[考研类试卷]考研数学（数学三）模拟试卷385及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学三）模拟试卷 385 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为三阶矩阵，a 1= ，a 2= ，a 3= 为非齐次线性方程组 AX= 的解，则（A）当 t2 时，r(A)=1（B）当 t2 时，r(A)=2（C）当 t=2 时，r(A)=1 （D）当 t=2 时，r(A)=22 设 a， 为四维非零的正交向量，且 A=aT，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个3 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1(x)+08F 1(2x)，其中 F2(y)是服从参数为( ).（

2、A）0.36（B） 0.44（C） 0.64（D）14 设随机变量 XF(m，m)，令 a=PX1=PX1，则( )（A）a（B） a（C） a= （D）a， 的大小与自由度 n 有关5 设 f(x)= ，x0，若 f(x)在 x=0 处可导且导数不为零，则 k 为( )（A）3（B） 4（C） 5（D）66 曲线 y= 的渐近线条数为( ) （A）3 条（B） 2 条（C） 1 条（D）0 条7 设幂级数 (3x+1)n 在 x=一 1 处收敛，则级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不能确定8 设 f(z，y) 在 (0，0)处连续，且 =4，则( )（A）f(x，

3、y)在(0，0)处不可偏导（B） f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微（C） (0，0)=f y(0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分（D） (0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x，y)在(0，0)处可微分二、填空题9 sin(xt)2dt=_10 arcsin dx=_11 _12 一 一 3y=e-x 的通解为_13 设 A 为三阶实对称矩阵，a 1=(m，m，1) T 是方程组 Ax=0 的解，a2=(m，1，l m)T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 m=_14 设总体 xN(0， 2)，X 1，X 2，X 3，X 4 为总体 X 的简单随机样本，S 2=

4、_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设偶函数 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导，且 f(0)=1， (0)=4证明：绝对收敛16 求微分方程 y2y=xe+sin 2x 的通解17 设 A= ， B 为三阶非零矩阵，为 BX=0 的解向量，且 AX=a3 有解( )求常数a，b.() 求 BX=0 的通解.18 设二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2x1x3+2bx2x3 的秩为 1且(0，11) T为二次型的矩阵 A 的特征向量 (I)求常数 ab； () 求正交变换 X=QY，使二次型 XTAX 化为标准形19 设随机变量 X 的分布律为 PX=k=p

5、(1 一 p)k1 (k=1，2，)，y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=3)20 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1) ，Y i=Xi 一(i=1，2，n)求(I)D(Y i)(i=1，2，n)；()Cov(Y 1，Y n)；()PY1+Yn0)21 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内三阶可导，且 =2，f(1)=1，f(2)=6证明：存在 (0，2)，使得 ()=922 设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x ，y) 由 ex+ey=ez 确定，其中 f 二阶连续可偏导，求23 设某工厂生产甲、乙两种产品，没甲、乙两种产品的产量分别为 x 和 y

6、(吨)，其收入函数为 R=15x+34y 一 x2 一 2xy 一 4y2 一 36(万)，设生产甲产品每吨需要支付排污费用 1 万，生产乙产品每吨需要支付排污费用 2 万 (I)在不限制排污费用的情况下，这两种产品产量各为多少时总利润最大?求最大利润 ()当排污总费用为 6 万时，这两种产品产量各多少时总利润最大?求最大利润考研数学（数学三）模拟试卷 385 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 方法一当 t2 时，a 1a 2= ，a 1 a3= 为 AX=0 的两个线性无关解从而 3r(A)2，r(A)1，又由 AO 得

7、 r(A)1，即 r(A)=1，应选（A).方法二：令 B= ，由已知条件的 AB= ，r(AB)=1，当 t2 时，B 为可逆矩阵，从而 r(AB)=r(A)=1，应选(A).2 【正确答案】 C【试题解析】 令 AX=X，则 A2X=2X，因为 a， 正交，所以aT=Ta=0， A2=T.T=O，于是 2X=0，故 1=2=3=4=0，因为 a， 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r(aT)r(a)=1，所以 r(A)=1 因为4 一 r(OEA)=4 一 r(A)=3，所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 设 X

8、1E(1)，其密度函数为 其分布函数为F1(x)= 且 E(X1)=D(X1)=1，则 . 由 E(X)= =02E(X 1)+04=06，得 D(X)=E(X2)一E(X) 2=08036=0 44，选(B).4 【正确答案】 C【试题解析】 令 Y= ，因为 XF(m，m) ，所以 YF(m，m)因为 a=PX1)=P 1)=P 1)=PY1=PX1)= 所以 a=，选(C).5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 k 一 2=3，即 k=5，选(C)6 【正确答案】 A【试题解析】 =，所以曲线 y= 等无水平渐近线；因为 =，所以 x=0 为曲线 y=

