[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷440及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学一）模拟试卷 440 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 bn0(n=1，2，)，下述命题正确的是 ( )2 设 f(x，y)=|x y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)的某邻域内连续则 (0，0)=0 是 f(x，y)在点(0，0)处可微的( )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件3 下列反常积分发散的是( )4 设 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）两个偏导数都存在，函数也连续（B）两个偏导数都存在，但函数不连续（C）偏导数不存在，但函数连续（D）偏导

2、数不存在，函数也不连续5 设 n 维向量 1， 2， 3 满足 1 一 22+33=0，对任意的 n 维向量 ，向量组1+， 2+b， 3 线性相关，则参数 a，b 应满足条件( )（A）a=b （B） a=b（C） a=2b（D）a= 2b 6 设 A 是一个 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记成 B，则下列五个关系()|A|=|B|；()r(A)=r；中正确的有( )（A）2 个（B） 3 个（C） 4 个（D）5 个7 设(X，Y) 为二维连续型随机变量，则下列公式各项都有意义的条件下f(x，y)=fX(x)fY(y)； fX

3、(x)= +fY(y)fX|Y(x|y)dx；PXY)= +FX(y)fY(y)dy，其中 FX(y)= yfX(x)dx必定成立的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，令 Y=maxX，1，则 EY=( )二、填空题9 设常数 a 0，曲线 上点(a ，a，a)处的切线方程是 _10 11 设 f(x)=arctan2x，则 f(2015)(0)=_12 微分方程 的通解为 y=_13 设 则满足 AB=A，其中 BE 的所有的 B=_14 已知随机变量 X 与 y 都服从正态分布 N(， 2)，且 PX0，Y 2)=a ，则PX0

4、，Y2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设当 x一 1，1时 f(x)连续，F(x)= 1 1|x 一 t|f(t)dt，x 1，1 ()若 f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数； ()若 f(x)0(当1x1)，证明：曲线 y=F(x)在区间1，1 上是凹的16 ()计算 0nt|sint|dt，其中 n 为正整数；()求17 设 an= 试证明：()a n+1a n 且 ()级数 条件收敛18 设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且微分方程 xy(1+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程 () 求 f(x)； ()求该全微

5、分方程的通解19 设平面区域 D 用极坐标表示为20 设线性方程组 添加一个方程ax1+2x2+bx3 一 5x4=0 后，成为方程组()求方程组(*)的通解；()a，b 满足什么条件时，(*)(*)是同解方程组21 A 是 3 阶矩阵，有特征值 1 一 2=2，对应两个线性无关的特征向量为1， 2， 3=一 2 对应的特征向量是 3 ()问 1+2 是否是 A 的特征向量? 说明理由； ( )2+3 是否是 A 的特征向量?说明理由； ()证明：任意三维非零向量(0)都是 A2 的特征向量，并求对应的特征值22 设 X 和 Y 的联合密度函数为 ()求 Z=YX 的密度函数；()求数学期望

6、E(X+Y)23 设袋中有编号为 1N 的 N 张卡片，其中 N 未知，现从中有放回地任取 n 张，所得号码为 x1，x 2，x n()求 N 的矩估计量 ，并计算概率 ；()求 N 的最大似然估计量 ，并求 的分布律考研数学（数学一）模拟试卷 440 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 证明(C) 正确首先证明： 事实上，左边级数前 n 项部分和 Sn=(1 一 2)+(2 3)+( n 一 n+1)=1 一 n+1根据比较判别法的极限形式知，级数 收敛，从而知 绝对收敛不存在，所以发散满足(A)的题设条件，但 是收敛的(

7、B)不正确，反例： 收敛，但 是收敛的，故(B)不正确(D)不正确，反例：也发散，故(D)不正确2 【正确答案】 C【试题解析】 先证充分性设 (0，0)=0，由于 (x，y)在点(0，0)处连续，所以由于按可微定义，f(x，y)在点(0，0)处可微，且 af=0.x+0.y，即 fx(0，0)=0，f y(0，0)=0 再证必要性设 f(x，y)在点(0， 0)处可微，则 fx(0，0)与 fy(o，0)必都存在其中 x0 +时取“+”，x0 时取“一”由于fx(0，0)存在，所以 (0，0)=9(0，0)，从而 (0，0)=0证毕3 【正确答案】 C【试题解析】 至于(A)、(B)、(D)

8、都是收敛的4 【正确答案】 C【试题解析】 所以 f(x，y)在点(0，0)连续 不存在同理 fy(0，0)也不存在选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 因 1， 2， 3 满足 1+22+33=0， (*) 要求向量组1+a， 2+b， 3 线性相关，其中 是任意向量利用式 (*)，取常数 k1=1，k 2=一 2，k 3=3，对向量组 1+a， 2+b， 3 作线性组合，得 ( 1+)一 2(2+b)+33 12 2+33+(a 一 2b)=(a2b) 故当 a=2b 时，对任意的 n 维向量 均有 1+2( 2+b)+33=0 即 a=2b 时， 1+a， 2+b， 3 对任意 线性

9、相关故应选(C) 6 【正确答案】 D【试题解析】 将 A 的 i 列、j 列互换，再将 i 行、 j 行互换，相当于右乘、左乘相同的互换初等阵 Eij，即 =EijAEij，其中 |Eij|=一 10，是可逆矩阵，|E ij|2=1，故( )、()、()成立 Eij1 =Eij，故Eij 1AEij=EijAEij=B，故 AB，()成立 EijT =Eij，故 EijAEij=EijT AEij=B，故 A B，( )成立从而知()、( )、()、()、()均成立应选(D)7 【正确答案】 A【试题解析】 需要独立条件才成立； 应该为需要独立条件8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题

