[考研类试卷]考研数学一（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷1及答案与解析.doc

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1、考研数学一（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 y=f(x)可微，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2x 垂直，则 =（A）1（B） 0（C） 1（D）不存在2 设曲线 y=x2+ax+b 和 2y=1+xy 3 在点(1，1)处相切，其中 a，b 是常数，则（A）a=0 ，b=2（B） a=1，b=3（C） a=3，b=1（D）a= 1， b=13 设 f(x0)0， f(x)在 x=x0 连续，则 f(x)在 x0 可导是f(x)在 x0 可导的( )条件（A）

2、充分非必要（B）充分必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要4 设 f(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=0，则 f(x0)=0 是f(x)在 x0 可导的( ) 条件（A）充分非必要（B）充分必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要5 设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a 连续但不可导，又 g(a)存在，则 g(a)=0 是 F(x)在x=a 可导的( )条件（A）充分必要（B）充分非必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要6 函数 f(x)=(x2x2)x 3x的不可导点有（A）3 个（B） 2 个（C） 1 个（D）0 个7 设 f(x+1)=af(x)总成立，

3、f(0)=b，a，b 为非零常数，则 f(x)在点 x=1 处（A）不可导（B）可导且 f(1)=a（C）可导且 f(1)=b（D）可导且 f(1)=ab二、填空题8 请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设 f(x)在 x0 可微，f(x 0)0，则x0 时 f(x)在 x=x0 处的微分与 x 比较是( )无穷小，y=f(x 0+x)f(x 0)与x 比较是( )无穷小，ydf(x) x=x0 与x 比较是( )无穷小9 设 =_10 设 y=f(lnx)ef(x)，其中 f(x)可微，则 dy=_11 若 y=f(x)存在反函数，且 y0，y存在，则 =_12 设函数 f(x)有任意阶导数且

4、f(x)=f2(x)，则 f(n)(x)=_(n2)13 对数螺线 r=e在点(r ，)= 处的切线的直角坐标方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f(x)，g(x)均在 x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)，则 f(x0)=g(x0)； ()若 x(x0 ，x 0+，xx 0 时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x=x0 处有相同的可导性； () 若存在 x0 的一个邻域(x 0，x 0+)，使得x(x0，x 0+)时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x0 处有相同的可导性若可导，则f(

5、x0)=g(x0)15 说明下列事实的几何意义：()函数 f(x)，g(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)，f(x0)=g(x0)；() 函数 y=f(x)在点 x=x0 处连续，且有 =16 设 f(x)存在，求极限 ，其中 a，b 为非零常数17 设函数 f(x)在 x=x0 处存在 f+(x0)与 f (x0)，但 f+(x0)f (x0)，说明这一事实的几何意义18 设 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)=1，f(a)=3，求数列极限 w=19 求下列函数的导数 y：()y=arctane x2； ()y= sinx20 设 y=(1+x2)arctanx，求

6、y21 设 a 为常数，求22 设函数 y=y(x)由方程 sin(x2+y2)+exxy 2)=0 所确定，求 ；23 设 ex+y=y 确定 y=y(x)，求 y，y；24 设函数 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且 f1，求 25 设 求 f(x)在点 x=0 处的导数26 设 f(x)= 求 f(1)与 f(1)27 设 f(x)= 求 f(x)28 求下列 y(n)：( )y= ；()y= 29 设 y=sin4x，求 y(n)30 设 y=x2e2x，求 y(n)31 求下列函数的导数与微分：()设 y= ，求 dy； ()设 y=arctanexln；()设 y=(x1

7、) ，求 y与 y(1)32 设 y= et2dt+1,求它的反函数 x=(y)的二阶导数 及 (1)33 设 ，求34 求下列隐函数的微分或导数：()设 ysinxcos(xy)=0，求 dy；( )设方程确定 y=y(x)，求 y与 y35 设 f(x)= ()求 f(x)；()f(x)在点 x=0 处是否可导?36 确定常数 a 和 b，使得函数 f(x)= 处处可导考研数学一（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1，又 ydy=0(x)，dy=f

8、(x 0)x=x，于是= =0，故应选(B)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算2 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=x2+ax+b 在点(1，1) 处的斜率 y=(x 2+ax+b) x=1=2+a 将方程 2y=1+xy 3 对 x 求导得 2y=y 3+3xy2y由此知，该曲线在(1，1)处的斜率y(1)为 2y(1)=(1) 3+3y(1)，y(1)=1因这两条曲线在(1，1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即 2+a=1，a= 1又曲线 y=x2+ax+b 过点(1，1)，所以1+a+b=1，b= 2a= 1因此选(D)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算

9、3 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)0 f(x0)0 或 f(x0)0，因 f(x)在点 x0 处连续，则 f(x)在 x0某邻域是保号的，即 0，当xx 0 时， 因此应选(B) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算4 【正确答案】 B【试题解析】 按定义f(x)可导 存在，即 (0)均存在且相等因此应选(B) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 (a)不存在，所以不能对 g(x)(x)用乘积的求导法则； 当g(a)0 时，若 F(x)在 x=a 可导，可对 用商的求导法则()若 g(a)=0，按定义考察 则 (x)=g

