[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷7及答案与解析.doc

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1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， Xn(n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ( )（A）与 及 n 都有关（B）与 及 n 都无关（C）与 无关，与 n 有关（D）与 有关，与 n 无关2 设 X1，X 2，X n(n1)是来自总体 N(0，1)的简单随机样本，记，则 ( )3 设 Xx，X 2，X 8 是来自总体 N(2，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A） 2(2)（B） 2(3)（C） t(2)（D）t(3)4 设 X1，X

2、2，X n 是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A）Y 2(n-1)（B） Yt(n-1)（C） YF(n，1)（D）YYF(1，n-1)5 设随机变量 XF(n，n)，记 p1=PX1)，p 2=PX1)，则 ( )（A）p 1p 2（B） p1p 2（C） p1=p2（D）p 1，p 2 大小无法比较二、填空题6 设二维随机变量(X，Y)的分布律为 则X 与 Y 的协方差 Cov(X，Y)为_7 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量 U=X+2Y，V=-X 的协方差 Cov(U，V)为_8 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量 Z=X-Y 的

3、方差 DZ 为_9 设随机变量 X 的数学期望 EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得PX-75k005，则 k=_10 设 X1，X 2，X n，是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 某种零件的尺寸方差为 2=121，对一批这类零件检查 6 件得尺寸数据(毫米)：3256，2966，3164，3000，2187，3103 设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 3250 毫米(a=005)12 某批矿砂的 5 个样品中镍含量经测定为 X()：325，327，324，326，324，设测

4、定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 325(a=001)?13 从一批轴料中取 15 件测量其椭圆度，计算得 S=0025，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的 2=00004 有无显著差别?(a=005，椭圆度服从正态分布)14 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 =100，今抽了一个容量为 26 的样本，计算平均值 1580，问在显著性水平 a=005 下，能否认为这批产品的指标的期望值 不低于 160015 设X n是一随机变量序列，X n 的密度函数为：试证：16 设 X1，X 2，X n，是独立同分布的随机变量序列，E(X i)=，D(X j)=2，i=1 ，2，令

5、证明：随机变量序列Y n依概率收敛于 17 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重为 5 吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977(2)=0977)18 用概率论方法证明：19 截至 2010 年 10 月 25 日，上海世博会参观人数超过了 7000 万人游园最大的痛苦就是人太多假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走 3 个小时可到达；沿第二条路径走 5 个小时又回到原处；沿第三条路径走 7 个小时也回到原处假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多

6、少时间才能到达中国馆20 设 X1，X 2，X n 为一列独立同分布的随机变量，随机变量 N 只取正整数且 N与X n独立，求证：21 假设你是参加某卫视“相亲节目” 的男嘉宾，现有 n 位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 ，且相互独立，若 Z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程，求 EZ22 对于任意二事件 A1，A 2，考虑二随机变量试证明：随机变量 X1 和 X2 独立的充分必要条件是事件 A1 和 A2 相互独立23 假设有四张同样的卡片，其中三张上分别只印有

7、a1，a 2，a 3，而另一张上同时印有 a1，a 2，a 3现在随意抽取一张卡片，令 Ak=卡片上印有 ak证明：事件A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立23 某商品一周的需求量 X 是随机变量，已知其概率密度为假设各周的需求量相互独立，以 Uk 表示 k 周的总需求量，试求：24 U2 和 U3 的概率密度 fk(x)(k=2，3)；25 接连三周中的周最大需求量的概率密度 f(3)(x)26 设 X 和 Y 相互独立都服从 0-1 分布：PX=1=P(Y=1=06试证明：U=X+Y，V=X-Y 不相关，但是不独立27 假设 G=(x，y) x 2+y2r2是以原点为圆心，半径为 r

8、 的圆形区域，而随机变量X 和 Y 的联合分布是在圆 G 上的均匀分布试确定随机变量 X 和 Y 的独立性和相关性28 假设某季节性商品，适时地售出 1 千克可以获利 s 元，季后销售每千克净亏损b 元假设一家商店在季节内该商品的销售量 X 千克是一随机变量，并且在区间(a， b)内均匀分布问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题设有，XN(， 2)， 因此【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因此本题选(

9、C)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 所以由T 与 X 相互独立得，因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由总体 XN(0，1)知 X1N(0 ，1)， ，且它们相互独立，所以 因此本题选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由 XF(n，n)知 F(n，n)，所以 p1=PX1= =PY1=PX1=2，因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 关于 X 与关于 Y 的边缘分布律分别为【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】

10、Cov(U，V)=COv(X+2Y，-X)=-DX-2Cov(X，Y) =-DX-2E(XY)+2EXEY， 其中 E(XY)=关于X 的边缘概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 DZ=DX+DY-2Cov(X，Y) =DX+DY-2E(XY)+2EXEY， 其中 D=(x， y)0x1，0yx 如图 3-4 阴影部分所示关于 X 的边缘概率密度为关于 Y 的边缘概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 10【试题解析】 P( X-75k)=P X-EXk即 k=10【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 (x)【试题解析】 由列维一

