[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编18及答案与解析.doc
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1、考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“一 y=ex+1 的一个特解应具有形式 (式中 a,b 为常数)(A)ae x+b(B) axex+b(C) aex+bx(D)axe x+bx二、填空题2 微分方程 ydx+(x24x)dy=0 的通解为_3 微分方程 y“+y=一 2x 的通解为 _4 微分方程 y“+2y+5y=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 求微分方程 =0 的特解6 求微分方程 y“+ 2y+y=xex 的通解7 求微分方程 y+ 的通解8 设函
2、数 y=y(x)满足微分方程 y“一 3y+2y=2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2 一 x+l 在该点处的切线重合,求函数 y 的解析表达式9 求微分方程 xy+(1 一 x)y=e2x(0x+) 满足 y(1)=0 的解10 设 f(x)=smx 一 0x(x 一 t)f(t)dt,其中 f 为连续函数,求 f(x)11 求微分方程 xlnxdy+(y 一 lnx)dx=0 满足条件 y|x=c1=1 的特解12 求微分方程 y“+4y+ 4y=eax 之通解,其中 a 为实数13 求微分方程 xy+y=xex 满足 y(1)=1 的特解14 求微分方程 y“+y=x+co
3、sx 的通解15 求微分方程(y 一 x3)dx 一 2xdy=0 的通解16 求微分方程 y“一 3y+2y=xex 的通解17 求微分方程(x 21)dy+(2xy 一 cosx)dx=0 满足初始条件 y|x=0=1 的特解18 设二阶常系数线性微分方程 y“+y+y=ex 的一个特解为 y=e2x+(1+x)ex,试确定常数 、,并求该方程的通解19 求微分方程 y“+a2y=smx 的通解,其中常数 a020 设 y=ex 是微分方程 xy+ p(x)y=x 的一个解,求此微分方程满足条件 y|x=ln2=0 的特解21 求微分方程 y“+y=x2 的通解22 设 f(x)为连续函数
4、23 求微分方程(3x 2+ 2xy 一 y 2)dx+(x22xy)dy=0 的通解24 已知 y1=xex+ e2x,y 2=xex+e 一 x,y 3=xex+e2x 一 e 一 x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程25 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r(),M(r,) 为 L 上任一点,M 0(2,0)为 L 上一定点,若极径 OM0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0、M 两点间弧长值的一半,求曲线 L 的方程考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
5、 B【试题解析】 y“一 y=ex+1 的特解应为方程 y“一 y=ex 和 y“一 y=1 的特解之和,而特征方程为 r 2 一 1=0,解得 r=1 因此 y“一 y=ex 的特解应为 y1*=axex, y“ 一 y=1的特解应为 Y2*=b 则原方程特解应具有形式 y=axex+b二、填空题2 【正确答案】 (x 一 4)y4=Cx【试题解析】 该方程是一个变量可分离方程,即(x 一 4)y4=Cx3 【正确答案】 y=一 2x+C1cosx+C2sinx【试题解析】 特征方程为 r2+1=0,解得 r1=i,r 2=一 i 齐次通解为 =C1cosx+C2sinx 易观察出非齐次一个
6、特解为 y *=一 2x 则原方程通解为 y=C1cosx+C2sinx 一 2x4 【正确答案】 y=e 一 x(C1cos2x+ C2sin2x)【试题解析】 特征方程为 r 2+2r+5=0,r 1,2 =一 12i 故通解为 y=C 1e 一 xcos2x+C2e一 xsin2x三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 原方程改写为标准形式为 由一阶线性微分方程求解公式知故所求特解为6 【正确答案】 特征方程为 r 2+2r+1=0,r= 一 1 为二重根则齐次方程通解为=(C1+C2x)e 一 x设非齐次方程特解为 y*=(A0+A1x)ex,代入原方程得故
7、原方程通解为 y=(C 1+C2x)e 一 x+(x 一 1)ex.7 【正确答案】 由一阶线性方程求解公式知8 【正确答案】 特征方程 r 一 2r+2=0 解得 r1=1,r 2=2则齐次方程通解为 =C1ex+C2e2x 设非齐次方程特解为 y *=Axex,代入原方程得 A=一 2 故原方程通解为 y=C 1ex+C2e2x 一 2xex (*)又由题设 y=y(x)的图形在点(0,1)处切线与曲线 y=x2 一x+1 在该点的切线重合,由此可知 y(0)=1,y(0)=(2x 一 1)|x=0=一 1 利用此条件由(*)式可得 C 1=1,C 2=0 因此所求解为 y=(1 一 2x
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