[考研类试卷]考研数学一（二次型）模拟试卷1及答案与解析.doc

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1、考研数学一（二次型）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(1， 2， 3) 125 22 324 122 23 的标准形可以是( )（A）y 124y 22（B） y126y 222y 32（C） y12y 22（D）y 124y 22y 322 下列二次型中是正定二次型的是( )（A）f 1( 1 2)2( 2 3)2( 3 1)2（B） f2( 1 2)2( 2 3)2( 3 1)2（C） f3(1 2)2( 2 3)2( 3 4)2( 4 1)2（D）f 4(1 2)2( 2 3)2( 3 4)2( 4 1)23 下列矩阵

2、中 A 与 B 合同的是( )（A）（B）（C）（D）4 设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与 C( )（A）等价但不相似（B）合同但不相似（C）相似但不合同（D）等价，合同且相似5 下列矩阵中，正定矩阵是( )（A）（B）（C）（D）6 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）二次型 TA 的负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P 使 P-1APE（C）存在 n 阶矩阵 C 使 AC -1C（D）A 的伴随矩阵 A*与 E 合同7 下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )（A）（B）（C）（D）

3、8 n 元实二次型正定的充分必要条件是( )（A）该二次型的秩n（B）该二次型的负惯性指数n（C）该二次型的正惯性指数它的秩（D）该二次型的正惯性指数n9 下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 为正定的是( )（A）A -1 正定（B） A 没有负的特征值（C） A 的正惯性指数等于 n（D）A 合同于单位阵10 关于二次型 f(1， 2， 3) 12 22 322 122 132 23，下列说法正确的是( )（A）是正定的（B）其矩阵可逆（C）其秩为 1（D）其秩为 211 设 fX TAX，gX TBX 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（A）X T(AB)X（B）

4、 XTA-1X（C） X*B-1X（D）X TABX12 设 A，B 为正定阵，则( )（A）AB，AB 都正定（B） AB 正定， AB 非正定（C） AB 非正定， AB 正定（D）AB 不一定正定，AB 正定13 实对称矩阵 A 的秩等于 r，它有个正特征值，则它的符号差为( )（A）r（B） tr（C） 2tr（D）rt14 二次型 f TA 经过满秩线性变换 Py 可化为二次型 yTBy，则矩阵 A 与 B( )（A）一定合同（B）一定相似（C）既相似又合同（D）既不相似也不合同15 f(1， 2， 3) 122 124 32 对应的矩阵是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题16

5、 设 f 12 225 322a 122 134 23 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是_17 二次型 f(1， 2， 3) TA2 222 324 128 234 13 的规范形是_18 若二次曲面的方程为 23y 2z 22ay 2z2yz 4，经正交变换化为y124z 124，则 a_ 19 设 f(1， 2) ，则二次型的对应矩阵是_20 二次型 f(1， 2， 3， 4) 324 422 124 34 的规范形是_21 若二次型 f(1， 2， 3)a 124 22a 326 122 23 是正定的，则 a 的取值范围是_22 设 A 是 3 阶实对称矩阵，满足 A22A 25

6、A6E，且 kEA 是正定阵，则 k 的取值范围是_23 设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 BaEA TA 是正定阵，则 a 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 f(1， 2， 3)5 125 22c 322 126 136 23 的秩为 2 (1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2)指出方程 f(1， 2， 3)1 表示何种二次曲面25 已知二次曲面方程 2 ay2z 22by2z2yz 4 可以经过正交变换化为椭圆柱面方程 24 24，求 a，b 的值和正交矩阵 P26 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩

7、阵， BT 为 B 的转置矩阵，试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)n27 写出下列二次型的矩阵：28 证明：二次型 f()A 在1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值29 求一个正交变换化下列二次型化成标准形： (1)f2 123 223 324 23； (2)f 12 32 2122 2330 设二次型 12 22 324 124 132a 23 经正交变换化为 3y123y 22by 32，求 a，b 的值及所用正交变换31 已知二次型 f(1， 2， 3)(1a) 12(1a) 222 322(1a) 12 的秩为 2 (1)求 a 的值； (2)求正交变换 Qy，把

8、f(1， 2， 3)化为标准形； (3)求方程f(1， 2， 3)0 的解32 已知三元二次型 TA 的秩为 2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换 Qy 化二次型为标准形33 设 D 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵 (1)计算 PTDP，其中 P ； (2)利用(1)的结果判断矩阵BC TA-1C 是否为正定矩阵，并证明结论34 已知 证明 A 与 B 合同35 设矩阵 A 有一个特征值是 3，求 y，并求可逆矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵36 求一个正交变换把二次曲面的方程 325y 25z 24y4z10yz1 化成标准方程37 证

