[考研类试卷]考研数学三（微积分）模拟试卷134及答案与解析.doc

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1、考研数学三（微积分）模拟试卷 134 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列结论中正确的是（A）若数列u n单调有界，则级数 un 收敛（B）若级数 un 收敛（C）若级数 un 收敛，则数列u n单调有界（D）若级数 un 收敛，则级数部分和数列S n单调有界2 现有命题其中真命题的序号是（A）与（B） 与（C） 与（D）与3 若级数 (x 一 a)n 当 x0 时发散，而当 x=0 时收敛，则常数a=_（A）1（B）一 1（C） 2（D）一 24 设常数 0 且级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 A 有关5 设 un=(一

2、1)nln(1+ )，则级数6 设 a0 为常数，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 a 有关7 设常数 2，财级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 有关二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 已知级数 an 收敛，并求此级数的和9 判定下列级数的敛散性：10 判定下列正项级数的敛散性：11 判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：12 求下列幂级数的收敛域：13 求 及 arctanx 的麦克劳林级数14 求下列幂级数的和函数：15 判别下列正项级数的敛散性：()(常数 0，0)16 判别下列正项级数的敛散性：1

3、7 判别下列正项级数的敛散性：() ，其中x n是单调递增而且有界的正数数列18 考察级数 ，p 为常数()证明：(n=2，3，4，) ；()证明：级数 anp 当 p2 时收敛，当p2 时发散19 判别下列正项级数的敛散性：20 讨论级数 un 的敛散性，其中 un=01x(1 一 x)sin2nxdx21 判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：22 判别级数 的敛散性23 判断如下命题是否正确：设无穷小 unv n(n)，若级数 vn也收敛证明你的判断24 求下列幂级数的收敛域：() unxn 的收敛半径 R=3；(只求收敛区间)() an(x一 3)n，其中 x=0 时收敛，x

4、=6 时发散25 求下列幂级数的收敛域及其和函数：26 将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间： ()ln(1+x+x 2)； ()arctan 27 将下列函数在指定点处展开为泰勒级数： () ，在 x=1 处； () ln(2x2+x 一 3)，在 x=3 处28 将 f(x)=xln 展开为 x 的幂级数，并求 f(n)(0)，其中 n=1，2，3，29 将下列函数展开成 x 的幂级数：30 将函数 f(x)=xarctanx 一 展开成 x 的幂级数，并求其收敛域31 设 f(x)= 试将 f(x)展开成 x 的幂级数32 设 an0， bn0，(n=1，2，)，且满足 ，n

5、=1，2，试证：()若级数 bn 发散33 设 an= tan0xdx，()求 (an+an+2)的值；()试证：对任意的常数 0 级数 收敛34 ()求函数 y(x)=1+ +(一x+)所满足的二阶常系数线性微分方程； ()求() 中幂级数的和函数 y(x)的表达式考研数学三（微积分）模拟试卷 134 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由级数收敛的概念知级数 un 收敛就是其部分和数列S n收敛数列u n单调有界只说明 Sn 存在；由S n单调有界必存在极限即可判定级数 un 收敛，故选(B)而由级数 un 收敛，虽然可

6、以确定数列Sn和u n收敛，但S n和 un未必是单调的【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 设 un=(一 1)n1 (n=1，2，3，)，于是(一 1)n1 发散可见命题不正确或把 (u2n1+u2n)去掉括号后所得的级数由级数的基本性质 5：收敛级数加括号之后所得级数仍收敛，且收敛于原级数的和；但若加括号所得新级数发散时，则原级数必发散；而当加括号后所得新级数收敛时，则原级数的敛散性不能确定，即原级数未必收敛故命题不是真命题 设 un+1000 的部分和 Tn=Sn+1000S1000，(n=1，2，)，从而 un+1000 收敛 设 1，由极限的保号性质可知，存在自然数

