[考研类试卷]考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷32及答案与解析.doc

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1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 32 及答案与解析一、填空题1 设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f3(x)，则 f(n)(x)=_2 设 y=arctanx，则 y(4)(0)=_3 f(x)= 的极大值点是 x=_，极小值点是 x=_4 设 f(x)=xex，则 f(n)(x)在点 x=_处取极小值_ 5 曲线 y= 的渐近线方程为_6 曲线 y= 的渐近线方程为_7 曲线(x-1) 3=y2 上点(5，8)处的切线方程是_8 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_9 设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=aPb，其中 a 和 b 是常数，且a0

2、，则该商品需求对价格的弹性 =_10 设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=100-5P若商品的需求弹性的绝对值大于 1，则该商品价格 P 的取值范围是_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算下列各题：12 计算下列各题：() 由方程 xy=yx 确定 x=x(y)，求 ()方程 y-xey=1 确定y=y(x)，求 y() 设 2x-tan(x-y)=13 设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f9a)=3，f(a)=1，f(a)=2，求 g(3)14 设 f(x)在 x=0 点的某邻域内可导，且当 x0 时 f(x)0，已知 f(0)=0，f(0)=

3、，求极限15 设 f(x)= 求 a，b，c 的值，使 f(0)存在16 设 f(x)= 试确定常数 a，b 的值，使函数f(x)在 x=0 处可导17 求函数 y= 的单调区间，极值点及其图形的凹凸区间与拐点18 已知 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=-1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点19 设 f(x)的定义域为1， +)，f(x) 在1，+)可积，并且满足方程讨论 f(x)的单调性20 求 a 的范围，使函数 f(x)=x3+3ax2-ax1 既无极大值又无极小值21 设 f(x)= 求 f(x)的极值22 设 f(x)= (I)求 f(x)； () 证

4、明：x=0 是 f(x)的极大值点；()令 ，考察 f(xn)是正的还是负的，n 为非零整数；()证明：对 ，f(x)在(-，0上不单调上升，在0，上不单调下降23 设 y=f(x)= 讨论 f(x)的连续性，并求其单调区间、极值与渐近线24 求曲线 的渐近线25 求函数 F(x)= (0x1)的凹凸区间26 证明：aretanx= (x(-，+) 考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 32 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 (2n-1)!f 2n+1(x)【试题解析】 用归纳法由 f(x)=f3(x=1.f3(x)求导得 f(x)=1.3f 2(x)f(x)=1.3f5(x)，再求导又得

5、 f(x)=13.5f 4(x)f(x)=1.3.5f7(x)，由此可猜想 f (n)(x)=1.3(2n-1)f2n+1(x)=(2n-1)!f2n+1(x)(n=1，2，3，) 设 n=k 上述公式成立，则有 f(k+1)(x)=f(k)(x)=(2k-1)!f2k+1(z) =(2k-1)!(2k+1)f2k(x)f(x)=(2k+1)!f2k+3(x)， 由上述讨论可知当n=1，2，3，时 f (n)(x)=(2n-1)!f2n+1(x)成立【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 0【试题解析】 因 y=arctanx 是奇函数，且 y 具有任何阶连续导数，从而 y，y是偶函数，

6、y，y (4)是奇函数，故 y(4)(0)=0【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 0，【试题解析】 由 f(x)的定义可知，当 x0 时 f(x)=2xlnx+x 2. =x(2lnx+1) ，又=0，即 f(0)=0从而 这表明 f(x)有三个驻点列表讨论 f(x)的单调性如下：即 x=0 是 f(x)的极大值点， 是 f(x)的极小值点【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 -(n+1)，-e -(n+1)【试题解析】 由归纳法可求得 f(n)(x)=(n+x)ex，由 f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0 得 f(n)(x)的驻点 x0=-(n+1)因为 所以 x0

7、=-(n+1)为 f(n)(x)的极小值点，且极小值为 f(n)(x0)=-e-(n+1)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 y=0【试题解析】 函数 的定义域是(-，+)，因而无铅直渐近线又因故曲线有唯一的水平渐近线 y=0【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 【试题解析】 本题中曲线分布在右半平面 x0 上，因，故该曲线无垂直渐近线又【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 y=8+3(x-5)【试题解析】 由隐函数求导法，将方程(x-1) 3=y2 两边对 x 求导，得 3(x-1)2=2yy令 x=5，y=8 即得 y(5)=3故曲线(x-1) 3=y2 在点(5

8、，8) 处的切线方程是y=8+3(x-5) y=3x-7【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 y=x-1【试题解析】 与直线 x+y=1 垂直的直线族为 y=x+c，其中 c 是任意常数，又因y=lnx 上点(x 0，y 0)=(x0，lnx 0)(x00)处的切线方程是，从而，切线与 x+y=1 垂直的充分必要条件是x0=1，即该切线为 y=x-1【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 b【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 10P20【试题解析】 由 Q=100-5P0 P0，20从而 P 的取值范围是 10P20【知识模块】 一元函数微分学二、解答题