9、明对称阵 A 为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵 U，使 AU TU，即 A与单位阵 E 合同38 设二次型 f(1， 2， 3)a 12a 22(a 1) 322 132 23 (1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值； (2)若二次型厂的规范形为 y12y 22，求 a 的值39 设二次型 f(1， 2， 3)A 在正交变 Qy 下的标准形为 y12y 22，且 Q 的第三列为 (1)求 A； (2) 证明 AE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵40 已知 A ，二次型 f(1， 2， 3) T(ATA) 的秩为 2， (1)求实数a 的值； (2)求正交变换 Qy 将 f 化为标

10、准形41 设二次型 f(1， 2， 3)2(a 11a 22a 33)2(b 12b 22b 33)2， 记(1)证明二次型 f 对应的矩阵为 2T T； (2)若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12y 22考研数学一（二次型）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 用配方法，有 f 124 124 22 222 23 32 ( 12 2)2( 2 3)2， 可见二次型的正惯性指数 p2，负惯性指数 q0因此，选项 A是二次型的标准形所用坐标变换 有 TAy TAyy 124y 22

11、所以应选 A【知识模块】 二次型2 【正确答案】 D【试题解析】 由定义 f TA 正定 对任意的 0，均有 TA0；反之，若存在0，使得 f TA0 则 f 或 A 不正定 A 选项因 f1(1，1，1)0，故 A 不正定 B 选项因 f2(1，1，1) 0，故 B 不正定 C 选项因 f3(1，1，1，1)0，故 C不正定 由排除法，故选 D【知识模块】 二次型3 【正确答案】 C【试题解析】 由合同定义：C TACB，矩阵 C 可逆知合同的必要条件是：r(A)r(B)且行列式A与B同号 本题 A 选项的矩阵秩不相等 B 选项中行列式正、负号不同，故排除易见 C 选项中矩阵 A 的特征值为

12、 1，2，0，而矩阵 B的特征值为 1，3，0，所以二次型 TA 与 TB 有相同的正、负惯性指数，所以A 和 B 合同 而 D 选项中，A 的特征值为 1，2，B 的特征值为1，2，2，因此 TA 与 TB 正、负惯性指数不同，故不合同【知识模块】 二次型4 【正确答案】 D【试题解析】 对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等阵表示，由题设 AEijB ，E ijBC， 故 CE ijBE ijAEij 因 EijE ijTE ij-1，故 CE ijAEijE ij-1AEijE ijTAEij，故即 A C，CA 且 C A，故应选 D【知识模块】 二次型5 【正确答案】 C【试题解析】

13、 二次型正定的必要条件是 aii0 在选项 D 中，由于 a330，易知f(0，0，1)0，与 X0， XTAX0 相矛盾 因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，2 阶主子式 2 0 在选项 B 中，3阶主子式 3A1 因此选项 A、B、D 均不是正定矩阵故选 C【知识模块】 二次型6 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是必要不充分条件这是因为 r(f)p qn ，当 q0 时，有r(f)pn此时有可能 pn，故二次型 TA 不一定是正定二次型因此矩阵 A不一定是正定矩阵例如 f(1， 2， 3) 12532 选项 B 是充分不必要条件这是因为 P-1APE

14、 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的但只要A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的 选项 C 中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 AC TC 不能说 A 与 E 合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论例如 显然矩阵不正定 关于选项 D，由于 A 正定 A-1 正定 A*正定 A *正定 A*与 E 合同 所以 D 是充分必要条件【知识模块】 二次型7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 不是对称阵，故它不可能是二次型的矩阵【知识模块】 二次型8 【正确答案】 D【试题解析】 二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数n【知识模

15、块】 二次型9 【正确答案】 B【试题解析】 A -1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 CTA-1CI n，两边求逆得到 C -1A(CT)-1C -1A(C-1)TI n 即 A 合同于 In，A 正定，因此不应选 A D 是 A 正定的定义，也不是正确的选择 C 表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵由排除法，故选 B 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数【知识模块】 二次型10 【正确答案】 C【试题解析】 二次型的矩阵 所以 r(A)1，故选项 C正确，而选项 A，B，D 都不正确【知识模块】 二次型11 【正确答案】 D【试题解析】

