[考研类试卷]考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷3及答案与解析.doc

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1、考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，2，相应的特征向量依次是 1， 2， 3，若 P( 1，2 3， 2)，则 P-1AP( )（A）（B）（C）（D）2 已知 P-1AP ， 1 是矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量， 2 与 3 是矩阵 A 属于特征值 5 的特征向量，那么矩阵 P 不能是( )（A）( 1， 2， 3)（B） (1， 2 3， 22 3)（C） (1， 3， 2)（D）( 1 2， 1 2， 3)3 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的

2、一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是( )（A） -1A n（B） -1A（C） A（D）A n4 已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)1，则 0( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都有可能5 设 2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 一有一特征值等于( )（A）（B）（C）（D）6 3 阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（A）秩 r(A)0（B）秩 r(A)1（C）秩 r(A)2（D）条件不足，不能确定7 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A）EA

3、E B （B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似8 n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )（A）充分必要条件（B）必要而非充分条件（C）充分而非必要条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题9 设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2 ，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1(1 ，2，1) T， 2(1，一 1，1) T，则特征值 2 对应的特征向量是_10 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 10，A 22 1 2，则

4、 A 的非零特征值为_11 设 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值是3，则矩阵 必有一个特征值为_12 若 3 维列向量 ， 满足 T2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为_13 设 (1 ， 1，a) T 是 A 的伴随矩阵 A*的特征向量，其中 r(A*)3，则 a_ 14 已知矩阵 A 的特征值的和为 3，特征值的乘积是24，则b_15 设 A 有二重特征根，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A42A 3A 22A O ，且秩 r(A)2，求矩阵A 的全部特征值，并求秩 r(AE) 17 设 A 是 3 阶矩

5、阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，且 A1 1 23 3，A 24 13 25 3，A 30 求矩阵 A 的特征值和特征向量18 设 A 是 n 阶矩阵，AEy T， 与 y 都是 n1 矩阵，且 yT2，求 A 的特征值、特征向量19 设矩阵 A 的特征值有一个二重根，求 a 的值，并讨论矩阵 A 是否可相似对角化20 已知 A ，求可逆矩阵 P，化 A 为标准形，并写出对角矩阵 21 已知矩阵 A 与 B 相似，其中 求 a，b 的值及矩阵 P，使 P-1APB22 设矩阵 A ，行列式A1，又 A*有一个特征值 0，属于 0 的一个特征向量为 (1，1，1) T，求 a，

6、b，c 及 0 的值23 已知 A ，A *是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特征向量24 已知 A 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵，使 P-1AP25 设矩阵 A 可逆，向量 是矩阵 A*的特征向量，其中 A*是 A的伴随矩阵，求 a，b 的值考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 A23 2，有 A( 2)3( 2)，即当 2 是矩阵 A 属于特征值3 的特征向量时， 2 仍是矩阵 A 属于特征值 3 的特征向量同理，2 3 仍是矩阵 A 属于特征值 2 的特征

7、向量 当 P-1AP时，P 由 A 的特征向量所构成，由 A 的特征值所构成，且 P 与 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是 1，3，2，故对角矩阵应当由 1，3，2 构成，因此排除选项 B、C由于23 是属于 2 的特征向量，所以 2 在对角矩阵 中应当是第 2 列，所以应选A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 D【试题解析】 若 P-1AP ，P( 1， 2， 3)，则有 APP 即(A1，A 2，A 3)(a 11，a 22，a 33) 可见 i 是矩阵 A 属于特征值i(i1，2，3)的特征向量，又因矩阵 P 可逆，因此 1， 2， 3 线性无关 若 是属于

8、特征值 的特征向量，则 仍是属于特征值 的特征向量，故选项 A 正确 若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 23 ，仍是属于特征值 A 的特征向量本题中， 2， 3 是属于 5 的线性无关的特征向量，故 2 3， 22 3仍是 5 的特征向量，并且 2 3， 2 3 线性无关，故选项 B 正确 对于选项C，因为 2， 3 均是 5 的特征向量，所以 2 与 3 谁在前谁在后均正确故选项 C 正确 由于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此 1 2， 1 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故选项 D 错误所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 B【试题解析】 设向量 (

