2015 年) 设二维随机变量(x，y) 服从正

4、态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXY-y0=_。10 (2006 年)设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则PmaxX，Y1=_。11 (2000 年) 假设随机变量 X 在区间-1 ，2上服从均匀分布，随机变量 Y=则方差 D(Y)=_。12 (2002 年) 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为则 X2 和 Y2 的协方差Cov(X2，Y 2)=_。13 (2013 年) 设随机变量 X 服从标准正态分布 XN(0，1)，则 E(Xe2X)=_。14 (2017 年) 设随机变量 X 的概率分布为 Px=-2= ，Px=1=a，Px=3=b若E(X

5、)=0，则 D(X)=_。15 (2004 年) 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则=_。16 (2008 年) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=E(X2)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (2012 年) 设二维离散型随机变量(X，Y) 的概率分布为：()求 PX=2Y；()Cov(X-Y，Y)。18 (2014 年) 设随机变量 X 与 Y 的概率分布相同，X 的概率分布为 PX=0= ，PX=1= ，且 X 与 Y 的相关系数 XY= ()求(X，Y) 的概率分布；()求PX+Y1。19 (2017 年) 设随机变量为 X，Y 相

6、互独立，且 X 的概率分布为 PX=0=PX=2=，Y 的概率密度为 f(y)= ()求 PYE(Y)；()求 Z=X+Y的概率密度。20 (2005 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为求：()(X，Y) 的边缘概率密度 fX(x)，fY(y)；( )Z=2X-Y 的概率密度 fZ(z)；()21 (2009 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为()求条件概率密度 fYX (yx)；()求条件概率P=X1Y1。22 (2010 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为 f(x，y)=Ae -2x2+2xy-y2，-x+，-y+， 求常数 A 及条件概率密度 fYX (yx

7、)。23 (2011 年) 设二维随机变量(X，Y) 服从区域 G 上的均匀分布，其中 G 是由 x-y=0，x+y=2 与 y=0 所围成的区域。 ()求边缘概率密度 fX(x)； ()求条件概率密度 fX Y(xy)。24 (2013 年) 设 (X，Y)是二维随机变量， X 的边缘概率密度为在给定 X=x(0x1)的条件下，Y 的条件概率密度为 ()求(X，Y)的概率密度 f(x，y) ；()求 Y的边缘概率密度 fY(y)；()求 PX2Y 。25 (2001 年)设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(x，y)1x3，1y3上的均匀分布，试求随机变量 U=X-Y 的概率密度

8、 p(u)。26 (2003 年) 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X ，而Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u)。27 (2006 年) 设随机变量 X 的概率密度为 fX(x)= 令Y=X2，F(x ， y)为二维随机变量 (X，Y)的分布函数。求()Y 的概率密度 fY(y)；()Cov(X ， Y)；()28 (2007 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为()求 PX2Y；()求Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)。29 (2008 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=-1，0，1)

9、，Y 的概率密度为 fY(y)= 记 Z=X+Y。()求 PZ Z=0；()求 Z 的概率密度。30 (2012 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，V=minX，Y，U=maxX，Y。 ()求 V 的概率密度 fV(u)； ()求 E(U+V)。31 (1998 年)一商店经销某种商品，每周进货的数量 X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为 500 元。试计算此商店，经销该种商品每周所得利润的

10、期望值。 32 (2015 年) 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数。 ()求 Y的概率分布； () 求 E(Y)。考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据 PX1X2=0=1 可得 PX1X20=0，即 PX1=-1，X 2=-1=PX1=1，X 2=1=PX1=1，X 2=-1=PX1=-1，X 2=1=0，因此可得根据边缘分布的定义可得出(X1，X 2)的分布如下表 由上

11、表可知PX1=X2=0。2 【正确答案】 C3 【正确答案】 A【试题解析】 因(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 Y 相互独立，于是 f X Y(xy)=f X(x)， 因此选 A。4 【正确答案】 D【试题解析】 根据 X 和 Y 相互独立，可知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)=f X(x)fy(y)= PX2+Y21= 因此选 D。5 【正确答案】 C【试题解析】 PX+Y=2=PX=1，Y=1+PX=2，Y=0+PX=3，Y=-1=PX=1PY=1+PX=2PY=0=PX=3PY=-16 【正确答案】 A【试题解析】 因为 X，Y 独立同分布，所以

12、由独立的性质可知，Z 的分布函数 Fz(z)=PZx=PmaxX， Yx =PXxPYx=F(x).F(x)=F2(x)。7 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)=P(XYz)=P(XYzY=0)P(Y=0)+P(XYzY=1)P(Y=1)= P(XYzY=0)+P(XYzY=1)= P(X.0z Y=0)+P(XzY=1)，因为X，Y 独立 FZ(z)= (P0z+PXz)。当 z0 时，则 FZ(z)= (z)；当 z0时，则FZ(z)= (1+(z)。所以 z=0 为间断点，故选 B。二、填空题8 【正确答案】 16【试题解析】 由题知：X 1，X 2，X nN(a ，02 2)，