16、因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值1， 2， n 都大于零，A0，设 APj jPj，则 A-1pj Pj，A -1 的 n 个特征值 (j1， 2，n) 必都大于零，这说明 A-1 为正定阵，X TA-1X 为正定二定型 同理，X TBX-1 为正定二次型，对任意 n 维非零列向量 X 都有 X(AB)XX TAXX TBX0，这说明 XT(AB)X 为正定二次型由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以 XTABX 未必为正定二次型【知识模块】 二次型12 【正确答案】 D【试题解析】 由于 A、B 正定，所以对任何元素不全为零的向量 X 永远有XTA

17、X0，同时 XTBX0 因此 AB 正定，AB 不一定正定，AB 甚至可能不是对称阵【知识模块】 二次型13 【正确答案】 C【试题解析】 A 的正惯性指数为 t，负惯性指数为 rt，因此符号差等于 2tr【知识模块】 二次型14 【正确答案】 A【试题解析】 f TA(Py) TA(Py)y T(PTAP)yy TBy，即 BP TAP，所以矩阵A 与 B 一定合同而只有当 P 是正交矩阵，即 PTP -1 时，才有 A 与 B 既相似又合同【知识模块】 二次型15 【正确答案】 C【试题解析】 1， 2， 3 平方项系数对应主对角线元素：1，0，4， 12 系数的2对应 a12 和 a21

18、 系数的和，且 a21a 21，故 a121，a 211因此选 C【知识模块】 二次型二、填空题16 【正确答案】 a 0【试题解析】 二次型的矩阵为 其各阶主子式为因为 f 为正定二次型，所以必有 1a 20 且a(5a4)0，因此 4a0 故当 a0 时，A 正定，从而 f 正定【知识模块】 二次型17 【正确答案】 z 12z 22z 32【试题解析】 按照定义，二次型的矩阵 A ，由特征多项式 E A (6)(2)( 4) 因此矩阵 A 的特征值是2，6，4，即正交变换下的二次型的标准形是 2y126y 224y 32，因此其规范形是z12z 22z 32【知识模块】 二次型18 【正

19、确答案】 1【试题解析】 本题等价于将二次型 f(，y，z) 23y 2z 22ay2z2yz 经正交变换后化为了 fy 124z 12 由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1，4，0由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积，且该二次型的矩阵为 A，即可得A(a1) 20，因此 a1【知识模块】 二次型19 【正确答案】 【试题解析】 把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式因此对应的矩阵为【知识模块】 二次型20 【正确答案】 y 12y 22y 32【试题解析】 二次型的矩阵 A ，则 EA ( 21)( 25)，因此矩阵 A 的特征值分别为1，0，1，5，故该二次型的正惯性指数 P2，负

20、惯性指数 q1于是可得该二次型的规范形是 y12y 22y 32【知识模块】 二次型21 【正确答案】 a 【试题解析】 二次型 f 的矩阵为 A 因为 f 是正定的，因此矩阵 A 的顺序主子式全部大于零，于是有 a0， 4a90，A4a 210a0 解以上不等式，并取交集得 a【知识模块】 二次型22 【正确答案】 k2【试题解析】 根据题设条件，则有 A32A 25A6E O， 设 A 有特征值 ，则人满足条件 32 2560，将其因式分解可得 32 256(1)( 2)( 3)0， 因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1， 2，3，故 kEA 的特征值分别为 k，k2，k3，且当 k2 时

21、，kEA 的特征值均为正数故 k2【知识模块】 二次型23 【正确答案】 a 0【试题解析】 B T(aEA TA)TaEA TAB ，故 B 是一个对称矩阵 B 正定的充要条件是对于任意给定的 0，都有 TB(aEA TA)a T TATAa T(A) TA0， 其中 (A)T(A)0， T0，因此 a 的取值范围是a0，即 a0【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 (1)二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为2，因此A0，由此解得 c3，容易验证，此时 A 的秩为 2 又因EA ( 4)(9)， 所求特征值为10， 24， 39 (2)由特征

22、值可知 f(1， 2， 3)1 表示椭球柱面【知识模块】 二次型25 【正确答案】 根据题意，矩阵 A 和矩阵 B 是相似的，于是有EB，即 解得a3，b1 此时，矩阵 A ，特征值为 10， 21， 34 由(0EA) 0 ，得属于特征值 10 的特征向量为 1(1，0，1) T； 由(EA)0，得属于特征值 21 的特征向量为 2(1，1，1) T； 由(4EA)0，得属于特征值 34 的特征向量为 3(1，2，1) T 将 1， 2， 3 单位化，得到【知识模块】 二次型26 【正确答案】 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的 n 维实列向量 0，有 T(BTAB)0，

