[考研类试卷]考研数学（数学三）模拟试卷456及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学三）模拟试卷 456 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若函数 f(x)在点 x0 处的左导数 f (x0)和右导数 f +(x0)都存在，则( )（A）函数 f(x)在点 x0 处必可导（B）函数 f(x)在点 x0 处不一定可导，但必连续（C） 函数 f(x)在点 x0 处不一定连续，但极限 必存在 （D）极限 不一定存在2 设 f(x)连续，且 则下列结论正确的是( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(1)不是 f(x)的极值，但(1，

2、f(1)是曲线 y=f(x)的拐点3 设 t0，则当 t0 时， 是 t 的 n 阶无穷小量，则 n 为( ) （A）2（B） 4（C） 6（D）84 微分方程 y“一 4y=x 2+cos2x 的特解形式为( )（A）(ax 2+bx+c)+(A cos2x+B sin2x)（B） (ax2+bx+c)+c(A cos2x+B sin2x)（C） (ax3+bx2+cx)+(A cos2x+B sin2x)（D）(ax 3+bx2+cx)+x(A cos2x+B sin2x)5 设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 ATB=O，则 r(B)等于( )（A）0（B） 1（C） 2

3、（D）36 设三阶矩阵 A 的特征值为2，0，2，则下列结论不正确的是 ( )（A）r(A)=2（B） tr(A)=0（C） AX=0 的基础解系由一个解向量构成（D）2 和 2 对应的特征向量正交7 设随机变量 向量组 1， 2 线性无关，则 X1 2， 2+X2 线性相关的概率为( ) 8 设 X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y 的相关系数为 由切比雪夫不等式得 PX+Y110( ). 二、填空题9 10 设由 x=zey+z 确定 z=z(x，y)，则11 12 y“ 2y 3ye x 的通解为_13 设 A 为三阶实对称矩阵

4、， 1(，m，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(m，1，1m) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 m_14 设总体 XN(0， 2 )，X 1，X 2，X 3，X 4 为总体 X 的简单随机样本，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 ()确定 a 的取值，使得 g(x)为连续函数； () 求 g(x)并讨论函数 g(x) 的连续性16 设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 q1(吨)与 q2(吨)时，总收入函数为 R(q1，q 2)=15q1+34q2q 124q 222q 1q236(万元) ，设

5、生产 1 吨甲产品要支付排污费 1 万元，生产 1 吨乙产品要支付排污费 2 万元 (I)如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大?最大利润多少? ()当排污费总量为 6 万元时，这两种产品产量各为多少时总利润最大?最大利润多少?17 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导 证明：存在， (a，b)，使得 18 求级数 的和19 20 (I)设 A，B 为 n 阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵 A，B 相似( )设 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B21 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三维列向量且 10，若A1=1，A 2=1+2，A 3=2

6、+3 (I) 证明：向量组 1， 2， 3 线性无关 ()证明：A 不可相似对角化22 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 作两次独立观察设两次的观察值为 X1，X 2，令 (I)求常数 a 及 PX121 ； ()求 (Y1，Y 2)的联合分布23 设总体 X 的密度函数为 其中 0为未知参数，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的简单随机样本，求参数 的矩估计量和极大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 456 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 从而 f(x00)=f(x 0+0)=f(x0)，即 f(x)在

7、x=x0 处连续，而左、右导数存在函数不一定可导，应选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以由极限的保号性，存在 0，当0x1 时，有 即当 x(1，1)时，f(x)0；当x(1，1+)时，f (x) 0 根据极值的定义，f(1)为 f(x)的极小值，选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为 24=0，特征值为 1=0， 2=4， 方程 y“4y=x 2 的特解为 y1=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx； 方程 y“4y=cos2x 的特解为 A cos2x+B sin2x，故选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 因为

