[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷275及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学一）模拟试卷 275 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在区间-1 ，1上连续，则 z=0 是函数 g(x)= 的( )（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点2 设函数 f(x)在 z=0 处连续，且 ，则( )（A）f(0)=0 且 f_(0)存在（B） f(0)=1 且 f_(0)存在（C） f(0)=0 且 f_(0)存在（D）f(0)=1 且 f_(0)存在3 设 ，其中 f(x)为连续函数，则 等于( )（A）a 2（B） a2f(A)（C） 0（D）不存在4 二元函数 f(x，y)=

2、 在点 (0，0) 处( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在5 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，其中 A*为 A 的伴随矩阵，A T 为 A 的转置矩阵若 a11， a12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 为( )6 设 a1，a 2，a s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有后k1a1+k2a2+ksas0，则 a1，a 2，a s 线性无关（B）若 a1，a 2，a 3 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，有 k1a

3、1+k2a2+ksas=0（C） a1，a 2，a s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D）a 1，a 2，a s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关7 已知 0P(B)1，且 P(A1+A2)B=P(A 1BO+P(A 2B)，则下列选项成立的是( )8 设随机变量(x，y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)fY(y)分别表示X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度 fXY (xy)为( )二、填空题9 已知两条直线的方程是 ，则过 L1而平行于 L2 的平面方程是_10 设 y(x)为微分方程 y-4y+4y=0 满足初始条

4、件 r(0)=0，r (0)=2 的特解，则 01y(x)dx=_11 函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数为_ 12 设 a0， f(x)=g(x)= ，而 D 表示整个平面，则 I=_13 设 A= ，而 n2 为正整数，则 An2An-1=_14 设随机变量 X 在区间-1，2上服从均匀分布，随机变量 Y= ，则方差 D(y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设函数 f(x)在(-，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线，起点为(a，b)，终点为(c，d)，记()证明曲线积分，与路径 L 无关；()当 ab=cd 时，求 I

5、 的值17 设 f(x)在0，1上连续，且 0f(x)1，试证在0，1内至少存在个 ，使 f()=18 求函数 y=(x-1)e/2 +arctanx 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线19 假设：(1)函数 y=f(x)(0x+) 满足条件 f(0)=0 和 0f(x)ex-1； (2)平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=ex-1 分别相交于点 P1 和 P2； (3)曲线 y=f(x)、直线MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度，求函数 y=f(x)的表达式20 已知三阶矩阵 B 为非零向量，且 B 的每一个列向量都是方程组()求

6、的值； ()证明B=021 设向量 a=(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件aT=0，记 n 阶矩阵 A=aT，求： ()A 2； ()矩阵 A 的特征值和特征向量22 考虑一元二次方程 x2+Bx+C=0，其中 B，C 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q23 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(x，y)：1x3，1y3上的均匀分布，试求随机变量 U= X-Y的概率密度 p(u)考研数学（数学一）模拟试卷 275 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求

7、。1 【正确答案】 B【试题解析】 即函数 g(x)在 x=0 处极限存在，则 x=0 是该函数的可去间断点，故应选(B) 2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查向量组线性相关和无关的定义根据定义，知(B)不正确，(A)正确，同时由向量组的秩的定义，知(C) 正确，由向量组在部分向量线性相关则必然整个向量组线性相关的结论，知(D)正确综上，选 (B)7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 P(A1+A2)B=P(A 1B 1)+P(A2B)知：又因为 P

8、(B)0，所以有 P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)故应选(B) 8 【正确答案】 A【试题解析】 因(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 Y 相互独立，从而 PX=x，Y=y=PX=xPY=y条件概率两边求导得 fXY (xy)=f(x)故应选 (A)二、填空题9 【正确答案】 x-3y+z+2=0【试题解析】 所求平面竹过直线 L1，因而过 L1 上的点(1，2，3)； 过 L1 平行于L2，于是 平行于不共线的向量 1=(1，0，-1)， 2=(2，1，1)(分别是直线 L1 与 L2的方向向量)于是平面 的方程 =0，即 x-3y+z+2=0

