[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷488及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学一）模拟试卷 488 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 x=0 是 f(x)的( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）不能判断连续性的点2 曲线 的渐近线的条数为( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 设 f(x)= 则f(x)dx=( )4 设幂级数 (2x 一 1)2n 在 x=一 4 处条件收敛，则级数 (x+1)n 在 x=一 3 处( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不确定5 设 A 为三阶矩阵，令 将 A 的第一、二两行对调，再将 A 的第三列

2、的 2 倍加到第二列成矩阵 B，则 B 等于( ) （A）P 1AP2（B） P1-1AP2（C） P2AP1（D）P 1-1AP2-16 设 A 为三阶矩阵，B=( 1， 2， 3)， 1 为 AX=0 的解， 2 不是 AX=0 的解，又r(AB)minr(A) ，r(B)，则 r(AB)=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设 X1，X 2，X 3，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机变量， 是样本均值，记则服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量为( )8 设 X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=一 1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，

3、Y 的相关系数为 ，由切比雪夫不等式得 P|X+Y 一 1|10( )二、填空题9 过曲线 (x0)上的一点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面区域的面积为 所围区域绕 x 轴旋转一周而成的体积为_10 11 设 为过直线 L： 且与平面 x 一 2y+23=0 垂直的平面，则点 M(3，-4 ，5) 到平面 的距离为 _12 设：x 2+y2+z2=4，取内侧，又函数 u=u(x，y，z)满足13 设 为三维空间的两组不同的基，令 =1+22 一 33，则 在基 1， 2， 3 下的坐标为_14 设 XN(1，4) ，Y 且 X，Y 相互独立，则 PXY+1X+Y=_三、解答题

4、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 g(x)二阶可导，且 f(x)= (I)求常数 a，使得 f(x)在 x=0处连续；()求 f(x)，并讨论 f(x)在 x=0 处的连续性16 设 a 为实数，问方程 ex=ax2 有几个实根?17 设 y=y(x)由 x3+3x2y 一 2y3=2 确定，求 y=y(x)的极值18 设 f(x)为连续函数，=(x，y，z)|x 2+y2+z2t2，z0，为 的表面，D xy 为 在 xOy 平面上的投影区域，L 为 Dxy 的边界曲线，当 t0 时有求 f(x)19 设 un(x)满足 un(x)=un(x)+ (n=1，2，)，且 un(

5、1)= 的和函数20 设 (I)当 a，b 为何值时， 不可由1， 2， 3 线性表示；()当 a，b 为何值时， 可由 1， 2， 3 线性表示，写出表达式21 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=且 A*=(I)求正交矩阵 Q；()求矩阵 A22 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 Y= 求：(I)PX+Y=0： ()随机变量 Y 的分布函数；()E(Y)23 设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X n设 E(Xi)=(i=1，2，n) ，问

6、k1，k 2，k n 应取何值，才能在使用 估计 时 无偏，并且 最小?考研数学（数学一）模拟试卷 488 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)= 当 x=0 时，f(x)= 当 x0 时，f(x)=x因为 f(0+0)=1，f(0)= f(0 一 0)=0，所以 x=0 为 f(x)的第一类间断点，选(B)2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以曲线没有水平渐近线；由得曲线有两条铅直渐近线；由得曲线有一条斜渐近线，选(C)3 【正确答案】 C【试题解析】 当 x一 1 时，f(x)=x+C 1；

7、当 x1 时，f(x)=x+C 2；4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 在 x=一 4 处条件收敛，所以收敛半径为 R=当 x=一 3 时，因为|一 3+1|=2R=3，所以当 x=一 3 时，级数 绝对收敛，应选(A)5 【正确答案】 D【试题解析】 即B=P1-1AP2-1，选(D) 6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2 不是 AX=0 的解，所以 ABO，从而 r(AB)1； 显然 1， 2不成比例，则 r(B)2， 由 r(AB)minr(A) ，r(B)得 r(AB)r(A) ， 从而 B 不可逆，于是 r(B)3，故 r(B)=2 再由 r(AB)r(B)得 r(AB)=

