[考研类试卷]考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷6及答案与解析.doc
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1、考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(A)A,B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆(B) r(A) n,r(B) n 的充分必要条件是 r(AB) n(C) AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)(D)AB 的充分必要条件是 E-AE-B2 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 为 A 的特征值,则 A*的一个特征值为 ( )3 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1, 2=0, 3=1,则下列结论不正确的是 ( )(A)矩阵 A 不可
2、逆(B)矩阵 A 的迹为零(C)特征值-1,1 对应的特征向量正交(D)方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量4 设 A 为三阶矩阵,方程组 AX=0 的基础解系为 1, 2,又 =-2 为 A 的一个特征值,其对应的特征向量为 3,下列向量中是 A 的特征向量的是( )(A) 1+3(B) 33-1(C) 1+22+33(D)2 1-32二、填空题5 设 A 是三阶矩阵,其三个特征值为 ,则4A *+3E=_6 设 A 为 n 阶可逆矩阵,若 A 有特征值 0,则(A *)2+3A*+2E 有特征值_7 设 A 为三阶矩阵,A 的各行元素之和为 4,则 A 有特征值_,对应的特
3、征向量为_8 设 A 为三阶实对称矩阵,且 1= 为 A 的不同特征值对应的特征向量,则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求矩阵 A= 的特征值与特征向量9 设 A= 为 A 的特征向量10 求 a,b 及 A 的所有特征值与特征向量11 A 可否对角化? 若可对角化,求可逆矩阵 P,使得 P-1AP 为对角矩阵12 设 A= ,求 A 的特征值,并证明 A 不可以对角化13 设 A= ,B A *,求 B+2E 的特征值14 设 ATA=E,证明:A 的实特征值的绝对值为 114 设 0 为 A 的特征值15 证明:A T 与 A 特征值相等;16 求 A2,A
4、2+2A+3E 的特征值;17 若A0,求 A-1,A *,E-A -1 的特征值18 设 X1,X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1, 2 的特征向量证明:X 1+X2 不是A 的特征向量19 = ,求A 的全部特征值,并证明 A 可以对角化19 设向量 =(a1,a 2,a n)T,其中 a10,A= T20 求方程组 AX=0 的通解;21 求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量22 设 = ,A= T,求6E-A n23 设 A 为三阶矩阵,A 的特征值为 1=1, 2=2, 3=3,其对应的线性无关的特征向量分别为 1= ,求 An24 设 A 是 n 阶矩阵, 是 A
5、 的特征值,其对应的特征向量为 X,证明: 2 是 A2 的特征值,X 为特征向量若 A2 有特征值 ,其对应的特征向量为 X,X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由24 设 A,B 为 n 阶矩阵25 是否有 ABBA;26 若 A 有特征值 1,2,n,证明:ABBA26 设 为 n 维非零列向量,A=E-27 证明:A 可逆并求 A-1;28 证明: 为矩阵 A 的特征向量考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB,则存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP=B, 于是
6、 P-1(EA)P=E-P-1AP=E-B,即 E-AE-B; 反之,若 E-AEB,即存在可逆矩阵P,使得 P-1(E-A)P=E=B, 整理得 E-P-1AP=E-B,即 P-1AP=B,即 AB,应选(D)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆,所以 0,令 AX=E,则 A*AX=A*X,从而有 A*X=,选(B)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=-1, 2=0, 3=1 得A =0 ,则 r(A)3,即 A 不可逆,(A)正确;又 1+2+3=tr(A)=0,所以(B)正确;因为 A 的三个特征
7、值都为单值,所以 A的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等,即 r(A)=2,从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量,(D)是正确的;(C) 不对,因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交,一般矩阵不一定有此性质,选(C)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX=0 有非零解,所以 r(A)n,故 0 为矩阵 A 的特征值,1, 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量,显然特征值 0 为二重特征值,若1+2 为属于特征值 0 的特征向量,则有 A(1+3)=0(1+3),注意到 A(1+3)=01-23=-23,故-2 3=0
8、(1+3)或 01+(0+2)3=0,因为 1, 3 线性无关,所以有 0=0, 0+2=0,矛盾,故 1+3 不是特征向量,同理可证 33-1 及 1+22+33也不是特征向量,显然 21-32 为特征值 0 对应的特征向量,选(D)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题5 【正确答案】 10【试题解析】 A= ,4A *+3E 的特征值为5,1,2,于是4A *+3E=10【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 可逆,所以 00,A *对应的特征值为 ,于是(A *)2+3A*+2E 对应的特征值为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确
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