13、 Xi，且X1，X 2，X n，相互独立，故 =XiN(， 2)，其中 = ， 2=，所以所以 标准化得 则只需将P -a01095 中大括号里的不等式两端同除以标准差，即有：因，查标准正态分布表知 PU 196095，所以196，解得 n15 3664。因 n 为整数，所以 n 最小为 16。9 【正确答案】 【试题解析】 由题设知，XN(1，1)，YN(0 ， 1)，相关系数 =0，则 X，Y 相互独立，故 PXY-Y0=P(X-1)Y0=PX-10，Y0+PX-1 0，Y0=PX1PY0)+PX1)PY 010 【正确答案】 【试题解析】 由题设知，X 与 Y 独立同分布于 U(0，3)

14、，则 PmaxX，Y)1=PX1，Y1=PX1PY1=(PX1) 2=11 【正确答案】 【试题解析】 PY=-1=PX0)= PY=0=PX=0=0；PY=1=PX0= 因此 E(Y)= ，E(Y 2)=(-1)2=1所以 D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=1-12 【正确答案】 002【试题解析】 由题设，有E(X2)=PX2=1=06，E(Y 2)=PY2=1=05，从而 E(X2Y2)=00018+10032+110 28=028，故 Cov(X2，Y 2)=E(X2Y2)-E(X2)E(Y2)=0 28-03=-002。13 【正确答案】 2e 2【试题解析】 标准正态分布的概率密度

15、为14 【正确答案】 【试题解析】 由分布律的归一性可知 +a+b=1，又由于 E(X)=0，可知-2 +1a+3b=0，解得 ，从而 E(X2)=(-2)2，D(X)=E(X 2)-E(X)2=15 【正确答案】 【试题解析】 由题设，知 D(X)=1 2，于是16 【正确答案】 【试题解析】 因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1。从而由 D(X)=E(X2)-E(X)2 得 E(X)=2。故 PX=E(X2)=PX=2= 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 根据(X，Y)的分布可得()PX=2Y=P(X=0，Y=0)+P(X

16、=2，Y=1)= ()Cov(X-Y，Y)=Cov(X，Y)-Cov(Y，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-D(y)，其中 E(X)= ，E(X 2)=1，E(Y)=1，E(Y 2)= ，D(X)=E(X 2)-E(X)2=1-D(Y)=E(Y2)-E(Y)2= 所以，Cov(X ，Y)=0，Cov(Y，Y)=D(Y)= ，Cov(X-Y，Y)=18 【正确答案】 () 由已知得到 E(X)=E(Y)=，D(X)=D(Y)= 。又由 XY= ，所以由 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= 得 E(XY)= 。且有 E(XY)=1.P(X=1，Y=1)+0.P(X=0，Y=1)+0

17、.P(X=0，Y=0)+0.P(X=1，Y=0)=P(X-1，Y=1)= 再利用联合分布与边缘分布之间的关系 P(X=0，Y=1)=P(Y=1)-P(X=1，Y=1)= P(X=1，Y=0)=P(X=1)-P(X=1，Y=1)= P(X=0，Y=0)=P(Y=0)-P(X=1，Y=0)= 故(X， Y)的联合概率分布为 ()PX+Y1=P(X=0，Y=0)+P(X=0，Y=1)+P(X=1 ，Y=0)19 【正确答案】 ()E(Y)= -+f(y)dy=012y2dy= ，则()因为 X 为离散型随机变量，所以由全概率公式可知，Z 的分布函数 FZ(z)=PZz=PX+Yz=PX=0PX+Yz

18、X=0+PX=2PX+YzX=2 当z0 时，F Z(z)=0；当 z3 时，F Z(z)=1。当 0z1 时，F Z(z)= PYz= 0z2ydy=z22；当 1z2 时，F Z(z)= ；当 2z3 时，F Z(z)= 0z-22ydy=z22-2z+ 综上所述 FZ(z)=则 Z 的概率密度为 Z(z)=FZ(z)=20 【正确答案】 () 关于 X 的边缘概率密度关于 Y的边缘概率密度()令 FZ(z)=PZz=P2X-Yz，(1)当 z0 时，F Z(z)=P2X-Yz=0；(2) 当 0z2时，F Z(z)=P2X-Yz=z- z2；(3)当 z2 时，F Z(z)=P2X-Yz

19、=1。即分布函数为故所求的概率密度为()21 【正确答案】 () 由 f(x，y)= 得其边缘密度函数故有()P=X1Y1=而 PX1，Y1= =01dx0xe-xdy=01xe-xdx=1-2e-1，f Y(y)=y+e-xdx=-e-x y+=e-y(y0)，PY1= 1e0-ydy=-e-y 01=-e-1+1=1-e-1，P=X1Y1=(1-2e -1)(1-e -1)=22 【正确答案】 由概率密度的性质 -+-+f(x，y)dxdy=1，可知 -+-+Ae-2x2+2xy-y2dxdy=A-+e-x2dx-+e-(x-y)2dy=1，又知 -+e-x2dx= ，有 -+e-x2dx