10、(x)(a)，即 F(a)=g(a)(a)()再用反证法证明：若 F(a)存在，则必有 g(a)=0若 g(a)0，由商的求导法则即知 (x)= 在 x=a 可导，与假设条件 (a)在 x=a 处不可导矛盾因此应选(A) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算6 【正确答案】 B【试题解析】 按定义考察 在 x=0 处， =(x2x2)x 21 ，于是 故 f+(0)f (0)因此 f(x)在 x=0 不可导在 x=1 处， =(x2x2) x 2+x ，于是 f+(1)=221= 4，f (1)= =22(1)=4 故f+(1)f (1)因此 f(x)在 x=1 不可导在 x=1 处

11、，=(x2x2)x 2x ，因为 (x2x2)x 2x=02=0，而且 为有界变量，于是 f(1)= =0因此 f(x)在x= 1 可导应选(B)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算7 【正确答案】 D【试题解析】 按定义考察因此，应选(D)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算二、填空题8 【正确答案】 同阶 同阶 高阶【试题解析】 df(x) x=x0=f(x0)x，由 =f(x0)0 知这时 df(x) x=x0 与x 是同阶无穷小量；按定义 =f(x0)0，故y 与x 也是同阶无穷小量；按微分定义可知差ydf(x) x=x0=0(x)(x0)是比x 高阶的无穷小【知识

12、模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算9 【正确答案】 Acosb【试题解析】 补充定义 f(a)=b，则有 f(a)= =A于是 =sinf(x) x=a=cosf(a).f(a)=Acosb【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算10 【正确答案】 e f(x) f(lnx)+f(x)f(lnx)dx【试题解析】 利用一阶微分形式不变性，可得 dy=df(lnx)ef(x)=ef(x)df(lnx)+f(lnx)def(x) =ef(x)f(lnx)dlnx+f(lnx)ef(x)df(x) =ef(x) f(lnx)+f(x)f(lnx)dx【知识模块】 一元函数的导数与微分概念

13、及其计算11 【正确答案】 【试题解析】 设 y=f(x)的反函数是 x=(y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出： 因此【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算12 【正确答案】 n!f n+1(x)【试题解析】 将 f(x)=f2(x)两边求导得 f(x)=2f(x)f(x)=2f3(x)，再求导得 (x)=3!f2(x)f(x)=3!f4(x)由此可归纳证明 f(n)(x)=n!fn+1(x)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算13 【正确答案】 y= x【试题解析】 对数螺线的参数方程为 于是它在点 处切线的斜率为 当 = 时x=0，y= 因此该切线方程为 y=

14、x【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 () 不正确函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关仅有 f(x0)=g(x0)不能保证 f(x0)=g(x0)正如曲线 y=f(x)与 y=g(x)可在某处相交但并不相切()不正确例如 f(x)=x2， g(x)=显然，当 x0 时 f(x)=g(x)，但 f(x)在 x=0 处可导，而 g(x)在 x=0 处不可导(因为 g(x)在 x=0 不连续)()正确由假设可得当 x(x0，x 0+)，xx 0 时故当 xx 0 时等式左右端的极限或同时存在

15、或同时不存在，而且若存在则相等再由导数定义即可得出结论【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算15 【正确答案】 () 曲线 y=f(x)，y=g(x)在公共点 M0(x0，f(x 0)即(x 0，g( 0)处相切( )点 x=x0 是 f(x)的不可导点曲线 y=f(x)在点 M0(x0，f(x 0)处有垂直于 x 轴的切线 x=x0(见图 21)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算16 【正确答案】 按导数定义，将原式改写成【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算17 【正确答案】 x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线在点 M0(x0，f(x 0)处存在左、右切线，

16、且左、右切线有一个夹角(M 0 是曲线 y=f(x)的尖点)，见图 22 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算18 【正确答案】 这是指数型数列极限，先转化成其指数是 型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知因此 w=e6【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算19 【正确答案】 ()y= ()当 x0 时，由求导法则得 f(x)= cosx；当 x=0 时，由导数定义得所以 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算20 【正确答案】 将函数化为 y=earctanxln(1+x2)，然后对 x 求导即得 y=(1+x2)arctanxar

17、ctanxln(1+x2)=(1+x2)arctanx 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算21 【正确答案】 继续对 x 求导，并注意 t 是 x 的函数，得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算22 【正确答案】 将原方程两边直接对 x 求导数，并注意 y 是 x 的函数，然后解出y即可由(2x+2y.y)cos(x 2+y2)+exy 22xy.y=0，得 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算23 【正确答案】 注意 y 是 x 的函数，将方程两端对 x 求导得 ex+y(1+y)=y，即 y=(这里用方程 ex+y=y 化简)再对 x 求导得或将 满足的方程