7、 N，使得当 nN 时1 成立，这表明当 nN 时 un 同号且后项与前项的比值大于 1无妨设uN+1 0，于是有 0u N+1u N+2u n(nN)，从而un 有负项，可类似证明同样结论成立。 可见命题与都是真命题 设 un=1，y n=一 1 (n=1，2，3)，于是un 都发散可见命题 不是真命题 故应选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 本题是一个具体的幂级数，可直接求出该级数的收敛域，再根据题设条件确定 a 的取值 由 =1 知收敛半径为 1，从而收敛区间为x 一 a1，即 a1xa+1 又当 x 一 a=1 即 x=a+1 时，原级数变为收敛；当 x 一

8、a=一 1 即 x=a 一 1 时，原级数变为，发散因此，原级数的收敛域为 a1xa+1 于是，由题设 x=0 时级数收敛，x0 时级数发散可知，x=0 是收敛区间的一个端点，且位于收敛域内因此只有 a+1=0，从而 a=一 1故选(B)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 利用不等式 2aba 2+b2 可得均收敛，所以原级数绝对收敛，即(C)正确故选 (C)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 un 是交错级数，满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的而un2 发散这就说明(C) 正确【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 用分解法分解级数的

9、一般项【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 由于由正项级数比较判别法的极限形式知级数，绝对收敛，即(C)正确【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 由级数收敛则它的任何加括号级数也收敛的性质及 (一 1)n1a n=2 知，级数 (a2n122n)收敛，其和数为 2，且 an0又由于 a2n1=5，从而 2a2n1 一(a 2n1 一 a2n)=8设 an 的部分和为 Sn，则 S 2n=a1+a2+a2n1+a2n=(a1+a2)+(a2n1+a2n)是S2n=8注意到 S2n+1=S2n+a2n+1，因此an 收敛且其和为 8

10、【试题解析】 注意到an 的奇数项构成的级数 a2n1 收敛，从而可以由级数的性质通过运算来判定 an 收敛并求出其和【知识模块】 微积分9 【正确答案】 () 当 a1 时，1+a na n，因此收敛。当 0a1 时，1+a n2，因此发散。 ()注意到 xlnn=elnnlnx=nlnx，这样原级数转化为 p 一级数 由于当 p1 时收敛，p1 时发散可得：当 lnx1 时发散【知识模块】 微积分10 【正确答案】 () 利用比值判别法因1，故原级数收敛()利用比较判别法的一般形式由于 发散，故原级数发散() 利用比较判别法的极限形式由于也发散()利用比较判别法的极限形式()利用比较判别法

11、的极限形式取 un= ，那么，由【知识模块】 微积分11 【正确答案】 () 由于收敛，所以此级数绝对收敛 () 由于当 n 充分大时有 0sin ，所以此级数为交错级数，且此时还有 sin =0，由莱布尼茨判别法知级数条件收敛【知识模块】 微积分12 【正确答案】 () 因， 当 x=时，幂级数变成 ()由于 的收敛半径 R=+，即收敛域 D 为 (一，+) ()该幂级数缺偶次方项，即 a2n=0，故不能用求 R 公式(51)求其收敛半径此时，可将 x 看成数，把原幂级数当作一个数项级数来处理由于 故当 4x 21 即x时通项不趋于 0，级数发散，所以收敛半径 R=【知识模块】 微积分13

12、【正确答案】 利用公式(513)，并以 x2 代替其中的 x，则有 =1 一 x2+x4一 x6+(一 1)nx2n+，(x1)由于 arctanx 在一 1，1上连续，幂级数 在一 1，1上收敛，故当 x=1 时上述展开式也成立即 arctanx= (x1)【知识模块】 微积分14 【正确答案】 () 令 S1(x)= nxn1，则易知 S1(x)的收敛域为(一 1，1)，且S(x)=xS1(x)为求其和函数 S(x)首先求 S1(x)，在其收敛区间(一 1，1)内进行逐项积分得()容易求得幂级数 的收敛域为一 1，1) 为求其和函数首先在收敛区间(一 1， n1)内进行逐项求导，得 S(x