23、即(B) TA(B)0 于是，B0因此，B0 只有零解，故有 r(B)n 充分性：因(B TAB)TB TAT(BT)TB TAB，故 BTAB 为实对称矩阵 若 r(B)n，则线性方程组 B0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量0，有 B0 又 A 为正定矩阵，所以对于 B0，有(B) TA(B)0 于是当0，有 T(BTAB)(B) TA(B)0，故 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 二次型27 【正确答案】 (1)由题干可知： f()( 1， 2) 2 12 224 12( 1， 2) 故二次型的矩阵为 A (2)由题干可知： f() (1， 2， 3) 125 229 326 12

24、10 1314 23 ( 1， 2， 3) 故二次型的矩阵为 A【知识模块】 二次型28 【正确答案】 A 为实对称矩阵，则存在一正交矩阵 T，使得 TAT -1diag( 1， 2， n)， 其中 1， 2， n 为 A 的特征值，不妨设 1 最大 作正交变换 yT，即 T -1y，其中 T 是正交矩阵，因此由 T-1T T 有 f TAy TTATTyy Ty 1y12 2y22 nyn2 因为 yT，所以当1 时，有 2 Ty TTTTyy 21， 即 y12y 22y n21 因此 f 1y12 2y22 nyn21(y12y 22y n2) 1 又当y11，y 2y 3y n0 时，

25、f 1，所以 fmax 1【知识模块】 二次型29 【正确答案】 (1)二次型的矩阵为得 A 的特征值为 12， 25， 31 当 12 时，解方程(A 2E)0，由得单位特征向量 P1 当 25 时，解方程(A 5E)0 ，由 得单位特征向量 p2当 31 时，解方程(AE) 0 由 得单位特征向量 P3 于是有正交矩阵 Q(p 1，P 2，P 3)和正交变换 Qy，使得 则有 f2y 125y 22y 32 (2)二次型的矩阵为可得 A 的特征值为 11， 21， 32 当 11 时，解方程(AE)0，由得单位特征向量 p1 当 21 时，解方程(AE) 0，由 可得单位特征向量p2 当

26、32 时，解方程(A2E) 0，由可得单位特征向量 p3 于是有正交矩阵 Q(p 1，p 2，p 3)和正交变换 Qy，使得则有 f2y 12y 22y 32【知识模块】 二次型30 【正确答案】 二次型及其标准形的矩阵分别是由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似那么有 11133b 得 b3 对 3，则有 3EA 2(a 2) 20，因此 a2( 二重根) 由(3E A)0，得特征向量 1(1，1，0) T， 2(1 ，0，1) T 对 3，由(3EA) 0，得特征向量 1(1，1，1) T 因为 3 是二重特征值，对T， 2 正交化有 1 1(1，1，0) T， 2 2

27、单位化，有经正交交换 Cy，二次型化为 3y123y 223y 32【知识模块】 二次型31 【正确答案】 (1)二次型矩阵 A 二次型的秩为 2，则二次型矩阵 A 的秩也为 2，从而 因此 a0 (2)由(1)中结论 a0。则 A ，由特征多项式 EA (2)(1) 21(2) 2， 得矩阵 A 的特征值1 22， 30 当 2，由(2EA) 0，系数矩阵，得特征向量 1(1，1，0) T， 2(0，0，1) T 当0，由(0EA) 0，系数矩阵 ，得特征向量3 (1，1， 0)T 容易看出 1， 2， 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 1(1， 1，0) T， 2(0，0 ，1) T，

28、 3 (1，1，0) T 那么令 Q( 1， 2， 3)，则在正交变换 Qy 下，二次型 f(1， 2， 3)化为标准形 f(1， 2， 3) TAy Ty2y 122y 22 (3)由 f(1， 2， 3) 12 222 322 12( 1 2)22 320， 得 所以方程f(1， 2， 3)0 的通解为：k(1，1，0) T 其中 k 为任意常数【知识模块】 二次型32 【正确答案】 二次型 TA 的秩为 2，即 r(A)2，所以 0 是 A 的特征值所以 3 是 A 的特征值，(1，2，1)T 是与 3 对应的特征向量；1 也是 A 的特征值， (1，1，1) T 是与1 对应的特征向量

29、 因为实对称矩阵禾同特征值的特征向量相互正交，设 0 的特征向量是(1， 2， 3)T，则有 由方程组解出 0 的特征向量是(1，0，1) T因此，A (1210 22 32 16122 1316 23)， 令 则经正交坐标变换 Qy，有 TAy Ty3y 12y 32【知识模块】 二次型33 【正确答案】 (2)Fh(1)中结果知矩阵 D 与矩阵 M 合同，又因 D 是正定矩阵，所以矩阵M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 BC TA-1C 是对称矩阵 对 m 维向量 X(0 ，0，0) T 和任意 n 维非零向量 Y(y 1，y 2，y n)T0，都有依定义，Y T(BC TA-