20、-+e-(x-y)2dy=-+e-(y-x)2d(y-x)= =，所以 A= e-2x2+2xy-y2。X 的边缘概率密度为23 【正确答案】 () 已知直线所围成的图形如图所示，因为(X，Y) 在区域 G 上服从均匀分布，且 G 的面积是 1，则(X，Y)的联合密度函数为因为 fX(x)=-+f(x，y)dy ，则当 x0 或者 x2 时，fX(x)=0。当 0x1 时，f X(x)=0x1dy=x；当 1z2 时，f X(z)=02-x1dy=2-x。故 fX(x)=()因为 fXY (xy)=f(x ，y)f Y(y)，且当 y0 或 y1 时，fY(y)=0；当 0y1 时，f Y(y

21、)=y2-y1dx2-2y，所以当 0y1 时，有24 【正确答案】 () 当 0x1 时，f(x ，y)=f X(x)fYX (x(yx)当 x0 或 x1 时，f(x，y)=0，故 f(x，y)=()f Y(y)=-+f(x，y)dx。当 0y1 时，f Y(y)=y19y2xdx=-9y 2.lny，当 y0 或 y1 时，f Y(y)=0，所以 Y 的边缘概率密度为()如图所示，PX2Y= f(x，y)dxdy25 【正确答案】 由题设条件 X 和 Y 的联合分布是正方形G=(x，y) 1x3 ，1y3上的均匀分布，则 X 和 Y 的联合密度为：由分布函数的定义：F(u)=PUu=PX

22、-Yu。 (1)当 u0 时，F(u)=0(因为X-Y是非负的，所以小于 0 是不可能事件) (2)当 u2 时，F(u)=1( 因为 X 和 Y 最大为 3，X 和 Y 最小为 1，所以X-Y最大也就只能为 2，所以X-Y2 是必然事件，概率为 1)。 (3)当 0u2 时，F(u)=PUu相当于阴影部分所占的概率大小。如图所示： F(u)=PUu=PX-Yu= 4-(2-u)2=1- (2-u)2，(二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面积是用总面积减去两个三角形的面积)。 于是随机变量 U 的概率密度为：26 【正确答案】 设 F(y)是 Y 的分

23、布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为G(u)=PX+Yu=0 3PX+YuX=1+0 7PX+Yu X=2=0 3PYu-1X=1+07PYu-2 X=2 。由于 X 和 Y 独立，所以G(u)=03PYu-1+0 7PYu-2=0 3F(u-1)+07F(u-2)。由此，得 U 的概率密度g(u)=G(u)=03F(u-1)+07F(u-2)=0 3f(u-1)+07f(u-2)。27 【正确答案】 () 设 Y 的分布函数为 FY(y)，即 FY(y)=P(Yy)P(X2y)，则当y0 时，F Y(y)=0；当 0y1 时，F Y(y)=P(X2y)=当 1y4 时，F Y

24、(y)=P(X2y)= 当y4，F Y(y)=1。所以 ()Cov(X，Y)=Cov(X，X 2)=E(X2)-E(X)E(X2)，而 所以()28 【正确答案】 ()PX 2Y= (2-x-y)dxdy，其中 D 为 0x1，0y1 中x2y 所围成的部分区域，则可得()F Z(z)=PZz=PX+Yz。当 z0 时，F Z(z)=0；当 z2 时，F Z(z)=1；当 0z1 时，F Z(z)=0zdx0z-x(2-x-y)dy= z3+z2;当 1z2 时，F Z(z)=1-z-11dxz-x1(2-x-y)dy= z3-2z2+4z-；于是29 【正确答案】 ()()F Z(z)=PZ

25、z=PX+Yz =PX+Yz，X=-1+PX+yz ，X 一 0+PX+Yz，X=1 =PYz+1，X=-1+PYz ，X=0+PYz-1 ，X=1 =PYz+1PX=-1+PYzPX=0+PYz-1PX=1= PYz+1+PYz+PYz-1= FY(z+1)+FY(z)+FY(z-1)，f Z(z)=FZ(z)= fY(z+1)+fY(z)+fY(z-1)=30 【正确答案】 () 由于 XE(1) ，则 FX(x)= YE(1)，则FY(y)= FV(v)=PminX，Yv=1-PminX，Y v=1-PXvPYv=1-1=F X(v)1-FY(v) 所以()已知 V=minX，Y，U=m

26、axX，Y。因此可知 U+V=X+Y， E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2。31 【正确答案】 设 Z 表示商店每周所得的利润，当 YX 时，卖得利润为Z=1000y(元) ；当 YX 时，调剂了 Y-X，总共得到利润 Z=1000X+500(Y-X)=500(X+Y)(元 )。所以， 由题设 X 与 Y 都服从区间10， 20上的均匀分布，联合概率密度为由二维连续型随机变量的数学期望定义得32 【正确答案】 ()P(X3)= 3+2-xln2dx= ，则 Y 的概率分布为：P(Y=k)=Ck-11p(1-p)k-2p=(k-1) ，k=2，3，。()记 h(x)= k(k-1)xk-2(-1 x1) ，则从而