8、1选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1， D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，则 P|X+Y 一 1|10=P|ZE(Z)|10 选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 设切点为 切线方程为切线与 x 轴的交点横坐标为 x=一2a，所求的面积为所求体积为10 【正确答案】 【试题解析】 交换积分次序得 0tdxxtsin(xy)2dy=0tdy0ysin(xy)2dx11 【正确答案】 【试题解析】 过直线 L： 的平面束为(2x 一 z4)+(2y+3z+2

9、)=0，即 2x+2y+(3 1)z+24=0，由2，2 ，31.1，一 2，1|=0 得 =1，从而 ： x+y+z 一 1=0，于是12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 (一 4，一 2，2)【试题解析】 由( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)Q，可得 Q=(1， 2， 3)-1(1， 2， 3)=1+2233=(1， 2， 3)(1，2，一3)T=(1， 2， 3)Q(1，2，一 3)T则 在基 1， 2， 3 下的坐标为(一 4，一 2，2) 14 【正确答案】 【试题解析】 PXY+1 X+Y=P(X 一 1)(Y 一 1)0 =PX1，Y1+PX1，Y1 =PX

10、1PY1+PX1PY1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I)当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1，当 f(x)在 x=0 处连续时，a=g(0)所以 f(x)在 x=0 处连续16 【正确答案】 当 a=0 时，方程无解； 由 (x)=2xe-x 一 x2e-x=x(2 一 x)e-x=0 得 x=0 或 x=2当 x0 时，(x)0；当 0x2 时，(x)0；当 x2 时，(x)0，1)当 a0 时，方程无解；2) 时，方程有两个根，分别位于(一，0)内及x=2；3)当 时，方程有三个根，分别位于( 一，0)，(0，2)，(2，+)内；4)当

11、时，方程只有一个根，位于(一，0)内。17 【正确答案】 x 3+3x2y 一 2y3=2 两边对 x 求导得 3x 2+6xy+3x2y一 6y2y=03x2+6xy+3x2y一 6y2y=0 两边对 x 求导得6x+6y+12xy+3x2y“一 12yy2 一 6y2y“=0，x=0 时， y“(0)=一 1，则 x=0 为极大值点，极大值为 y=一 1；x= 一 2 时，y“(一 2)=1，x= 一 2 为极小值点，极小值为 y=118 【正确答案】 令 1：x 2+y2+z2=t2(z0)， 2：z=0(x 2+y2t2)，则所以有 2t2f(t2)+ 即 t2f(t2)+t4=0tr

12、f(r2)dr，两边求导得 2tf(t2)+2t3f(t2)+4t3=tf(t2)，令 t2=x 得 f(x)+ f(x)=一 2，解得19 【正确答案】 20 【正确答案】 (I)当 a一 6，a+2b 一 40 时，因为 r(A) 所以 不可由 1， 2， 3 线性表示；()当a一 6，a+2b4=0 时， 可由1， 2， 3 唯一线性表示，表达式为 =21 一 2+03；当 a=一 6 时，当 a=一 6，b5 时，由, 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，表达式为 =61+12+23；当a=-6，b=5 时，由 , 可由 1， 2， 3 线性表示，表达式为=(2k+2)1+(k 一 1

13、)2+k3，其中 k 为任意常数21 【正确答案】 (I)显然 A 的特征值为 1=2=-1， 3=2，A* 的特征值为 1=2=一2， 3=1 因为 为 A*的属于特征值 3=1 的特征向量，所以 是 A 的属于特征值3=2 的特征向量，令 =3令 A 的属于特征值 1=2=一 1 的特征向量为因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以-x 1 一 x2+x3=0，则A 的属于特征值 1=2=一 1 的线性无关的特征向量为3=322 【正确答案】 (I)PX+Y=0=P(Y=一 X=P|X|1 =1 一 PX1=1 一(1 一 e-)=e-()F Y(y)=PYy=PYy，0X1+PYy，X 1 =PXy，0X1+PX一 y，X1 当 y一 1 时，F Y(y)=PX-y=1 一 PX一 y=ey；当一1y0 时，F Y(y)=PX1=e -；当 0y1 时，F Y(y)=P0Xy+PX1=1 一 e-y+e-；当 y1 时，F Y(y)=P0X1+PX1=1 23 【正确答案】