30、1C)Y为正定二次型，所以矩阵 BC TA-1C 为正定矩阵【知识模块】 二次型34 【正确答案】 构造二次型 TAa 112a 222a 333 和yTBya 3y12 a1y22a 2y32， 经坐标变换Cy，则有所以矩阵 A 和 B 合同【知识模块】 二次型35 【正确答案】 因为 3 是 A 的特征值，故3EA8(3y1)0，解得)，y2于是 由于 ATA，要(AP) T(AP)P TA2P，而 A2是对称矩阵，即要 A2 ， 故可构造二次型 TA2，再化其为标准形，由配方法，有 TA2 12 225 325 428 34y 12y 225y 32 y42， 其中y1 1，y 2 2，

31、y 3 3 4，y 4 4，即【知识模块】 二次型36 【正确答案】 记二次曲面为 f1，则 f 为二次型，二次型的矩阵为得 A 的特征值为12， 211， 30 当 12 时，解方程(A 2E)0，得特征向量 ，单位化得 p1 当 211 时，解方程(A11E)0，得特征向量 ，单位化得 p2 当 30 时，解方程 A0，得特征向量 ，单位化得 p3于是有正交矩阵 P(p1，p 2，p 3)，使 P-1AP ，从而有正交变换使原二次方程变为标准方程 2u211v 21【知识模块】 二次型37 【正确答案】 必要性：因为对称阵 A 为正定的，所以存在正交矩阵 P 使PTAPdiag( 1， 2

32、， n)，即 APP T，其中 1， 2， n 为 A 的全部特征值，A 是正定矩阵， 1， 2， n 均为正数令 1diag ，则 11， P 11TPT 再令 U 1TPT，则 U 可逆，且 AU TU 故 A 与单位矩阵合同 充分性：若存在可逆矩阵 U，使 AU TU，则对任意的 Rn 且 0，有U0，即 f() TA TUTUU 20，矩阵 A 是正定矩阵【知识模块】 二次型38 【正确答案】 (1)二次型的矩阵为 A ，则有 EA(a) ( a)(a 1)(a1) 1 0( a) (a)( a1)(a1)2 (a)22aa 2a2 (a)( a 2)(a1)， 所以所有特征值是1a

33、， 2a2， 3a 1 (2) 若规范形为 y12y 22，说明有两个特征值为正，一个为 0则由于 a2a a1，所以 a20，即 a2【知识模块】 二次型39 【正确答案】 (1)由题意知 QTAQ，其中， ，则 AQQ T， 设 Q 的其他任一列向量为( 1， 2， 3)T因为 Q 为正交矩阵， 所以变即 1 30，其基础解系含 2 个线性无关的解向量，即为 把 1 单位化 1(2)证明：因为(AE)T AT EA E，所以 AE 为实对称矩阵 又因为 A 的特征值为 1，1，0，所以 AE 特征值为 2，2，1，都大于 0，因此 AE 为正定矩阵【知识模块】 二次型40 【正确答案】 (

34、1)A TA ，由 r(ATA)2 可得， AA(a1) 2(a23)0 可得 a1 (2)由(1)中结果，则 f TATA( 1， 2， 3) 2 122 224 324 134 23 令矩阵EB (2)(6)0， 解得 B矩阵的特征值为 10， 22， 36 对于 10，解( 1EB) 0，得对应的特征向量为： 1 对于 22，解( 2EB)0，得对应的特征向量为： 2对于 36，解( 3EB) 0，得对应的特征向量为： 3 将1， 2， 3 单位化可得： 令 Qy 可将原二次型化为 2y226y 33【知识模块】 二次型41 【正确答案】 (1)f( 1， 2， 3)2(a 11a 22

35、a 33)2(b 11b 22b 33)2 2( 1， 2， 3) (a1， a2，a 3) ( 1， 2， 3) (b1，b 2，b 3) ( 1， 2， 3)(2T) ( 1， 2， 3)(T) ( 1， 2， 3)(2T T) 所以二次型 f 对应的矩阵为 2T T (2)设 A2 T T，由 1， T0，则 A(2 T T)2 2 T2， 所以 为矩阵对应特征值 12 的特征向量； A (2 T T)2 T 2， 所以 为矩阵对应特征值 21 的特征向量 而矩阵 A 的秩 r(A) r(2 T T)r(2T)r( T)2， 所以 30 也是矩阵的一个特征值故 f 在正交变换下的标准形为2y12y 22【知识模块】 二次型