8、ATB=O 且 B 为非零矩阵，所以方程组 ATX=0 有非零解，从而r(AT)=r(A)n ，于是 r(A*)=0 或 r(A*)=1，又因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1由 r(A*)=1 得 r(A)=n1，从而 r(AT)=n1由 ATB=O 得 r(AT)+r(B)n，于是 r(B)1，又 B 为非零矩阵，所以 r(B)1，于是 r(B)=1，选 B6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化，从而 r(A)=2， A 是正确的；由 tr(A)=2+0+2=0 得 B 是正确的；因为 =0 是单特征值，所以 =0 只有一个线性无关的特征

9、向量，即方程组(0EA)X=0 或 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，C 是正确的；2 与 2 对应的特征向量一般情况下线性无关，只有 A 是实对称矩阵时才正交，选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 (X 1 2， 1+X2)=(1， 2) 因为 1， 2 线性无关，所以向量组 X1 2， 1+X2 线性无关的充分必要条件是 即X=1，故向量组 X1 2， 1+X2 线性相关的概率为 选 C8 【正确答案】 B【试题解析】 令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，则 PX+Y110)=P ZE(Z

10、)10) 选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 方法一： 方法二： 10 【正确答案】 【试题解析】 将 x=e，y=0 代入得 z=1 方法一： x=zey+z 两边求微分得dx=zey+zdy+(z+1)ey+zdz， 11 【正确答案】 【试题解析】 因为 为奇函数，所以12 【正确答案】 y=C 1e-x+C2e3x e-x【试题解析】 特征方程为 22 3=0 ，特征值为 1=1， 2=3，则方程y“ 2y3y=0 的通解为 y=C1ex +C2e3x. 令原方程的特解为 y0(x)=Axex ，代入原方程得 于是原方程的通解为 13 【正确答案】 1【试题解析】 由 AX

11、=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A 的特征值，1=(m，m，1) T 为其对应的特征向量 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，A+E =0，=1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为2=(m，1,1m，1) T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=114 【正确答案】 t(3)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 (I)利润函数为。 L(q 1，q 2)=R(q1，q 2)q 12q 2=14q1+32q2q 124q 222q 1q236 令得 q1=4

12、，q 2=3，因为驻点唯一，且该实际问题存在最大值，故当 q1=4，q 2=3 时 L(q1，q 2)达到最大，最大值为 L(4，3)=40(万). ()令 F(q1，q 2，)=L(q 1，q 2)+(q1+2q26)， 令得 q1=2，q 2=2，于是在 q1+2q2=6 下，当q1=2， q2=2 时， L(q1，q 2)取到最大值，最大值为 L(2,2)=28(万)17 【正确答案】 令 g(x)=cosx， g(x)=sinx0(axb)， 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 (1)设 A， B 的特征值为 1， 2 ， n，因为 A，B 可相似对角化，所以存

13、在可逆矩阵 P1，P 2，使得 于是P11 AP1=P21 BP2，或(P 1P21 )1 A(P1P21 )=B， 令 P=P1P21 ，则 P1 AP=B，即矩阵 A，B 相似 21 【正确答案】 (I)由 A1=1 得(AE) 1=0， 由 A2=1+2 得(A E) 2=1， 由A3=2+3 得(A E) 3=2 令 k 11+k22+k33=0， 1) 两边左乘以(A E)得 k21+k32=0， 2) 两边再左乘(AE) 得惫 k31=0， 由 10 得 k3=0，代入 2)得k21=0，则 k2=0， 再代入 1)得 k11=0，从而 k1=0，于是 1， 2， 3 线性无关 ()令 P=(1， 2， 3)， 由(A 1，A 2，A 3)=(1， 1+2， 23)得由EA =EB =(1) 3=0 得 A 的特征值为 1=2=3=1， 因为 r(EB)=2 ，所以 B 只有一个线性无关的特征向量，即 B 不可相似对角化，而 AB，故 A 不可相似对角化22 【正确答案】 因为 X1，X 2相互独立，所以 PX10，X 21=PX 10PX 21 ， ()(Y 1，Y 2)可能的取值为 (0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) 23 【正确答案】 E(X)=0，