[考研类试卷]考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷7及答案与解析.doc
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1、考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶实对称矩阵,下列结论不正确的是( )(A)矩阵 A 与单位矩阵 E 合同(B)矩阵 A 的特征值都是实数(C)存在可逆矩阵 P,使 PAP-1 为对角阵(D)存在正交阵 Q,使 QTAQ 为对角阵2 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似,则( )(A)A 的 n 个特征值都是单值(B) A 是可逆矩阵(C) A 存在 n 个线性无关的特征向量(D)A 一定为 n 阶实对称矩阵3 设 , 为四维非零列向量,且 ,令 A=T,则 A 的线性无关特征向量个数
2、为( )(A)1(B) 2(C) 3(D)44 设 A,B 为正定矩阵,C 是可逆矩阵,下列矩阵不是正定矩阵的是( ) (A)C TAC(B) A-1+B-1(C) A*+B*(D)A-B二、填空题5 设 AB,其中 A= ,则x=_, y=_6 设 A 是三阶实对称矩阵,其特征值为 1=3, 2=3=5,且 1=3 对应的线性无关的特征向量为 1= ,则 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为_7 设 , 为三维非零列向量,(,)=3,A= T,则 A 的特征值为_8 设 = 的特征向量,则 a=_,b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设矩阵 A= 有一个特征值为 3
3、9 求 y;10 求可逆矩阵 P,使得(AP) T(AP)为对角矩阵10 设 A 是三阶实对称矩阵,r(A)=1,A 2-3A=O,设(1,1,-1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量11 求 A 的特征值;12 求矩阵 A13 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=8, 2=3=2,矩阵 A 的属于特征值 1=8 的特征向量为 1= ,属于特征值 2=3=2 的特征向量为 2= ,求属于 2=3=2的另一个特征向量14 设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明:A 可对角化15 设非零 n 维列向量 , 正交且 A=T证明: A 不可以相似对角化15 设 A=
4、16 证明:A 可对角化;17 求 Am18 设 A= 有三个线性无关的特征向量,求 x,y 满足的条件19 设 A 为 n 阶非零矩阵,且存在自然数 k,使得 Ak=O证明:A 不可以对角化20 设 A 为三阶矩阵,A i=ii(i=1,2,3), 1= ,求A21 设 = 的逆矩阵 A-1 的特征向量求 x,y,并求 A-1 对应的特征值 22 设 A= 为 A*的特征向量,求 A*的特征值 及 a,b,c 和 A 对应的特征值 22 设 AB,A=23 求 a,b;24 求可逆矩阵 P,使得 P-1AP=B24 设 A= 且 AB25 求 a;26 求可逆矩阵 P,使得 P-1AP=B2
5、6 设 A= 有三个线性无关的特征向量27 求 a;28 求 A 的特征向量;29 求可逆矩阵 P,使得 P-1AP 为对角阵考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质,显然(B)、(C)、(D) 都是正确的,但实对称矩阵不一定是正定矩阵,所以 A 不一定与单位矩阵合同,选 (A)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量,A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而
6、非必要条件,同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件,A 可逆既非其可对角化的充分条件,也非其可对角化的必要条件,选(C)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 , 为非零向量,所以 A=TO,则 r(A)1, 又因为 r(A)=r(T)r()=1,所以 r(A)=1 令 AX=E,由 A2X=T.TX=O=2X 得 =0, 因为 r(OE-A)=r(A)=1,所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3,应选(C) 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵,因为 A,B 正定,所以 A-
7、1,B -1 及 A*,B *都是正定的,对任意 X0,X T(CTAC)X=(CX)TA(CX)0(因为 C可逆,所以当 X0 时,CX0),于是 CTAC 为正定矩阵,同样用定义法可证 A-1+B-1 与 A*+B*都是正定矩阵,选(D) 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题5 【正确答案】 3,1【试题解析】 因为 AB,所以 ,解得x=3,y=1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交,令 2=3=5 对应的特征向量为 =0 得 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为 2=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向
8、量7 【正确答案】 0 或者 3【试题解析】 因为 A2=3A,令 Ax=X,因为 A2X=X,所以有( 2-3)X=,而X0,故 A 的特征值为 0 或者 3,因为 1+2+2=tr(A)=(,),所以1=3, 2=3=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 2,3【试题解析】 由 A= 得 解得=5,a=2,b=3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 因为 3 为 A 的特征值,所以3E-A=0,解得 y=2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 (AP)
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