[考研类试卷]考研数学一（二次型）模拟试卷3及答案与解析.doc

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1、考研数学一（二次型）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 A= ，下列矩阵中与 A 既相似又合同的是( )2 设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x，y，z)A =1 在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则 A 的正特征值的个数为 ( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。3 n 元实二次型正定的充分必要条件是( )（A）该二次型的秩等于 n。（B）该二次型的负惯性指数等于 n。（C）该二次型的正惯性指数等于二次型矩阵的秩。（D）该二次型的正惯性指数等于 n。4 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是(

2、)（A）二次型 xTAx 的负惯性指数为零。（B）存在可逆矩阵 P 使 P-1AP=E。（C）存在 n 阶矩阵 C 使 A=CTC。（D）A 的伴随矩阵 A*与 E 合同。5 已知 A= ，则 A 与 B( )（A）等价、不相似、合同。（B）不等价、不相似、不合同。（C）等价、相似、不合同。（D）等价、相似、合同。6 设 A，B 均为正定矩阵，则( )（A）AB，A+B 都正定。（B） AB 正定， A+B 非正定。（C） AB 非正定， A+B 正定。（D）AB 不一定正定，A+B 正定。7 对于 n 元二次型 xTAx，下述命题中正确的是 ( )（A）化 xTAx 为标准形的坐标变换是唯一

3、的。（B）化 xTAx 为规范形的坐标变换是唯一的。（C） xTAx 的标准形是唯一的。（D）x TAx 的规范形是唯一的。8 设 A= ，则 A 与 B( )（A）合同且相似。（B）合同但不相似。（C）不合同但相似。（D）不合同且不相似。9 二次型 f=xTAx 经过满秩线性变换 x=Py 可化为二次型 yTBy，则矩阵 A 与 B( )（A）一定合同。（B）一定相似。（C）既相似又合同。（D）既不相似也不合同。10 与二次型 f=x12+x22+2x32+6xx 的矩阵 A 既合同又相似的矩阵是( )11 设 A，B 为同阶可逆矩阵，则( )（A）AB=BA 。（B）存在可逆阵 P，使 P

4、-1AP=B。（C）存在可逆阵 C，使 CTAC=B。（D）存在可逆阵 P 和 Q，使 PAQ=B。二、填空题12 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x32+x22+2x1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_。13 设 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的每行元素的和为 5，则二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx在 x0=(1，1，1) T 的值 f(1，1，1)=x 0TAx0=_。14 设 f(x1，x 2)= ，则二次型的对应矩阵是 _。15 二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)=x32+4x42+2x1x2+4x3x4 的规范形是_。16 二次型

5、f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的秩为_。17 已知二次型 xTAx=x12-5x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3 的秩为 2，(2，1，2) T 是 A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准形是_。18 若二次曲面的方程 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4 经正交变换化为 y12+4z12=4，则a=_。19 设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A3=2A2+5A-6E，且 kE+A 是正定矩阵，则 k 的取值范围是_。20 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4

6、x1x3+4x2x3，经正交换 x=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+5x22+2x32+4x1x2+2x1x3+2ax2x3 的秩为 2，求常数 a。22 用配方法将二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3 化为标准形。23 设 f(x1，x 2，x 3)=4x22-3x32-4x1x3+4x1x2+8x2x3。 ()写出二次型的矩阵形式； ()用正交变换法求二次型的标准形，并写出正交阵。24 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x

7、12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求参数 a 及所用的正交变换。25 设 n 元实二次型 f(x 1，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xx-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2， 其中 a1， ，a n 均为实数。试问：当 a1，a n 满足何种条件时，二次型 f 是正定的。26 设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判别矩阵 C= 是否为正定矩阵。27 证明：若 A 是 n 阶正定矩阵，则 A*是正定矩阵。28 试用配方法化二次型 f(x 1，x 2，x 3)=2x12+3x22+x32+4x

8、1x2-4x1x3-8x2x3 为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及止、负惯性指数。29 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 2。 ()求 a的值； () 求正交变换 x=Qy，把 f(x，x，x)化成标准形； ()求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解。30 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交变换 x=Py 化成标准形 f=3y12+3y22+by32，求参数 a，b 及正交矩阵 P。31 已知三元二次型

9、 xTAx 的平方项系数均为 0，设 a=(1，2，-1) T 且满足 A=2。 ()求该二次型表达式； () 求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换； () 若 A+kE 正定，求 k 的取值。32 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+ax32+2x1x2 正定，求 a 的取值范围。考研数学一（二次型）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 相似矩阵的迹相等。矩阵 A 的迹 tr(A)=0+0+2+2=4，只有选项(A)中的矩阵的迹为 4。由排除法可知，应选(A)。【知识