18、 两边对 x求导得 的表达式，同样可求得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算24 【正确答案】 y=y(x) 由方程 f(x+y)y=0 确定，f 为抽象函数，若把 f(x+y)看成f(u)，而 u=x+y，y=y(x) ，则变成复合函数和隐函数的求导问题注意，f(x+y)及其导函数 f(x+y)均是 x 的复合函数将 y=f(x+y)两边对 x 求导，并注意 y 是 x 的函数，f 是关于 x 的复合函数，有 y=f.(1+y)，即 y= 又由 y=(1+y)f再对 x 求导，并注意 y是 x 的函数，f仍然是关于 x 的复合函数，有 y=(1+y)f+(1+y)(y)=yf+(1

19、+y)f.(1+y)=yf+(1+y)2f，将 y= 代入并解出 y得 y=或直接由 y= 再对 x 求导，同样可求得y= 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算25 【正确答案】 其中用到了等价无穷小替换： ln(1+x)1(x0)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算26 【正确答案】 由题设知 f(1+0)= =f(1)，f( 10)= =f(1) ，故 f(x)又可以写成 所以因此 f(1)=f(1)=【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算27 【正确答案】 当 x0 时，由求导法则得 f(x)=3x2sin 当 x=0 时，求得：f(0)= =0于是【知识模块

20、】 一元函数的导数与微分概念及其计算28 【正确答案】 () 当 n 为奇数时，x n+1 可被 x+1 整除，x n+1=(x+1)(xn1 xn2 +x+1)=(xn1 x n2 +x+1) ，y (n)=0 当 n 为偶数时，x n 除 x+1得 n=(x+1)(xn1 x n2 +x1)+1 y= =xn1 x n2 +x1+ ，y (n)=0+(1) n ()由于 y= ，于是【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算30 【正确答案】 用莱布尼兹法则并注意(x 2)(k)=0(k=3，4，) ， (e 2x)(k

21、)=2ke2x，得y(n)= (x2)(k)(e2x)nk =x2(e2x)(n)+n(x2)(e2x)n1 + (x2)(e2x)(n2)=2ne2xx2+nx+ n(n1)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算31 【正确答案】 () ()由于y=arctanex 2xln(e 2x+1)=arctanexx+ ln(e2x+1)，所以()这是求连乘积的导数，用对数求导法方便因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得lny=ln x1+ ln3x+1+ ln2x对 x 求导，得 因此 y=若只求 y(1)，用定义最简单利用y(1)=0 可得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算

22、32 【正确答案】 由变限积分求导法先求得 =ex2，再由反函数求导法得 =ex2 ，最后由复合函数求导法得 =2xe x2 .ex2 =2xe 2x2 由原方程知y=1 (1)=2xe 2x2 x=0=0【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算33 【正确答案】 ，将该式对 x 求导，右端先对t 求导再乘上 得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算34 【正确答案】 () 利用一阶微分形式不变性求得 d(ysinx)dcos(xy)=0 ，即 sinxdy+ycosxdx+sin(xy)(dx dy)=0 ，整理得 sin(xy)sinxdy=ycosx+sin(xy)dx，故

23、 dy= dx() 将原方程两边取对数，得等价方程 ln(x2+y2)=arctan (*)现将方程两边求微分得 化简得xdx+ydy=xdyydx，即 (xy)dy=(x+y)dx ，由此解得 y= 为求 y，将y满足的方程(xy)y=x+y 两边再对 x 求导，即得 (1y)y+(x y)y=1+y代入 y表达式即得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算35 【正确答案】 () 这是分段函数，分界点 x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即 x0，于是可得当 x0 时，f(x)= +2cos2x，x=0 处是左导数：f (0)=2；又 =0=f(0)，即 f(x)在 x=0 右连

24、续 f+(0)=2于是 f(0)=2因此 ()f(x) 也是分段函数，x=0是分界点为讨论 f(x)在 x=0 处的可导性，要分别求 f+(0)与 f (0)同前可得按定义求 f+(0)，则有因 f+(0)f (0)，所以 f(0)不存在，即 f(x)在点 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算36 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处可导，得 f(x)在 x=0 处连续由表达式知，f(x)在x=0 右连续于是，f(x)在 x=0 连续 (sinx+2aex)=2a=f(0)2a=2b，即 a+b=0又 f(x)在 x=0 可导 f+(0)=f (0)在 a+b=0 条件下，f(x)可改写成 f(x)= 于是 f+(0)=9arctanx+2b(x1) 3 x=0= +6b(x1) 2 x=0=9+6b，f (0)=(sinx+2aex) x=0=1+2a因此 f(x)在x=0 可导 故仅当 a=1，b=1 时 f(x)处处可导【试题解析】 这是分段函数，当 x0 与 x0 时分别与某初等函数相等，是可导的，关键是确定 a 和 b，使得 f(x)在 x=0 处可导对这类问题是根据：函数在某点可导则在该点连续；函数在某些点处可导，则在该点处左、右导数相等这两个性质，建立两个待定常数间的两个关系式，然后解出来【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算