9、0)是与 对应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义有 A 上式两边左乘 A*，并考虑到 A *A AE 得 A*AA *() 即AA *， 从而 A* ，(因 0) 可见 A*有特征值 -1A所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 B【试题解析】 A 的对应 的线性无关特征向量的个数特征值的重数r(A 33)1，即 r(OEA) 1，(OEA) 0 必有两个线性无关特征向量故 0 的重数2至少是二重特征值，也可能是三重例如 A ，r(A) 1，但0 是三重特征值所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 为 A 的非零

10、特征值，所以 2 为 A2 的特征值， 为(A 2)-1 的特征值因此 的特征值为 3 所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查下列矩阵 由于它们的特征值全是零，而秩分别为 0，1，2所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 D【试题解析】 因为由 A 与 B 相似不能推得 AB，所以选项 A 不正确 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确 对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确

11、 综上可知选项 D 正确事实上，因 A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P，使 P-1APB 于是 P-1(tEA)PtEP -1APtEB 可见对任意常数t，矩阵 tEA 与 tEB 相似所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 B【试题解析】 由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P-1APB，故 E BEP -1APP -1(EA)P P-1EA PE A ， 即 A 与 B 有相同的特征值 但当 A，B 有相同特征值时，A 与 B 不一定相似，例如 虽然 A，B 有相同的特征值 1 20，但由于 r(A)r(B)，A，B 不可能相似 所以，相似的必要条件是 A，B 有

12、相同的特征值所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题9 【正确答案】 t(1，0，1) T，t0【试题解析】 设所求的特征向量为 ( 1， 2， 3)，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，因此有 所以可知1t ， 20， 3t 所以对应于特征值 2 的特征向量是 t(1，0，1) T，t0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 1【试题解析】 根据题设条件，得 A( 1， 2)(A 1，A 2)(0，2 1 2)( 1， 2) 记 P( 1， 2)，因 1， 2 线性无关，故 P( 1， 2)是可逆矩阵因此APP ，从而 P-1AP 记 B ，则

13、 A 与 B 从而有相同的特征值 因为 B (1) 所以 0，1故 A 的非零特征值为 1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 【试题解析】 根据矩阵特征值的特点，A 有特征值 3，所以 A2 有特征值 (3)23，故 有特征值 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 2【试题解析】 因为 T 2，所以 T( T)2，故 T 的非零特征值为 2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 1【试题解析】 口 是 A*的特征向量，设对应于 的特征值为 0，则有 A* 0，该等式两端同时左乘 A，即得 AA*A 0A，即展开成方程组的形式为因为 r(A*

14、)3，A *0，因此 00，根据方程组中的前两个等式，解得 a1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 3【试题解析】 已知一个矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，因此a3(1) i3，所以 a1又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有所以b3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 2 或【试题解析】 如果 2 是二重根，则有 2 的时候， 222(a2)的值为 0，可得 a 的值为 2 如果222(a 2)0 是完全平方，则有(1) 20，满足 1 是一个二重根，此时2(a 2)1 ，即 a 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解

15、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，A(0) ，于是 An n 那么用 右乘 A42A 3A 22A 0，得(42 3 22) 0 因为特征向量 0，故42 3 2 2( 32 22)(2)( 2 1)0由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或2 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)r(A)2，所以 A 的特征值是 0，2，2 因 A ，则有AE E ，所以 r(AE)r(E)3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 由 A300 3，知 0 是 A 的特征值，

16、 3 是 0 的特征向量 由已知条件有 A( 1， 2， 3)( 1 23 3，4 13 25 3，0)， ( 1， 2， 3) 记 P( 1， 2， 3)，由 1， 2， 3 线性无关，则矩阵 P 可逆，故 P-1APB ，其中 B ，因此 AB 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵 B 的特征多项式 EB (1)2， 所以矩阵 B，也即 A 的特征值为1，1，0 对于矩阵 B，所以矩阵 B 对应于特征值 1 的特征向量是 ( 2，1，1) T，若 B，则有(P -1AP)，即 A(PB)(P)，那么矩阵 A 关于特征值 1 的特征向量是 P( 1， 2， 3)2 1 2 3 因此 k1(2

