[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷416及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学一）模拟试卷 416 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 f(n)(3)=2 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f(0)=0 =-1，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） 0，f(0)是曲线 f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 已知 f(x，y)=ln(1+ )，则（A）df(x， y) (0,0)=0（B） fx(0， 0)，f y(0，0)都不存在（C）仅 fx(0，0)存在（D）仅

2、fy(0，0)存在4 设函数 f(x)= s(x)= bnsinnx，- x+，其中 bn=2 f(x)sin nxdx，n=1 ， 2，3，则 s( )等于 5 设 A 为 3 阶可逆矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的(-1)倍加到第 2 列得 C，记 P= ，则矩阵 C 的伴随矩阵 C*等于（A）P -1A*P（B） PA*P-1（C） PTA*P（D）PA *PT6 设向量 =(1，1，-1) T 是矩阵 A= 的一个特征向量，则（A）矩阵 A 能相似对角化，且秩 r(A)=3（B）矩阵 A 不能相似对角化，且秩 r(A)=3（C）矩阵 A 能相似对

3、角化，且秩 r(A)3（D）矩阵 A 不能相似对角化，且秩 r(A)37 设 X 和 Y 是任意两个随机变量，若 D(X+y)=D(X-Y)，则（A）X 和 Y 相互独立（B） X 和 Y 不独立（C） D(XY)=DX.DY（D）E(XY)=EX.EY8 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，考虑下列命题： X2+Y2 服从 2 分布； X/Y服从 t 分布； X 2Y 2 服从 F 分布； X-Y服从正态分布，其中正确的个数为（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题9 曲线 上点 M 处的切线垂直于直线 2x-y=0，则点 M 的坐标为_.10 微分方程

4、 2x3y=y(2x2-y2)满足 y(1)=1 的解为_ 11 曲线 X= ，直线 y=2 及 y 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为_12 螺旋线 x=cost，y=sint，z=t 上点 M(x0，y 0，z 0)处的切线与 z 轴的夹角为_.13 设 1=(1， 2，0) T， 2=(-1，0，2) T 分别是 3 阶矩阵 A 属于特征值-1，1 的特征向量，记 =(2，-2 ，2) T，则 A=_14 从 1，2，5 这 5 个数字中不放回地每次取一个数，先后取两次，以 X，Y分别表示先后两次取到的数字，则 DY=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5、15 求 z=x2y(4-x-y)在区域 D=(x，y)x+y6，x0，y0上的最值15 已知 xOz 面曲线 L：16 写出曲线 L 绕 z 轴旋转一周所得的曲面的方程，并说明是何种曲面。17 求曲面上点 P(0，0，1) 处的切平面与曲面 z=x2+y2 所围成的立体的体积。18 设函数 z=f(ln )满足等式 ，且=-11，试求 f(x)19 将函数 f(x)= 展开成(x-1)的幂级数，指出级数的收敛范围，并利用展开式求数项级数 的和20 计算曲面积分 I= ，其中为曲面 4z=4(1-x2)-y2(0z1)的上侧21 已知两个向量组： 1=(1，2，3) T， 2=(1，0，1)

6、T 与() 1=(-1，2，k)T， 2=(4，1，5) T，试问 k 取何值时( )与()等价? 并写出等价时()与()相互表示的线性表达式21 设矩阵 A= ，已知 A 的特征值之和为 4，且某个特征值为 222 求 a，b 的值。23 求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵。23 设二维随机变量的联合概率密度为 f(x，y)= ，其他24 求常数 k25 求关于 X，Y 的边缘概率密度 fx(x)，f Y(y)，并问 X 与 Y 是否独立?26 计算 PX+Y127 求 Z=Y-X 的概率密度28 某人接连不断、独立地对同一目标射击，直到击中为止，以 X 表示命中时已射击的次数

7、，假设他共进行了 10 轮这样的射击，各轮射击的次数分别为1，2，3，4，4，5，3，3，2，3，试求此人命中率 p 的矩估计和最大似然估计考研数学（数学一）模拟试卷 416 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查求简单有理函数的高阶导数问题先将 f(x)化为两个部分最简分式之和，再利用 可得解：因 f(x)= ，而故 f (n)(x)= 于是 f(n)(3)= 注：对于求解选择题，本题司只求出 f(3)，冉令 n=1，看四个选项中哪个结果等于 f(3)即可2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查由已知抽象函数 f(