10、模块】 二次型2 【正确答案】 B【试题解析】 旋转双叶双曲面的标准形式为 ，所以 A 的正特征值的个数为 1，故选(B)。【知识模块】 二次型3 【正确答案】 D【试题解析】 二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数等于 n。因此选(D)。【知识模块】 二次型4 【正确答案】 D【试题解析】 选项(A) 是必要不充分条件。这是因为 R(f)=p+qn。 当 q=0 时，有R(f)=pn。此时有可能 pn，故二次型 xTAx 不一定是正定二次型。因此矩阵 A不一定是正定矩阵。例如 f(x1，x 2，x 3)=x12+x32。 选项(B)是充分不必要条件。这是因为 P-1AP=E 表示 A

11、与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的。但只要A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值都是 1 属于不必要条件。 选项(C)中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=CTC 不能说 A 与 E 合同，也就没有A 是正定矩阵的结论。例如 C= ，A=C TC= 显然矩阵不正定。 关于选项(D)，由于 A 正定 A-1 正定 A*正定 A*与 E 合同，所以(D) 是充分必要条件。【知识模块】 二次型5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 R(A)=3，R(B)=3，所以 A 与 B 等价。 A 与 B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则 A 与 B 相似，否则 A

12、与 B 不相似。由于所以 A 的特征值为 A=-1，3，1，B 的特征值为 B= ，因此 A 与B 不相似。 由于 A 与 B 的正负惯性指数是相同的，正惯性指数为 2，负惯性指数为 1，所以 A 与 B 合同。故应选择(A)。【知识模块】 二次型6 【正确答案】 D【试题解析】 由 A，B 均为正定矩阵可知，对任意 x0，总有xTAx0，x TBx0，于是 xT(A+B)x=xTAx+xTBx 0，所以 A+B 正定。因为矩阵的乘法不满足交换律，所以 AB 不一定是对称矩阵，于是 AB 不一定正定。例如：A= ，则 A，B 均为正定矩阵，但 ABBA，即 AB 不是对称矩阵，所以 AB 不是

13、正定矩阵。【知识模块】 二次型7 【正确答案】 D【试题解析】 化二次型为标准形既可用正交变换法也可用配方法，化成标准形和所用坐标变换都是不唯一的。因此(A)、(C) 均不正确。规范形由二次型的正、负惯性指数所确定，而正、负惯性指数在坐标变换下是不变的。故(D) 正确。【知识模块】 二次型8 【正确答案】 A【试题解析】 因 A 为实对称矩阵，且=3(-4)。因此 A 与 B 既合同又相似。【知识模块】 二次型9 【正确答案】 A【试题解析】 f=x TAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即 B=PTAP，所以矩阵 A 与B 一定合同。 只有当 P 是正交矩阵时，即 PT

14、=P-1 时，才有 A 与 B 既相似又合同。【知识模块】 二次型10 【正确答案】 B【试题解析】 二次型 f 的矩阵 A= 因为两个实对称矩阵相似必合同，所以只需计算出矩阵 A 的特征值即可。由矩阵 A 的特征方程E-A=(-4)(-2)(+2)=0 可得，矩阵 A 的特征值是 4，2，-2。故应选(B) 。【知识模块】 二次型11 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵的乘法不满足交换律。事实上，令 A= ，易知 A，B 均可逆，但 ABBA，故排除选项(A)。 由于矩阵 A 与 B 的特征值不一定相同，故 A 与 B 不一定相似，排除选项(B)；若 A 是对称矩阵，B 为非对称矩阵，则 A

15、 与 B 必不合同，排除选项(C)。故选项(D) 正确。【知识模块】 二次型二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 二次型 f 的矩阵为 A= ，因为 f 正定，因此需满足 A 的顺序主子式都大于零。即 1=2， 2= =1， 3=A=1- t20。故 f 正定的条件是 1- t20，即【知识模块】 二次型13 【正确答案】 15【试题解析】 因为 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的每行元素的和为 5，故有因为 x0= 将上式两边左乘 x0T，得 f(1，1，1)=x0TAx0=(1， 1，1) =15。【知识模块】 二次型14 【正确答案】 【试题解析】 将行列式展开即可得到二次型的一般表