9、为所求10 【正确答案】 【试题解析】 y 4y+4y=0 的通解为 y=(C1+C2x)e2x， 由初始条件 y(0)=1，y (0)=2得 C1=1，C 2=0，则 y=e2x，11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 a 2【试题解析】 13 【正确答案】 0【试题解析】 由题设， 假设 An=2n-1(n2)，则 An+1=2AA n-1=2An， 所以由数学归纳法，知 An-2An-1=014 【正确答案】 8/9【试题解析】 已知 X 在区间-1，2上服从均匀分布，则 X 的概率密度为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案

10、】 () 将 I 表为 I=LPdx+Qdy，因上半平面 y0 是单连通区域，()由于 I 与路径无关，取特殊的一条积分路径：由(a， b)到(c，b)再到(c ，d)的折线段，得17 【正确答案】 (反证法)设 x0，1有 (x)=f(x)-x0， 所以 (x)=f(x)-x 恒大于 0或恒小于 0，不妨设 x0，1 ，(x)=f(x)-x 0， 于是 f(1)1+m1，矛盾，所以在0，1内至少存在一个毛，使 f()= 少存在一个 ，使 f()=18 【正确答案】 则单调递增区间为(-，-1)，(0，+)，单调递减区间为(-1，0)，极小值为 f(0)=-e/2，极大值为 f(-1)=-2e

11、/4而 y(x)在(-，+)上连续，因此无垂直渐近线 综上，曲线有两条斜渐近线：y=e(x-2)和 y=x-219 【正确答案】 由已知条件，有f(t)dt=e x-1-f(x)，方程两边对 x 求导得 f(x)=ex-f(x)，即 f(x)+f(x)=ex，令 x=0，由原方程得 f(0)=0，于是，原问题就转化为求微分方程 f(x)+f(x)=ex 满足初始条件 f(0)=0 的特解由一阶线性微分方程的通解公式，得【试题解析】 由题设条件列出关系式，转化为微分方程求解20 【正确答案】 () 因B0，故 B 中至少有一个非零列向量，依题意，所给齐次方程组非零解，故必有系数行列式A= ，由此

12、可得A=1( )因曰的每一列向量都是原方程的解，故 AB=0因 A0 则必有B =0 事实上，倘若不然，设B0，则 B 可逆，故由 AB=0 两边右乘 B-1，得 A=0，这与已知条件矛盾，可见必有 B=021 【正确答案】 () 由题设，a ， 都是非零向量，且 aT=0，则 Ta=0，则A2=(AT)(aT)=(Ta)aT=0，即 A2 为零矩阵 ()由特征值及特征向量的定义，设 为 A 的特征值，x 为其相应的特征向量，则 Ax=x，x0，由前述知 A2=0，从而0=AAx=Ax=2x，即 =0，所以 A 的所有特征值都为 0 又，不失一般性，可设 a10，b 10， 则由初等行变换可化

13、 A 为 ，由此 Ax=0 的基础解系为所以 A 的特征向量为 k11+k22+kn-1n-1，其中 k1，k 2，k n-1 是不全为 0 的任意常数22 【正确答案】 一枚骰子掷两次，其基本事件总数为 n=66=36，方程有实根的充分必要条件是 B24C，即 CB2/4；方程有重根的充分必要条件是 B2=4C，即G=B2/4，如表【试题解析】 B、C 是均可取值 1、2、3、4、5、 6 的随机变量，且任取一值的可能性均为 1/6，当 B24c，该方程有实根；当 B2=4C 时，该方程有重根所以问题的关键是判断 B24C 和 B2=4C 的基本事件数23 【正确答案】 由题设，X 和 Y 的联合分布是正方形 G 上的均匀分布，则(x，y)的联合概率密度为 f(x，y)= 设随机变量 U 的分布函数为 F(u)，则 F(u)=P(Uu)，当 u0 时，F(u)=0 ；当 u2 时，F(u)=1；当 0u2 时，如图所示 综上，随机变量 U=X-Y 的概率密度为 P(u)=