8、x)满足的极限等式条件，判定 f(x)在某点的极值、拐点问题，可用赋值法快速求得结果，也可用极限的保号性进行分析 解 1 赋值法因 x0 时，1-e -xx，故题设等式条件亦为 =-1取 f(x)=-x，则 f(x)= x2+C1，f(x)= x3+C1x+C2 令 C1=C2=0，则 f(x)= x3 满足题设条件，以此 f(x)考查四个选项，只有(C) 选项正确. 解 2 利用极限的保号性分析求解 由=-1 及 f(x)连续可知 f(0)=0；再由极限的保号性知，存在 x=0 的某邻域U(0，)，使得 0于是在 U(0，)内，当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x)0，即点(0，f

9、(0)是曲线 y=f(x)的拐点3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查二元函数在某点处偏导数的存在性问题由题目特点，要利用偏导数定义分析求解 解：因不存在，故 fx(0，0)不存在又 故 fy(0，0)存在4 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查傅里叶级数的狄利克雷收敛定理，只要能够根据题设条件判断出所得正弦级数是把 f(x)作奇延拓还是偶延拓以及相应的周期即可解：由题设条件可知，s(x)是周期为 2 的奇函数，故 又由狄利克雷收敛定理可知， 故5 【正确答案】 B【试题解析】 本题主要考查矩阵的初等变换及初等矩阵问题见到两个矩阵有等价关系，就要想到利用初等矩阵建立等量关系，这是分析

10、求解此类问题的一般方法然后再由 C*=C -1 可得 解：由题设条件有又 P-1 ，故有 C=PAP-1，进而有C*=CC -1=PAP -1(PAP -1)-1=PAP -1PA -1P-1=A PA -1P-1=P(AA -1)P-1=PA*P-1 注：本题也可直接求 C 的伴随矩阵，即 C*=(PAP-1)*，然后按伴随矩阵的运算性质求解6 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查方阵的相似对角化问题要先根据题设条件求出参数 a，b的值，进而求出 A 的全部特征值，看有无重根，再判定 解：设 =(1，1，-1) T 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，则有 A=，即 解得 =-1，a=2

11、，b=0，于是 A= ，显然 r(A)=3，且 A 的特征值为1=2=2， 3=-1矩阵 A 能否相似对角化取决于 1=2=2 是否有两个线性无关的特征向量由 r(1E-A)=r =1可知二重特征值 =2有两个线性无关的特征向量，故 A 可相似对角化7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查方差的运算性质，利用方差的相应运算性质处理题设等式条件可得解：由 D(X+Y)=D(X-Y)，得DX+DY+2cov(X，Y)=DX+DY-2cov(X，Y)，故 cov(X，Y)=0，即有E(XY)-EX.EY=0， 即 E(XY)=EX.EY8 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查统计量的分布问题见到

12、确定统计量分布问题，就要想到考查它的构成想 2 分布、t 分布以及 F 分布定义的典型模式 解：由题设条件与 2 分布、t 分布、F 分布的定义和性质可知 X2 2(1)， Y 2 2(1)， X2+Y2 2(2)； XY= (1)；X 2/Y2= F(1，1) 又由正态分布的性质知，X-yN(0 ，2)，故四个命题都正确 注：题中的 X 和 Y 相互独立的条件不可缺少二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 本题考查导数的几何意义及参数方程确定的函数的导数问题，由参数方程确定的函数的导数公式可得解：曲线上任意一点处的切线斜率为又直线 2x-y=0 的斜率为 2，故由题设可知于是点 M 的坐标

13、是(ln2， )10 【正确答案】 x 2=y2(Inx+1) 【试题解析】 本题考查求齐次方程的特解，利用齐次方程的求解方法解之即可 解：原方程可变形为 ，则方程化为 两边积分，得 =lnx+ln C =lnCx由y(1)=1 得 C=e，故有 =lnx+1，即 x2=y2(lnx+1) 11 【正确答案】 【试题解析】 曲线 x= 是双曲线 y2-x2=1 的第一象限部分由微元法，得所求体积为(以 y 为积分变量简单) V=注本题若以 x 为积分变量，则所求体积的积分表达式为 V=2 212 【正确答案】 【试题解析】 本题考查求两直线的夹角问题，只要求得这两条直线的方向向量即可 解：设