13、)= (一1x1) 又因为 S(0)=0，因此 S(x)=S(x)一 S(0)=0xS(t)dt=0x =一 ln(1 一 x) (一 1 x1) 注意和函数 S(x)与函数一 ln(1 一 x)都在一 1，1)上连续，它们又在(一 1， 1)内恒等，于是由连续性可知 S(x)=一 ln(1 一 x)也在 x=一 1 处成立，即 S(x)=一 ln(1 一 x) (一 1x1)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 利用比值判别法()由于收敛；当 pe 时，该级数发散；当 p=e 时，比值判别法失效注意到数列 (1+ )n是单调递增趋于 e 的，所以当 p=e 时， 1，即u n单调递增不是无

14、穷小量，所以该级数也是发散的从而，级数 当 pe 时收敛，pe 时发散( ) =，因此，当 1 时，原级数收敛，当 1 时发散若 =1，则原级数为 ，因此，当 1 时收敛，1 时发散【知识模块】 微积分16 【正确答案】 () 利用比较判别法的极限形式，由于级数 发散，而且当 n时所以原级数也发散 ()仍利用比较判别法的极限形式先改写()注意到 0也收敛。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 () 因为函数 f(x)= 单调递减，所以 再采用比较判别法，并将收敛再由上面导出的不等式 0u n 知原级数收敛()首先因为x n是单调递增的有界正数数列，所以 01 现考察原级数的部分和数列S n，

15、由于 Sn= (xn+1一 x1)，又 xn有界，即 xnM(M0 为常数)，故所以S n也是有界的由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛【知识模块】 微积分18 【正确答案】 () 将 an2 改写成()容易验证比值判别法对级数 anp 失效，因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性题()已给出了a n上下界的估计，由注意当 p2 即号1时anp 当 p2 时收敛，当 p2 时发散【知识模块】 微积分19 【正确答案】 () 当 p0 时，有 (ln3)p1(n3)成立，即级数的一股项不是无穷小量，故级数发散 当 p0 时，令 =发散，故级数发散 综合即知：无论常数 p 取何值，题设

16、的级数总是发散的()因(lnn) lnn=elnnln (lnn)=nln(lnn)n 2 收敛，故级数收敛【知识模块】 微积分20 【正确答案】 当 x0，1 时，x(1 一 x)sin2nx0，从而 un0故 un 为正项级数又 sin2nxx2n(x0，1)，所以 u n=01x(1 一 x)sin2nxdx01x(1 一 x)x2ndx【知识模块】 微积分21 【正确答案】 () 由于 发散，所以原级数不是绝对收敛的原级数是交错级数，易知的单调性，令 f(x)=0，可知当 x 充分大时 g(x)单调增加，从而 f(x)单调增加故当 a 充分大时满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以该级数收

17、敛，并且是条件收敛的 ()由于发散，这说明原级数不是绝对收敛的。 由于 sinx 在第一象限是单调递增函数，而随着 n 的增加而单调递减又因满足莱布尼茨判别法的两个条件，从而它是收敛的结合前面的讨论，知其为条件收敛【知识模块】 微积分22 【正确答案】 注意级数的一般项满足【试题解析】 设 un= (一 1)nun对于交错级数首先要讨论它是否绝对收敛，为此采取比较判别法的极限形式，由于 un 满足可见级数不绝对收敛又因级数的一般项的绝对值 un= 不是单调减少的，从而不能用莱布尼茨判别法来判别这个级数的条件收敛性，必须用其他方法来讨论它是否条件收敛以下介绍两种方法【知识模块】 微积分23 【正

18、确答案】 对于正项级数，比较判法的极限形式就是：若与同时收敛或同时发散本题未限定vn 一定收敛比如，取即 unv n vn 是不收敛的 这个例子说明：对正项级数的比较判别法的极限形式不能用于判定任意项级数的条件收敛性要注意变号级数与正项级数的区别【知识模块】 微积分24 【正确答案】 () 有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式，首先计算所以R=1 再考察幂级数在两个端点 x=1 处的敛散性当 x=1 时，级数单调递减，令 f(x)=1，ln(1+x)1，从而当 x2 时有 f(x)0，即 f(x)当 x2 时单调递减，所以 ，(n2)从而 满足莱布尼茨判别法的两个条件，故该级数收敛这样即得