16、达式 f(x1，x 2)=3x1x2+5x1+2x2+3x1x2=x1，x 2因此对应矩阵为【知识模块】 二次型15 【正确答案】 y 12+y22-y32【试题解析】 二次型矩阵 A= 由E-A=( 2-1)(2-5)=0，知矩阵A 的特征值为 1，5，-1，0。故二次型正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=1。因此二次型的规范形为 y12+y22-y32。【知识模块】 二次型16 【正确答案】 2【试题解析】 由于 f(x1，x 2，x 3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3-2x2x3 的矩阵为对 A 作初等行变换得 从而 R(A)=2，即二次型的秩为 2。【知识模块】

17、 二次型17 【正确答案】 3y 12-6y32【试题解析】 求二次型 xTAx 在正交变换下的标准形也就是求二次型的矩阵 A 的特征值。由于 且(2，1，2) T 是 A 的特征向量，则有解得 a=b=2， 1=3。 由秩为2 知，A=0，于是 2=0 是 A 的另一个特征值，再由 i，有 1+(-5)+1=3+0+3，则 3=-6 是 A 的另外一个特征值。于是可得，正交变换下二次型的标准形是 3y12-6y32。【知识模块】 二次型18 【正确答案】 1【试题解析】 本题等价于将二次型 f(x，y，z)=x 2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz 经正交变换后化为 f=y12+4z1

18、2。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为 1，4，0。由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积，且该二次型的矩阵为 A= ，可知A=-(a-1) 2=0，解得 a=1。【知识模块】 二次型19 【正确答案】 k2【试题解析】 将 A3=2A2+5A-6E 变形可得 A 3-2A2-5A+6E=O。 设 A 有特征值 ，则 满足 3-22-5+6=0， 因式分解得 3-22-5+6=(-1)(+2)(-3)=0， 故 A 的特征值是 1，=2，3，因此 kE+A 的特征值为 k+1，k-2，k+3。由于 kE+A 是正定矩阵，因此 kE+A 的特征值均大于零，故 k2。【知识模块】 二次型20

19、【正确答案】 2【试题解析】 已知二次型经正交变换化成标准形 f=6y12，知 f 所对应的实对称矩阵的特征值应为 6，0，0，且该实对称矩阵为 又由=-(a+4)-(a-2)2=0，可得 a+4=6，a-2=0，所以 a=2。【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 二次型 f 的矩阵 A= 因为二次型 f 的秩为 2，所以 R(A)=2，而 A= ，因此由 1-(a-2)2=0，解得 a=3 或1。【知识模块】 二次型22 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x1(x2-x3)+(x2-x3)2-(x2-x3)2+2x22+

20、2x2x3=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3-x32=(x1+x2-x3)2+x22+4x2x3+4x32-5x32=(x1+x2-x3)2+(x2+2x3)2-5x23。即 线性变换矩阵 是可逆矩阵，于是原二次型化为 f(x 1，x 2，x 3)=y12+y22-5y32。【知识模块】 二次型23 【正确答案】 () 令 A= ，则 f(x1，x 2，x 3)=xTAx。( )由二次型矩阵的特征方程E-A = =(+6)(-1)(-6)=0，解得特征值 1=-6， 2=1， 3=6。当 1=-6 时，由(-6E-A)x=0 ，得特征向量1= 当 2=1 时，由(E-A)x=0，得特

21、征向量 2= 当 3=6 时，由(6E-A)x=0，得特征向量 3= 由施密特正交化方法得令 Q= ，则QTAQ= ，于是有 f(x1，x 2，x 3)=xTAx -6y12+y22+6y32。【知识模块】 二次型24 【正确答案】 二次型 f 的矩阵 A= 根据题意可知，矩阵 A 的三个特征值分别为 1=1， 2=2， 3=5，于是由A= 123 可得 2(9-a2)=10，解得 a=2 或-2(舍)。 当 1=1 时，解齐次线性方程组(E-A)x=0，得基础解系为 1=(0，1，-1) T； 当 2=2 时，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得基础解系为 2=(1，0，0) T； 当 3

22、=5时，解齐次线性方程组(5E-A)x=0，得基础解系为 3=(0，1，1) T。 因为 1， 2， 3已经是正交向量组，故只需将 1， 2， 3 单位化，于是得1= ， 2=(1，0，0) T， 3= 令 Q=(1， 2， 3)=则 Q 为正交矩阵，且在正交变换 x=Qy 下，有 QTAQ=【知识模块】 二次型25 【正确答案】 依题意知，对任意的 x1，x n，均有 f0，易知当且仅当下列齐次线性方程组只有零解时，二次型是正定的。 而当且仅当系数矩阵的行列式非零时，此齐次线性方程组只有零解，即=1+(-1)n+1a1an0，所以，当 a1an(-1)n 时，二次型 f 为正定二次型。【知识