14、M 点对应的参数 t=t0，则点 M 处的切向量为 s=x(t 0)，y(t 0)，z(t 0)=-sin t0，cost 0，1又 z 轴的方向向量为 k=0，0，1，于是 故所求夹角为13 【正确答案】 (0，2，2) T【试题解析】 本题表面上是矩阵运算问题，但矩阵 A 未知，不能利用矩阵乘法求解，要利用特征值、特征向量计算本题的关键是要能够从所给向量1， 2，“看出”= 2-1! 解：由题设条件可知， A 1=-1， A 2=2， = 2-1， 故 A=A(2-1)=A2-A1=2+1=(0，2，2) T 注：若不能看出 =2-1，则要构造非齐次线性方程组 x11+x22=，求其解即可

15、若此方程组无解，则此题不可解14 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查求离散型随机变量 y 的方差，要先求出 Y 的分布律“三大纪律”：定取值、算概率、验证 1，其中“算概率”要用到全概公式 解：y 的所有可能取值为 1，2，3，4，5，且 PY=1=PX=1，Y=1+PX=2，Y=1+PX=5，Y=1 =0+PX=2PY=1X=2+PX=5PY=1X=5 =同理可得 PY=2=PY=3=PY=4=PY=5= 故随机变量Y 的分布律为 于是 EY= (1+2+3+4+5)=3， EY= (12+22+32+42+52)=11，DY=EY 2-(EY)2=11-9=2三、解答题解答应写出文字说

16、明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 得 D 内的驻点为 x=2，y=1 ，其函数值为 z (2,1)=4 在 D 的边界曲线 x 轴、y 轴上都有z=0 在 D 的边界曲线 z+y=6 上，因 y=6 x(0xb)，代入函数 x 中，得 z=x2(6-x).(-2)-2x3-12x2由 =6x2-24x=6x(x-4)=0 得驻点为 x1=0(舍)，x 2=4，此时 y2【试题解析】 本题考查求二元函数在区域 D 上的最值问题，先求区域 D 内的驻点，再求 D 的边界曲线 z 轴、Y 轴及直线 x+y=6 上的极值点，计算出这些点处的函数值，比较大小可得注：对于求多元函数在闭区域

17、D 上的最值问题，在求出驻点后一般不需判断驻点处是否取得极值，只需计算出这些点处的函数值，比较大小即可16 【正确答案】 曲面三的方程为 z= +1，即 z=x2+y2+1，为旋转抛物面【试题解析】 本题是空间解析几何、多元函数微分学的几何应用以及二重积分的简单应用问题先按写旋转曲面口诀绕“谁”转“谁”不变，另一变量用其余两个变量的平方和的平方根替换，写出旋转曲面的方程，然后求出上点 P 处的切平面方程，再由二重积分可得所求立体的体积17 【正确答案】 设 F(x，y，z)=x 2+y2+1-z，则 Fx(P)=0，F y(P)=0，F z(P)=-1，故曲面的 P 点处的切平面方程为 0(x

18、-0)+0(y-0)-1(z-1)=0，即 z=1于是所求立体体积为 V= 1-(x2+y2)dxdy= ，其中 Dxy=(x，y)x 2+y18 【正确答案】 令 u= 则同理可得，代入题设等式条件，得 即 考虑到 u=eu，可得 f(x)满足的二阶常系数非齐次线性微分方程为 f(u)-f(u)=eu，即 f(x)-f(x)=ex 对应的齐次方程的通解为 f(x)=C1ex+C2e-x 设原方程的特解为 y*【试题解析】 本题是多元抽象复合函数偏导数与微分方程的综合问题，首先求出，代入题设等式条件可建立所求函数 f(x)满足的微分方程，解之；再由极限等式条件挖掘出定解条件，最后可求得 f(x

19、)19 【正确答案】 因 f(x)=lnx-ln(1+x)，由 得故当 x(0，2时，有上式中令 x=2，得即有【试题解析】 本题主要考查求函数的幂级数展开式问题，利用间接法解之，即利用逐项求导、积分以及变量代换等恒等变形手段将函数 f(x)转化为展开式已知的函数上来，即可求得 f(x)的幂级数展开式 注：若不知 ln(1+x)的展开式，则司利用逐项求导、逐项积分等运算性质及(1+x) n 的展开式求得，再按上述方法求解20 【正确答案】 由积分曲面的方程可知，4(x 2+z)+y2=4，故I= xzdydz+2yzdzdx+xydxdy 补曲面：z=0(D xy：x 2+ 1)，取下侧，由高