19、的收敛域为一1，1) ()由于 ，所以其收敛半径为 2 又由于本题是关于 x+1 的幂级数，所以收敛区间的两个端点为x=一 3 与 x=1当 x=一 3 时，原级数为是一个交错级数，而且容易看出它满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的这表明幂级数 (x+1)n 的收敛域为( 3，1 ( )an(x 一 1)n 有相同的收敛半径 R=3因而其收敛区间为(一 2，4) ()考察antn，由题设 t=一 3 时它收敛知收敛半径 R3，又 t=3 时其发散知 R3因此R=3，由此可知 antn 的收敛域是一 3，3)，故原级数的收敛域是0，6)【知识模块】 微积分25 【正确答案】 () 由于均发

20、散，所以其收敛域为(一 1，1) 为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数设当 x=0 时，上面的运算不能进行，然而从原级数可直接得出 S(0)=a0=1综合得幂级数 的和函数容易看出=1这就说明 S(x)在 x=0 处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质 ()利用同样的方法容易求得级数n(n+1)xn 的收敛域为(一 1，1) 令 S(x)=n(n+1)xn1 应先进行两次逐项积分即【知识模块】 微积分26 【正确答案】 () 由于 ln(1+x+x2)=ln =ln(1 一 x3)一 ln(1 一 x)，利用公式(511)，并分别以 (

21、一 x3)与(一 x)代替其中的 x，就有 ln(1 一 x3)=，(一 1一 x31 即一 1x1)； 注意函数 arctan在点 x=一 1 处也收敛，从而上式在端点 x=一 1 处也成立，即 ，一1x1【知识模块】 微积分27 【正确答案】 在上述展式中就是以 代替(513)式中的 x类似地，有()由于 ln(2x2+x 一 3)=ln(2x+3)(x1)=ln(2x+3)+ln(x 一 1)，对于右端两项应用公式(5 11)，得【试题解析】 使用间接法在指定点 x 处作泰勒展开，就要用 x 一 x0，或者 x 一 x0的倍数与方幂等代替原来的 x【知识模块】 微积分28 【正确答案】

22、此外还有 f(0)=0【知识模块】 微积分29 【正确答案】 ()可得被积函数的幂级数展开式为【试题解析】 在后两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分其实在第()小题中由于分母含有(1 一 x)2，也要借助于求导像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便而且某些题目也必须先展开，第()小题就是如此【知识模块】 微积分30 【正确答案】 f(x)=arctanx，f“(x)= ，将 f“(x)展开，有当 x=1 时，右边级数收敛，又 f(x)连续，所以收敛域

23、为一 1x1【知识模块】 微积分31 【正确答案】 由于上式右端的级数在点 x=1 处收敛，因此上面等式在x1 上成立于是当0x1 时由于 f(x)在点 x=0 处连续，且根据幂级数的和函数在收敛区间内处处连续可得上式在点 x=0 处也成立，因此 f(x)的幂级数展开式为 f(x)=1+ ，x 1，1【试题解析】 先由 arctanx 的麦克劳林展开式求出 0x1 时 f(x)的幂级数展开式，再由幂级数的和函数在收敛区间内的连续性及 f(x)在点 x=0 处的连续性求得f(x)在x1 上的展开式【知识模块】 微积分32 【正确答案】 由于 a n 0，b n0，故发散【知识模块】 微积分33 【正确答案】 () 是正项级数，可用比较判法别其敛散性由于【知识模块】 微积分34 【正确答案】 () 当一x+时题设的幂级数可任意次逐项求导，且由此可见 y(x)满足二阶常系数齐次线性微分方程 y“一 y=0()直接计算可得 y(0)=1，y(0)= ，从而函数 y(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题的特解注意特征方程 21=0 有二相异特征根 =1 与=一 1，可见微分方程的通解为 y(x)=C1ex+C2ex利用初值 y(0)=1 与 y(0)=故()中幂级数的和函数 y(x)= ex(一 x+)【知识模块】 微积分