[考研类试卷]考研数学三(微积分)模拟试卷102及答案与解析.doc
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1、考研数学三(微积分)模拟试卷 102 及答案与解析一、填空题1 =_.2 设 y=f(x)满足 且 f(0)=0,则 01f(x)dx=_3 设 f(x)在a ,b上连续可导,f(a)=f(b)=0,且 abf2(x)dx=1,则 abxf(x)f(x)dx=_4 已知 f(x)连续, 01f(x)dx=5,则 01f(x)x1(t)dxdx=_5 设 f(x)具有连续导数,且 F(x)=0x(x2 一 t2)f(t)dt,若当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小,则 f(0)=_6 已知 f(x)=1x2e-t2dt,则 01xf(x)dx=_7 0+x7e-x2dx=_8 =_9 =
2、_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求下列积分(其中 n=1,2,3,) :11 设 a0, f(x)在( 一, +)上有连续导数,求极限12 求 其中 f(t)为已知的连续函数, (x)为已知的可微函数13 设 f(x)在( 一,+)连续,在点 x=0 处可导,且 f(0)=0,令(I)试求 A 的值,使 F(x)在(一,+)上连续;( )求 F(x)并讨论其连续性14 设 x0,a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0,a),又满足求 f(x)15 求函数 在区间e, e2上的最大值16 求下列平面图形的面积: (I)y=x,y=xlnx 及 x 轴所围图形;()y=
3、sinx ,y=cosx,x=0,x=2 所围图形17 设由曲线 与直线 y=a(其中常数 a 满足 0a 1)以及 x=0,x=1围成的平面图形(如右图的阴影部分)绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(a),求V(a)的最小值与最小值点18 设 f(x)为非负连续函数,且满足 f(x)0xf(x 一 t)dt=sin4x,求 f(x)在 148 上的平均值19 设函数 f(x)在0,1上连续,在 (0,1)内可导,且 证明:在(0, 1)内至少存在一点 c,使 f(c)=020 设 f(x)为连续函数,证明:21 设 f(x)在A,B上连续,AabB,求证:22 设 f(x)在( 一,+
4、)上具有连续导数,且 f(0)0令 F(x)=0x(2t 一 x)f(t)dt求证:(I)若 f(x)为奇函数,则 F(x)也是奇函数 ()(0,0)是曲线 y=F(x)的拐点23 证明:当 x0 且 n 为自然数时考研数学三(微积分)模拟试卷 102 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)=0x(x2 一 t2)f(t)dt=x20x(t)dt 一 0xt2f
5、(t)dt,所以 F(x)=2x0xf(t)(x2f(x)x 2f(x)=2x0xf(t)dt又依题设,当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小,从而【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 3【试题解析】 t33e-tdt=e-t(at3+bt2+dt+e)+C,两边求导得 t3e-t=e-t一 at3+(3ab)t2+(2bd)t+de,比较两边 t 的同次幂项的系数得 a=一 1, b=一 3,d= 一 6, e=一 6于是【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 因(xe
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