20、斯公式得 I= xzdydz+2yzdzdx+xydxdy- xzdydz+2yzdzdx+xydxdy xzdydz+2yzdzdx+xydxdy)，其中 因垂直 yOz 面与 zOx 面，故*【试题解析】 本题考查第二类曲面积分的计算问题见到曲线、曲面积分的计算问题，就要想到利用积分曲线或积分曲面方程简化被积函数!此处先用积分曲面的方程简化被积函数的分母，再补一块曲面，利用高斯公式转化为三重积分计算另外要清楚是顶点在(0，0，1)，以 z 轴为对称轴的开口向下的椭圆抛物面21 【正确答案】 对矩阵( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，得可见 k=1 时， 1， 2均可由 1， 2 线性表

21、示，此时由 得 1=1-22， 2= 当 k=1 时，对矩阵( 1， 2，【试题解析】 本题考查两个向量组的等价性问题，即考查这两个向量组能否互相线性表示，为此构造非齐次线性方程组. x 11+x22=j(j=1，2)及x11+x22=i(i=1，2)， 分别对矩阵 (1， 2， 1， 2)与( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，只要 k 的取值使得上述方程组都有解即可22 【正确答案】 由 trA= ，得 a 口+b+2=4又由矩阵 A 有一个特征值为 2，知行列式2E-A =0 ，即 =2(2-a)-4(0-1)=0，得 a=0，从而 b=2【试题解析】 “本题考查矩阵的特征值、特征向量

22、及相似对角化问题首先由所给条件建立参数 a，b 满足的两个方程求出 a，b ，然后按矩阵对角化的程序化的方法步骤求解即可但此处用二次型处理较为简单 注：可逆矩阵 P 与对角矩阵的结果不唯一若用正交变换求 A2 的相似变换矩阵，其对角矩阵的主对角线上的元素应为 1，4，4，9，这种解法请读者练习23 【正确答案】 因 A 是实对称矩阵，故(AP) TAP=PTA2P，其中 A2=求可逆矩阵 P，使(AP) TAP 为对角矩阵，即相当于对 A2 作合同变换，使之对角化可求出 A2 的特征值、特征向量，再把 A2 的特征向量正交单位化后，以其为列组成的矩阵即为所求但这样做比较烦琐，故考虑借助二次型求

23、解 考虑二次型 xTA24 【正确答案】 (X，Y) 的概率密度 f(x，y)的非零区域如图所示由f(x， y)dxdy=1，得 k(x+y)dy=1，k=2【试题解析】 本题考查二维连续型随机变量的有关问题对于求概率密度中的常数 k，由概率密度的性质 f(x，y)dxdy=1 可得；对于求边缘概率密度问题 求关于“谁”的边缘概率密度，就把联合概率密度的非零区域向“谁”轴上投影，先定出所求边缘概率密度的非零区间，再穿线定上下限；对于求概率 PX+Y1，就想“基本法”与“化二维为一维法”，此处用“基本法”找交集、定类型、重转定；对于求函数 Z=Y-X 的概率密度问题，就用分布函数法，即先求出 Z

24、 的分布函数Fz(z)，再求导可得 z 的概率密度.25 【正确答案】 f x(x) fy(y)=26 【正确答案】 PX+Y1=27 【正确答案】 因 Fz(z)=PZz=PY-Xz= f(x，y)dxdy当 zz(z)=0； 当-1z0 时， F z(z)= 2(x+y)dy=(z+1)2； 当 z0 时， Fz(z)=1故 fz(z)=Fz(z)=28 【正确答案】 由题设条件可得 X 的分布律为 PX=k=(1-p) k-1p，k=1 ，2， 3， 求矩估计因 令 EX= =3，得 为 p的矩估计值 求最大似然估计似然函数 L(p)=PX1=1，X 2=2，X 3=3， ，X 10=3=p10(1-p)20，于是 In L(p)=10ln p+20ln(1-p【试题解析】 本题考查求离散型总体中参数的点估计问题首先要写出 X 的分布律，然后按矩估计“求两矩作方程，解方程得估计”；最大似然估计“造似然求导数，找驻点得估计”的方法步骤逐一求解即可注：上述求解过程中求数学期望 EX 时用到了幂级数的和函数，即由 ，x(-1，1)，得 ，z (-1，1)令 x=1-p，得