[考研类试卷]考研数学一(多元函数积分学)模拟试卷5及答案与解析.doc
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1、考研数学一(多元函数积分学)模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 m 和 n 为正整数,a0,且为常数,则下列说法不正确的是 ( )(A)当 m 为偶数,n 为奇数时, 一定为 0(B)当 m 为奇数,n 为偶数时, 一定为 0(C)当 m 为奇数,n 为奇数时, 一定为 0(D)当 m 为偶数,n 为偶数时, 一定为 02 其中D=(x,y) x 2+y21),则 ( )(A)cb a(B) abc(C) bac(D)cab3 化为极坐标系中的累次积分为 ( )(A)(B)(C)(D)4 设三阶矩阵 A 的特征值为一 1,1,2,其对
2、应的特征向量为 1, 2, 3,令P(3 2,一 3,2 1),则 P1 AP 等于( )5 设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A,B 的特征值相同,则( )(A)A,B 相似于同一个对角矩阵(B)存在正交阵 Q,使得 QTAQB(C) r(A) r(B) (D)以上都不对6 设 A 是 n 阶矩阵,下列命题错误的是( )(A)若 A2E,则一 1 一定是矩阵 A 的特征值(B)若 r(E A)n,则一 1 一定是矩阵 A 的特征值(C)若矩阵 A 的各行元素之和为一 1,则一 1 一定是矩阵 A 的特征值(D)若 A 是正交矩阵,且 A 的特征值之积小于零,则一 1 一定是 A 的特征值7 与
3、矩阵 相似的矩阵为( )8 设 A 为 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(A)矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等(B)若 AB ,则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵(C)若 r(A)rn,则 A 经过有限次初等行变换可化为(D)若矩阵 A 可对角化,则 A 的秩与其非零特征值的个数相等9 设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则( )(A)存在可逆矩阵 P,使得 P1 APB(B)存在正交矩阵 Q,使得 QTAQB(C) A,B 与同一个对角矩阵相似(D)存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQB10 设为 x+y+z=1 在第一卦限部分的下侧,则 等于 ( )(A)(B)(C)(D
4、)二、填空题11 空间曲线 x=3t,y=3t 2, z=2t3 从 O(0,0,0) 到 A(3,3,2)的弧长为_12 已知 F=x3i+y3j+z2k,则在点 (1,0,一 1)处的 divF 为_13 设是平面 在第一卦限部分的下侧,则化成对面积的曲面积分为 I=_14 设光滑曲面所围闭域 上,P(x,y,z) 、Q(x ,y,z)、R(x,y,z)有二阶连续偏导数,且为 的外侧边界曲面,由高斯公式可知的值为_15 设 u=x2+3y+yz,则 div(graau)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求柱体 x2+y22x 被 x2+y2+z2=4 所截得部分的
5、体积17 设平面薄片所占的区域 D 由抛物线 y=x2 及直线 y=x 所围成,它在(x,y)处的面密度 (x,y)=x 2y,求此薄片的重心18 设平面区域 由 1 与 2 组成,其中, 1=(x,y)0ya x,0xa,2=(x,y)ax+yb,x0,y0),如图 161 所示,它的面密度试求(1)该薄片 的质量 m;(2) 薄片 1 关于 y 轴的转动惯量 I1 与 2 关于原点的转动惯量 J019 设 A 为 mn 阶实矩阵,且 r(A)n证明:A TA 的特征值全大于零20 21 22 23 24 设二次型 f2x 122x 22ax 322x 1x22bx 1x3 2x2x3 经过
6、正交变换 XQY 化为标准形 fy 12y 224y 32,求参数 a,b 及正交矩阵 Q25 26 设 A 为实对称矩阵,且 A 的特征值都大于零证明:A 为正定矩阵27 设 A 为 m 阶正定矩阵,B 为 mn 阶实矩阵证明: BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)n28 计算29 设 其中 D 为正方形域0x1,0y130 设函数 f(x),g(x) 在a,b上连续且单调增,证明:31 设 f(x,y)是(x ,y) x 2+y21)上的二阶连续可微函数,满足 ,计算积分考研数学一(多元函数积分学)模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1
7、 【正确答案】 D【试题解析】 令 则(1)当m 和 n 中有且仅有一个为奇数时,(-1) m(一 1)n=一 1,从而积分为零;(2) 当 m 和 n均为奇数时,(-1) m(一 1)n=1,从而 由于上的奇函数,故积分为零总之,当 m 和 n 中至少一个为奇数时,故答案选择 D【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D=(x,y)x 2+y21),所以由 cosx 在 上单调减少可得因此有 cba【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由 所以积分区域 D 是圆x2+(y 一 1)21的右半圆在直线 y=x 上方的部分,于是,其极坐标形式为
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