17、1 2 3)，k 23 分别是矩阵 A 关于特征值1 和 0 的特征向量(k 1，k 20)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 令 By T (y1，y 2，y n)，则 B2(y T)(yT)(y T)yT 2yT2B，可见 B 的特征值只能是 0 或 2 因为则 r(B)1，故齐次方程组B0 的基础解系由 n1 个向量组成，且基础解系是： 1(y 2，y 1，0，0)T， 2=(y 3，0，y 1，0) T， n-1(y n，0，0，y 1)T这正是 B 的关于 0 也是 A 关于 1 的 n1 个线性无关的特征向量 由于 B22B，对 B 按列分块，记 B( 1， 2

18、， n)，则 B(1， 2， n)2( 1， 2， n)，即Bi2 i，可见 ( 1， 2， n)T 是 B 关于 2，也就是 A 关于 3 的特征向量 那么 A 的特征值是 1(n1 重根)和 3，特征向量分别是 k11k 22k n-1n-1，k nn，其中 k1，k 2，k n-1 不全为 0，k n0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为 E A ( 2)( 28183a) ， 如果 2 是单根，则 28183a 是完全平方，那么有 183a 16，即 a 则矩阵 A 的特征值是 2，4，4，而 r(4EA) 2，故 4 只有一个线性无关的特征

19、向量，从而 A 不能相似对角化 如果 2 是二重特征值，则将 0 代入28183a 0，则有 183a 12，即 a2于是 28183a( 2)(6) 则矩阵 A 的特征值是 2，2，6，而 r(2EA) 1，故2 有两个线性无关的特征向量，从而 A 可以相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 先求 A 的特征值、特征向量矩阵 A 的特征多项式，有 E A ( 1)( 2)， 于是 A 的特征值是1(二重)，0 对 1，解齐次方程组(EA)0，由系数矩阵得特征向量 1( 2，1，0) T， 2(1，0，1) T 对 0，解方程组 A0，由系数矩阵 ，得特征向量 3 (

20、2，0 ，1) T 令 P( 1， 2， 3) ，则有 P-1AP【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 由 AB，得 解得 a7，b2 由矩阵 A 的特征多项式EA 4 25，得 A 的特征值是15， 21它们亦是矩阵 B 的特征值 分别解齐次线性方程组(5EA)0，(EA)0，可得到矩阵 A 的属于 15， 21 的特征向量依次为1 (1，1) T， 2( 2，1) T 解齐次线性方程组(5EB) 0，(EB)0，可得到矩阵 B 的特征向量分别是 1(7，1) T， 2 (1，1) T 那么，令即 P2P1-1AP1P2-1B 于是，取 PP 1P2-1 ，即有 P-1AP

21、B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 据已知，有 AA*AEE对于 A* 0，用 A 左乘等式两端，得 (1)(3)得 01将01 代入(2)和(1) ，得 b3，ac 由A1 和 ac，有a 3 1，即得 ac2 故 a2，b3，c 2， 01【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 因为 A BE，而 r(B)1，且有EB 36 2，所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0 故矩阵 A 的特征值是5，1，一 1又行列式A5，因此 A*的特征值是 1，5，5 矩阵 B 属于 6 的特征向量是 1 (1，1，1) T，属于 0 的特征向量是 2(1，1，0) 2和

22、 3 (1， 0，1) T 因此 A*属于 1 的特征向量是 k11(k10)，属于 5 的特征向量是 k22k 33(k2，k 3，不全为 0)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 由矩阵 A 特征多项式 E A ( 1) 2(2)， 知矩阵 A 的特征值为1 21， 32 因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(EA)=1 而 EA 所以 6 当 1 时，由(EA)0，得基础解系 1( 2，1，0) T， 2(0，0，1) T 当 2 时，由(2E A) 0，得基础解系 3(5，1，3) T 令 P( 1， 2， 3) ，则有 P-1AP【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 设 A*，由 AA*AE，有AA，即由(3)(1)，得 A(a2)0由矩阵 A 可逆，知 A*可逆，那么特征值 0，所以 a2 由(1)b(2)，得 (b2b2)0，因此 b1 或 b2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量