23、模块】 二次型26 【正确答案】 因 A、B 正定，则 A、B 必为对称阵，故 AT=A，B T=B，则 CT=C。设 x、y 分别为 m、n 维列向量，则 z= 为 m+n 维列向量，若z0，则必有 x0 或 y0。不妨设 x0，因 A、B 正定，则 xTAx0，y TBy0，故zTCz=(xT，y T) =xTAx+yTBy0，故 C 是正定的。【知识模块】 二次型27 【正确答案】 已知 A 正定，则有A0。任意 x0，有 x TA*x=xTAA -1x=Ax TA-1x=Ax TA-1AA-1x=A(A -1x)TA(A-1x)。 又 A-1x0，所以对任意x0，有 x TA*x=A(

24、A -1x)TA(A-1x)0。 故 A*是正定矩阵。【知识模块】 二次型28 【正确答案】 由于 f 中含有 x1 的平方项，故先把含 x1 的项进行配方，然后再把含 x2 的项进行配方，依次配方即可。即 f(x 1，x 2，x 3)=2(x12+2x1x2-2x1x3)+3x22+x32-8x2x3=2(x1+x2-x3)2+x22-4x2x32-x32=2(x1+x2-x3)2+(x2-x3)2-5x32。令则把二次型 f 化成了标准形 f(x1，x 2，x 3)=2y12+y22-5y32。所用的可逆线性变换矩阵为 C= ，可逆变换为 x=Cy。 由以上结论可知，二次型 f 的规范形为

25、 f=z12+z22-z32，二次型的秩R(f)=3，正惯性指数为 2，负惯性指数为 1。【知识模块】 二次型29 【正确答案】 () 由已知可得，二次型的矩阵 A= ，且 A 的秩为 2，从而A= =-8a=0，解得 a=0。()当 a=0 时，A=，由特征多项式E-A= =(-2)(-1)2-1=(-2)2=0，得矩阵 A 的特征值 1=2=2， 3=0。当 =2 时，由(2E-A)x=0 及系数矩阵，得两个线性无关的特征向量 1=(1，1，0)T， 2=(0，0，1) T。当 =0 时，由(0E-A)x=0 及系数矩阵，得特征向量 3=(1，-1，0) T。 容易看出，1， 2， 3 已

26、两两正交，故只需将它们单位化，即得 1= (1，1，0) T， 2=(0,0，1)T， 3= (1， -1，0) T。那么令 Q=(1， 2， 3)= ，则在正交变换X=Qy 下，二次型 f(x1，x 2，x 3)化为标准形 f(1，x 2，x 3)=2y12+2y22。()由()中结论，f(x 1，x 2， x3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，于是得 所以方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的通解为 k(1，-1，0) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 二次型30 【正确答案】 由题意，二次型 f 及其标准形的矩阵分别是在正交变换下 A 与

27、相似，故有=-2(a+2)2=0，解得 a=-2，b=-3 。 于是，矩阵 A 的特征值是 3，3，-3。 当 =3 时，由(3E-A)x=0，系数矩阵得基础解系 1=(-1，1，0) t， 2=(-1，0，1) T，即 =3 有两个线性无关的特征向量。当 =-3 时，由(-3E-A)x=0 ，系数矩阵得基础解系 3=(1，1，1) T，即 =-3 的特征向量。 由于 =3 的特征向量 1， 2 不正交，故需施密特正交化。令 1=1= ，则 2=2-(2， 1 1， 1)= 将三个特征向量单位化，有 那么，所用坐标变换 x=Py 中，正交矩阵 P=( 1， 2， 3)=【知识模块】 二次型31

28、 【正确答案】 () 根据已知条件，有 即得方程组解得 a12=2，a 13=2，a 23=-2。所以 f(x)=x TAx=4x1x2+4x1x3-4x2x3。() 由 E-A= =(-2)2(+4)，得矩阵 A 的特征值为2，2，-4 。由(2E-A)X=0 及 得 =2 的特征向量1=(1， 1，0) T， 2=(1，0，1) T；由(-4E-A)x=0 及，得 =-4 的特征向量 3=(-1，1，1) T。 将1， 2 正交化。令 1=1，则 2=2-(2， 1 1， 1)1=再对 1， 2， 3 单位化，有那么令xTAx=yTy=2y12+2y22-4y32。 ()因为由( )中结论可知，A+kE 的特征值为 k+2，k+2，k-4，所以当 k4 时，矩阵 A+kE 正定。【知识模块】 二次型32 【正确答案】 该二次型的矩阵为 ，令其各阶顺序主子式分别大于零a0， =a2-10. =a(a2-1)0，解得 a1。【知识模块】 二次型