9、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 () 用复合函数求导法则与导数的四则运算法则可得()用对数求导法因 ，两边对 x 求导数得() dy=d(exsinx)=exsinxd(xsinx)=exsinxsinxdx+xd(sinx)=exsinx(sinxdx+xcosxdx)=exsinx(sinx+xcosx)dx()【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 () 因 xy=yx ylnx=xlny，其中 x=x(y)，将恒等式两边对 y 求导数得 ()因 y-xey=1y=xlny将恒等式两边对 x 求导数，得将恒等式两边对 x 求导数，得将上式两端再对 x

10、求导，又得 y=2sin(x-y)cos(x-y).(1-y)=sin2(x-y).cos 2(x-y)【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 记 y=f(x)应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y) 由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x 求导得 f(x)g(y)+f(x)g(y)y x=0，或 f(x)g(y)+f(x) 2g(y)=0注意到 g(3)= =1，在上式中令 x=a，应有 y=3，因此得到 g(3)=-f(a)g(3)=-2【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】

11、 所求极限为 1型，设法利用重要极限，并与导数 f(0)的定义相联系由于 因此，由复合函数的极限运算性质，只需考虑极限 由于 f(0)=0，f(0)= 存在，故上述极限可利用极限的乘法运算求得，即有【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 为使 f(0)存在，需 f(x)，f(x)在 x=0 处连续由 f(x)的连续性，有由 f(x)在 x=0 处的连续性，有从而可得 b=1 欲使f(0)存在，需 f-(0)=f+(0)又【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 由于 f(0)=f(0+0)=9arctanx+2b(x-1)3 x=0=-2b，故当-2b=2a，即 a=-b 时，f

12、(x)在 x=0处连续 当 a=-b 时有令 f-(0)=f+(0)，得 1+2a=9+6b，与 a=-b 联立可解得 a=1，b=-1. 综上所述，当a=1，b=-1 时 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=3【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 函数 y= 的定义域是(-，1) (1，+) ，且函数无奇偶性、对称性与周期性，又 从而函数的一、二阶导数的零点分别是 x=0 与 x= 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下：故函数的单调减少区间为(-，0(1，+)；单调增加区间为0，1)；极小值点为x=0函数图形的凸区间为【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 f(

13、x)=3ax 2+2x，f(0)=0，f(-1)=3a-2=0，从而 a= ，于是 f(x)=2x2+2x，f(x)=4x+2令 f(x)=0，得 x= 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下：由此可知，f(x)在(-，-1) (0，+) 内单调增加，在(-1 ，0)内单调减少；极大值 f(-1)=【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 首先确定 f(x)的表达式，由题设 f(x)在1 ，+) 可积，于是可设，代入即得【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 f(x)=3x 2+6ax-a，当 =36a 2+12a0 时，f(x)无驻点，即 f(x)无极值点当 =36a 2+

14、12a=0，即 a= 或 f(x)=3x2，此时所对应的函数分别为 f(x)= 或 f(x)=x3+c2，由此可知其无极值点当 0 时，f(x)有两个驻点，且为极值点所以当 a0 时，函数 f(x)无极值【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 f(x)=0 的点及 f(x)不存在的点都可能是极值点，为此先求f(x)当 x0 时，f(x)=(x 2x)=(e2xlnx)=e2xlnx(2lnx+2)=2x2x(lnx+1)；当 x0 时，f(x)=(x+2)=1又 所以 f(x)在点 x=0处不连续，从而不可导，于是 令 f(x)=0，得驻点x= 是可能的极值点在点 x=为 f(x)的极

15、小值点，极小值为 在点 x=0 处：由于当 x0 时 f(x)=10，所以 f(x)单调增加，从而 f(x)f(0)=2；而当 0x ，存在 0，当 0x 时f(x)-1 ，故由极值的定义可知 x=0 为 f(x)的极大值点，极大值为 f(0)=2【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 () 当 x0 时按求导法则得当 x=0 时按导数定义得 ()由于 f(x)-f(0)=(x0)，即 f(x)f(0)，于是由极值的定义可知 x=0 是 f(x)的极大值点 ()对 负奇数且n充分大时 xn(-，0)，f(x n)0 f(x)在(-，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时 xn

16、(0，) ，f(x n)0 f(x)在(0，)不单调下降【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因为 =0，而 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处右连续又 x0 时 f(x)为初等函数，所以连续因此 f(x)在0，+) 上连续因为 x0 时 f(x)= ，令 f(x)=0，解得驻点为 x=e因故当 0xe 时，f(x)0；当 xe 时 f(x)0，所以 f(x)在(0，e)上严格增加，在(e，+)上严格减少由上述 f(x)的单调性得 f(e)= 为极大值，无极小值由于 所以 y=f(x)有水平渐近线 y=1【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 设渐近线方程为 y=kx+b，则令 t= ，并应用洛必达法则即得 因此，渐近线方程为【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因当 0x1 时，F(x)=1-x+(1-x)=2(1-x) 0， (0，1)由 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内 F(x)0，故区间0，1 上 y=F(x)的图像是凹弧【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 引入函数 f(x)=arctanx-arcsin ，则 f(x)在(-，+) 上具有连续导数，且 f(0)=0，又从而当 x(-，+)时 f(x)=f(0)=0，即【知识模块】 一元函数微分学