10、9 【正确答案】 x+y=2az=a【试题解析】 将 x 看成自变量，方程两边对 x 求导，得 yz+xyz+xyz=0 及x+yy=az将(x，y，z)=(a，a，a) 代入，得 y(a)+z(a)=一 1，y(a) 一 z(a)=一1解得 y(a)=一 1，z(a)=0所以切线方程为 ，即x+y=2a，z=a10 【正确答案】 【试题解析】 用球面坐标，11 【正确答案】 一(2014!)2 2015【试题解析】 由幂级数展开式的唯一性知，f (k)(0)=k!ak，k=0，1 ，2，当 k=2015 时，2015=21007+1，故 n=1007，12 【正确答案】 ，其中 C1，C 2

11、 为任意常数【试题解析】 此为欧拉方程令 x=et，于是按 y 对 t 的二阶常系数线性非齐次方程的解法解之，得通解13 【正确答案】 ，其中 k1，k 2，k 3 是不全为零的任意常数【试题解析】 AB=A ，得 A(BE)=0BE ，故 BE0将 BE 按列分块，知BE 的每一列均是 Ax=0 的解Ax=0 有通解 k(1，一 1，1) T，其中 k 为任意常数， ，其中k1，k 2，k 3 是不全为零的任意常数14 【正确答案】 a【试题解析】 记 A=X 0)，B=Y2)，由题设知三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 设 f(x)为连续的偶函数，则

12、 F(一 x)=1 1|一 x 一 t|f(t)dt=1 1|x+t|f(t)dt =1 1|x 一 uf(一 du)(du)一 1 1|x 一 u|f(u)du=F(x)? 所以 F(x)也是偶函数 ()F(x)= 1 x(xt)f(t)dt+x1(tx)f(t)dt =x1 xf(t)dt 一 1 xtf(t)dt+x1tf(t)dt 一xx1f(t)dt， F(x)= 1 xf(t)dt+xf(x)一 xf(x)一 xf(x)+xf(x)一 x1f(t)dt =1 xf(t)dtx1f(t)dt， F“(x)=f(x)+f(x)=2f(x)0 所以曲线 y=F(x)在区间一 1，1上是凹

13、的16 【正确答案】 17 【正确答案】 () 因为 且仅在两处 x=0 与 等号成立，所以 又因 ana n+2，所以 2ana n+an+2，从而 因 2an+2a n+an+2，从而得证()由()有所以由莱布尼茨定理知 收敛，所以 条件收敛18 【正确答案】 () 由题设知，存在二元函数 u(x，y)，使由于 f(x)具有一阶连续导数，所以 u 的二阶混合偏导数连续，所以有 即有 x(1+2y)f(x)=f(x)+2xy， f(x)+f(x)=x连同已知 f(0)=0，于是可求得 f(x)=x 一 1+ex ()由()有du=(xy2+yyex )dx+(x 一 1+ex +x2y)dy

14、求 u(x，y)有多种方法凑微分法(xy 2+yye x )dx+(x1+ex +x1 y)dy=xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(ye x dx+ex dy)dy 所以该全微分方程的通解为(xy)2+xy+yex 一 y=C，其中 C 为任意常数19 【正确答案】 D 如图阴影部分，为清楚起见， 4 个圆只画出有关的 4 个半圆D 关于直线 yz 对称，交点 A、B、C 的极坐标分别为20 【正确答案】 得方程组(*)的通解为 k(一 3，一 5，1，0) T，k 是任意常数()方程组(*)(*) 是同解方程组 方程组(*)的通解满足方程组(*) 的第 4 个方程，代入得一 3k

15、a+(一 5k).2+bk+0=0，即(一 3a+b)k=10k因 k 是任意常数，故得一 3a+b=1021 【正确答案】 () 1+2 仍是 A 的对应于 1=2=2 的特征向量 因已知A1=21，A 2=22，故 A( 1+2)=A1+A2=21+22=2(1+2) () 2+3 不是 A 的特征向量假设是，设其对应的特征值为 u，则有 A( 2+3)=(2+3)， 得 222 3 一2 一 3=(2) 2 一(2+) 3=0， 因 2 和 2+ 不同时为零，故 2， 3 线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾， 故 2+3 不是 A 的特征向量 ()因 A 有特征值 1=2

16、=2， 3=2，故 A2 有特征值 1=2=3=4对应的特征向量仍是 1， 2， 3，且 1， 2， 3 线性无关故存在可逆矩阵 P=(1， 2， 3)，使得 P1 A2P=4E，A 2=P(4E)P1 =4E 从而对任意的 0，有 A2=4E=4，故知任意非零向量 都是 A2 的对应于 =4 的特征向量22 【正确答案】 密度函数法 ()E(X+Y)= + +(x+y)f(x，y)dxdy= 0+dx0+(x+y)e(x+y)dy=0+0+(xex ey +ye y)dydx=223 【正确答案】 记 X 为事件“从袋中有放回地任取 1 张卡片”，记 Xi 为事件“取出的卡片编号为 i”，X 与 Xi：同分布，此题已知样本分布，即可得到总体 X 分布为