[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷443及答案与解析.doc
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1、考研数学(数学一)模拟试卷 443 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f() ,g() 11-cotant2dt,则 0 时 f()是 g()的(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶而非等价无穷小(D)等价无穷小2 设 f()在( ,)内二阶可导且 f()0,则 0,h 10,h 20,有(A)(B)(C)(D)3 已知累次积分 I d0cosf(rcos,rsin),其中 a0 为常数,则 I 可写成(A)(B)(C)(D)4 设 f(,y) 为区域 D 内的函数,则下列结论中不正确的是(A)若在 D 内,有 0,则 f(,y)常数(B)若
2、在 D 内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为零,则 f(,y)常数(C)若在 D 内,有 df(,y)0 ,则 f(,y) 常数(D)若在 D 内,有 0,则 f(,y)常数5 设 A,B,C 都是 n 阶矩阵,满足 ABACE ,则下列等式中不正确的是(A)A TBTATCTE(B) BACCAB (C) BA2CE(D)ACABCABA 6 设 1, 2, 3, 4 都是 3 维非零向量,则下列命题中错误的是(A)如果 4 不能用 1, 2, 3 线性表示,则 1, 2, 3 线性相关(B)如果 1, 2, 3 线性相关, 2, 3, 4 线性相关,则 1, 2, 4 线性相关(C
3、)如果 3 不能用 1, 2 线性表示, 4 不能用 2, 3 线性表示,则 1 能用2, 3, 4 线性表示(D)如果 r(1, 1 2, 2 3)r( 4, 1 4, 2 4, 3 4),则 4 能用1, 2, 3 线性表示7 设 X,Y 为随机变量,PXY0 ,Pmax(X,Y)0 ,则 Pmin(X,Y)0(A)(B)(C)(D)8 设 X1,X 2,X n+1 是取自正态总体 N(0, 2)的简单随机样本,记,1kn,则 cov( )(A)(B)(C) k2(D) 2二、填空题9 设曲线厂的极坐标方程是 re (00),则 上与直线 y1 平行的切线的直角坐标方程是_10 设 _11
4、 函数 uyz 2 在条件 2y 2z 24(0,Y0, 0)下的最大值是_12 设平面上连续曲线 yf()(ab,f() 0)和直线 a, b 及 轴所围成的图形绕 轴旋转一周所得旋转体的质心是( ,0,0),则 的定积分表达式是_13 已知 A ,则 A-1_14 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且都服从正态分布 N(0, 2)已知X1,X 2,X m 与 Y1,Y 2,Y n(n4)是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本,统计量 Y 服从自由度为 n 的 t 分布,则 时,k_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 ()求累次积分 J ()设连续函数 f()满足 f()
5、1 1f(y)f(y)dy,记 I 01f()d,求证:I1 01f(y)dy0yf(y)d , ()求出 I 的值16 设 f(,y)在全平面有三阶连续偏导数,并满足 y, y, 试求:() ()f(,y)17 设曲线 1(正整数 n1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为 I(n),证明: ( )I(n)2n 01(1t 2)nt2n-1dt; ()I(n) sin2n-1tdt 且 I(n) (n1) () I(n) 118 设曲面积分 J 其中 S+为上半椭球面: 1(0zc) 的上侧 ( )求证:J,其中 是上半椭球体: 1(0zc); ()求曲面积分 J19 若函数 f()在0 ,1
6、上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)f(1) 0,f()0,且 f()在 0,1上的最大值为 M求证: ()f()0( (0,1); () 自然数 n,存在唯一的 n(0, 1),使得 f(n) 20 设 A 是 3 阶矩阵, 1, 2, 3 都是 3 维非零列向量,满足Aii i,(i1,2,3)记 1 2 3 证明 ,A,A 2 线性无关 设 P(,A,A 2),求 P-1AP21 设二次型 TA 124 22 322a 122b 132c 23,矩阵B ,满足 AB0 用正交变换化 TA 为标准形,写出所作变换 求(A3E) 622 已知(X,Y)为一个二维随机变量,X 1X2Y
7、 ,X 2X2Y,(X 1,X 2)的概率密度为 f(1, 2) ()分别求出 X 和 Y 的密度函数; ()求 X 和 Y 的相关系数,并由此写出(X ,Y)的联合密度23 设总体 X 服从正态分布 N(,1),X 1,X 2,X 9 是取自总体 X 的简单随机样本,要在显著性水平 a 005 下检验 H 0: 00,H 1:0, 如果选取拒绝域R c ()求 C 的值; ( )若样本观测值的均值 1,则在显著性水平0 05 下是否可据此样本推断 0? ()若选取拒绝域 R 1,求关于检验 H0: 00 的检验水平 a(3)099865)考研数学(数学一)模拟试卷 443 答案与解析一、选择
8、题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 这是考察如下的 型极限,由洛必达法则与等价无穷小因子替换得其中用了下面的等价无穷小因子替换:0 时 ln(1 sin 22)sin 22 4 tan(1cos) 2(1cos) 2 故应选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 这是比较三个数的大小问题已知 f()0 f()单调上升,于是设法转化为比较导数值这是可以办到的。只要对上述两个改变量之比用拉格朗日中值定理: 由 f()在(, )单调上升 f()f()3 【正确答案】 C【试题解析】 这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oy 直角坐标系下的累次积分的问题
9、先将,表成 I f(,y)d 由 D 的极坐标表示且 r2 2y 2arcosa 可知 D:,如图 若是先 y 后 的积分顺序,则 D:0a, 于是 I 故应选C4 【正确答案】 D【试题解析】 在区域 D,df(,y)0 f(,y)为常数? 于是结论选项 A、C 是正确的 现在如果能在选项 B 与 D 中证明其中之一是正确的或举例说明其中一个是错误的,则就可作出正确的选择 考察 B 项设( 0,y 0)D为任意一点,它存在两个不共线的方向:I i(cos i,cos i)(i1,2),使得故 B 项正确,因此应选 D5 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A,B,C 都可逆,因此 BA2CE
10、ABAC BAAB如果A,B 乘积不可交换 C 项就不成立 由 ABACE 可推出 CABAE,两边转置得选项 A,A TBTATCTE 由 ABACE 可推出 A-1BAC 和 A-1CAB,得选项B,BACCAB 由 ABACE 可推出 ACABE ,CABAE,得选项D,ACABCABA6 【正确答案】 B【试题解析】 只要 2, 3 线性相关,就有 1, 2, 3 和 2, 3, 4 都线性相关,但推不出 1, 2, 4 线性相关例如 1(1,0,0), 2 3(0,1,0) ,4 (0,0,1) 说明选项 A、C 的正确都可根据同一事实:如果 3 个 3 维向量线性无关,则任何 3
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