11、林德伯格中心极限定理即得【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 问题是在 2 已知的条件下检验假设 H0：=3250H 0 的拒绝域为Zz a2 ，其中 z0.025=196，故因Z=677196，所以否定 H0，即不能认为平均尺寸是 325 毫米【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 问题是在 2 未知的条件下检验假设 H0：=325H 0 的拒绝域为tt a2 (4)故因为t=0 3444604 1=t0.005(4)，所以接受 H0，即可以认为这批矿砂的镍含量为 325【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】

12、S=0025 ，S 2=0000 625，n=15，问题是检验假设H0： 2=00004(1)H 0： 2= =0000 4；(2)选统计量 2 并计算其值(3)对于给定的 =005，查 2 分布表得临界值(4)因为，所以接受 H0，即总体方差与规定的 2=00004 无显著差异【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 问题是在 2 已知的条件下检验假设 H0：1600；H 1：1600 H0 的否定域为 Z-z a2 ，其中因为 Z=-102-196=-Z 0.025，所以接受 H0，即可以认为这批产品的指标的期望值 不低于1600【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 对

13、任意给定的 0，由于【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由切比雪夫不等式得：【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设 X 是“装运的第 i 箱的重量” ， n 表示装运箱数，则 EXi=50，DX i=52=25，且装运的总重量 Y=X1+X2+XnXn独立同分布， EY=50n，DY=25n 由列维一林德伯格中心极限定理知 YN(50n，25n)于是【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 设X n为一独立同分布随机变量序列，每个 Xk 服从参数为 1 的泊松分布，则 EXk=1，DX k=1， 服从参数为 n 的泊松分布故有由列维一林德伯格中心极限定理知：

14、【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设游客需要 X 小时到达中国馆，则 X 的可能取值为 3，5+3 ，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3，要写出 X 的分布律很困难，所以无法直接求 EX为此令 Y=第一次所选的路径 ，即Y=i表示“ 选择第 i 条路径”则PY=1=PY=2=PY=3= 因为 E(XY=1)=3 ，E(XY=2)=5+EX，E(XY=3)=7+EX，所以 故 EX=15，即该游客平均要 15 个小时才能到达中国馆【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为 1，2，n

15、X 为“ 已经握手的女嘉宾的编号” ，Y 表示“ 将要去握手的女嘉宾的编号” ，则【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 记 pi=P(Ai)(i=1，2)，p 12=P(A1A2)，而 是 X1 和 X2 的相关系数易见，随机变量 X1 和 X2 都服从 01 分布，并且 PX i=1=P(Ai)，PX i=0)=，PX 1=1，X 2=1=P(A1A2) (1)必要性设随机变量 X1 和 X2 独立，则 P(A1A2)=PX1=1，X 2=1)=PX1=1)P(X2=1=P(A1)P(A2)从而，事件 A1 和 A2 相互独立 (2)充分性设事件 A1 和 A2 相互独立，则 也

16、都独立，故 PX 1=0，X 2=0= =PX1=0)PX2=0， PX1=0，X 2=1=PX1=0PX2=1， PX 1=1，X 2=0= =PX1=1PX2=0，PX 1=1X2=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=PX2=1PX2=1从而，随机变量 X1 和 X2 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 P(A k)=由于对任意 k，j=1 ， 2，3 且 kj，有 可见事件 A1，A 2，A 3 两两独立但是，由于可见事件A1，A 2，A 3 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 以 Xi(i=1，2，3)表

17、示“第 i 周的需求量”，则 Xi 的概率密度均为而 U2=X1+X2，U 3=U2+X3三周中周最大需求量为 X(3)=maxX1，X 2，X 3当 xp 时，显然 f2(x)=f3(x)=0；对于 x0，有于是，两周和三周的总需求量 U2 和 U3 的概率密度【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设 F(x)是随机变量 X 的分布函数由题意知连续三周中的周最大需求量 X(3)的分布函数为 G(x)=F(x)3于是，有【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (1)由协方差的定义和性质，以及 X 和 Y 相互独立，可见 Cov(U，V)=E(UV)-EUEV=E(X 2-

18、Y2)-E(X+Y)E(X-Y)=E(X2)-E(Y2)=0 于是，U=X+Y，V=X-Y 不相关 (2)现在证明 U-X+Y，V=X-Y 不独立事实上，由 PU=0)=PX=0，Y=0)=PX=0PY=0)=016， PV=0)=PX=0，Y=0)+PX=1，Y=1 =PX=0PY=0)+PX=1PY=1=052， PU=0，V=0=P(X=0，Y=0=PX=0PY=0 =0160160 52=PU=0PV=0， 可见 U 和V 不独立【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (1)X 和 Y 的联合密度为 那么，X的密度函数 f1(x)和 Y 的密度函数 f2(y)相应为由于 f(

19、x，y)f 1(x)f2(y)，可见随机变量 X 和 Y 不独立 (2)证明 X 和 Y 不相关，即X 和 Y 的相关系数 =0于是，X 和 Y 的相关系数 =0这样，X 和 Y 虽然不相关，但是不独立【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 根据条件随机变量 X 的概率密度为以 Y=P(h)表示销售利润，它与季初应安排商品的数量 h 有关由条件知 为求使期望利润最大的 h，我们计算销售利润 Y=P(h)的数学期望为此，首先注意到：ahb，销售利润 Y=P(h)的数学期望为对 h 求导并令其等于 0，得于是，季初安排 h0 千克商品，可以使期望销售利润最大【知识模块】 概率论与数理统计