9、 的铅直渐近线，又因为 =，所以 x=1 为曲线 y=的铅直渐近线；因为，所以曲线的斜渐近线为 y=x+2，故曲线有 3 条渐近线，选(A)7 【正确答案】 A【试题解析】 令 3x+1=t，则级数 当 t=一 2 时收敛，故级数 的收敛半径 R2，因为 1 绝对收敛，即级数 绝对收敛，应选(A)8 【正确答案】 D 【试题解析】 由 =4 得 f(0，0)=1，因为 一 1x 2+y2 所以=4，从而 =4+a，其中 a 口为当(x，y)(0， 0)时的无穷小，于是 f=f(x，y)f(0，0)=0x+0y+( )，故 f(x，y)在(0， 0)处可微，且 (0，0)= (0，0)=0，选(

10、D)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 sin(xt)2d(xt)10 【正确答案】 【试题解析】 sin2udu=11 【正确答案】 【试题解析】 因为 ln(x+ )为奇函数，所以 12 【正确答案】 y=C 1ex +C2e3x 一【试题解析】 特征方程为 22=0，特征值为 1=一 1， 2=3，则方程 2y一3y=0 的通解为 y=C1ex +C2e3x 令原方程的特解为 y0(x)=Axex ，代入原方程得A=一 ，于是原方程的通解为 y=C1ex +C2e3x 13 【正确答案】 1【试题解析】 由 AX=0 有非零解得，r(A) 1=(m，一 m，1) T 为其对应的特征

11、向量； 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)2=(m，1，m) T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=114 【正确答案】 t(3)【试题解析】 由 得 由 与 S2 独立得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)=f(x)，于是 f(0)=0.因为 f(x)在x=0 的邻域内二阶连续可导，所以 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2+o(x2)，即 f(x)1=2x 2+o(x2)，于是 f( )1= 因为f( )一 1= 且 收敛，所以 收敛，即 绝对收敛16 【正确答案】

12、 特征方程为 2+2=0 特征值为 1=2， 2=1， +y2y=0 的通解为 y=C1e2x +C2+C2ex 设 +y2y=xe x(*) +y2y=sin 2x(* *)令(*) 的特解为 y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得 a= ，b= 一 由 +y2y=sin 2x 得 +y2y= (1 一cos2x)，显然 +y一 2y= 有特解 y=一 对 +y2y=一 cos2x，令其特解为y=Acos2x+Bsin2x，代入得 A= ，B=一 ，则 y2(x)=一 + cos2x 一 sin2x，所以原方程的通解为 y=C1e2x +C2ex+( )ex 一 + cos2x si

13、n2x17 【正确答案】 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的 解向量，于是 ，解得 a=3b由 AX=a3 有解得 r(A)=r(A a3)由(A a3)= 得，解得 b=5，从而 a=15由 a1，a 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3 一 r(B)2，从而 r(B)1，再由 r(B)1 得 r(B)=1，a 1，a 3 为 BX=0 的一个基础解系，故 BX=0 的通解为 X=k1=18 【正确答案】 ()A= 由 r(A)=1 得 a=b()A=的特征值为 0，0，3=0 对应的特征向量为 ；=3 对应的特征向量为 ，令 Q= 及

14、X=QY，则有 f= 19 【正确答案】 令 Ak=X=k(k=1，2，)，B=Y=3，P(BA 1)=P(BA 2)=0，P(BA K)= (K3)，由全概率公式得 PY=3=P(B)= P(Ak)P(BA k)=令 S(x)=，于是 PY=3 20 【正确答案】 ()D(Y i)=Cov(Yi，Y i)=D(Xi)+D =1+()Cov(Y 1，Y n)=Cov()Y 1+Yn=X1+Xn一 ，因为X1,X2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y1+Yn 服从正态分布， 21 【正确答案】 由 =2，得 f(0)=0，f(0)=2作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得 P(0

15、)=0，P(0)=2 ，P(1)=1 ，P(2)=6，解得 A= ，B=一 ，C=2，D=0令 (x)=f(x)( )则 (x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 (0)=(1)=(2)=0 因此 (x)在0 ，1和1 ，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1(0，1)， 2(1，2)，使得 (1)= (2)=0又 (0)=0，由罗尔定理，存在1(0， 1)， 2(1， 2)，使得 (1)= (2)=0，再由罗尔定理，存在 (1， 2)(0， 2)，使得 ()=0而 (x)= (x)=9，所以 ()=922 【正确答案】 由 ex+e2=ez 得 =exz ， =yz ， =e x+y2z

16、.再由u=f(x2+y2，xz)得 =2xf1+(z+ )f2， =2x=2x()+(eyz 一 xex+y2z )f2+(z+xexz )( ) =4xy +(2x2eyz +2yz+2xyexz ) +(eyz 一 xex+y2z )f2+xeyz (z+xexz ) 23 【正确答案】 (I)利润函数为 L=R C=15x+34yx2 一 2xy 一 4y2 一 36 一 x 一 2y =14x+32yx2 一 2xy 一 4y2 一 36 rL ：一 142z 一 2y 一 0， fz 一 4， 令解得 因为只有唯一一个驻点，且该实际问题一定有最大值，所以当 时，利润达到最大，最大利润为 L(4，3)=40(万) ()令 F(x，y，)=L(x，y)+(x+2y 一 6)， 因为该实际问题一定有最大值，故当时，总利润最大，且最大利润为 L(2，2)=28(万)