[考研类试卷]考研数学二(二重积分)模拟试卷11及答案与解析.doc
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1、考研数学二(二重积分)模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 D 是有界闭区域,下列命题中错误的是(A)若 f(x, y)在 D 连续,对 D 的任何子区域 D0 均有 f(x,y)d=0,则 f(x,y)0( (x,y) D)(B)若 f(x,y) 在 D 可积, f(x,y)0 但不恒等于 0(x,y)D) ,则 f(x,y)d0(C)若 f(x,y) 在 D 连续 f2(x,y)d=0 ,则 f(x,y)0(x,y)D) (D)若 f(x, y)在 D 连续,f(x ,y)0(x,y) D),则 f(x,y)d02 比较下列积分值
2、的大小:()l 1= ln3(x+y)dxdy,I 0= (x+y)3dxdy,I 3= sin(x+y)3dxdy,其中 D 由 x=0,y=0,x+y= ,x+y=1 围成,则 I1,I 2,I 3 之间的大小顺序为(A)I 1I 2 I3(B) I3I 2I 1(C) I1I 3I 2(D)I 3I 1 I23 比较下列积分值的大小:J i= e-(x2+y2)dxdy,i=1, 2,3,其中D1=x,y) x2+y2R2,D 2=(x,y)x 2+y22R2,D3=(x,y) xR ,yR则 J1,J 2,J 3 之间的大小顺序为(A)J 1J 2J 3(B) J2J 3J 1(C)
3、J1J 3J 2(D)J 3J 2J 1二、填空题4 设 D 是 OXy 平面上以 A(1,1),B(-1 ,1)和 C(-1,-1) 为顶点的三角形区域,则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 将 f(x,y)dxdy 化为累次积分,其中 D 为 x2+y22ax 与 x2+y22ay 的公共部分(a 0)6 设 D 是由曲线 (a0,b0) 与 x 轴,y 轴围成的区域,求I= ydxdy7 在极坐标变换下将 f(x,y)d 化为累次积分,其中 D 为:x 2+y22ax 与 x2+y22ay的公共部分(a0)8 计算二重积分 ,其中 D 由 y=x 与 y=x4 围成
4、9 求 I= ,其中 D 为 y= ,y=x 及 x=0 所围成区域10 求 I= ,其中 D 是由抛物线 y2=x,直线 x=0,y=1 所围成11 求 I= x1+yf(x2+y2)dxdy,D 由 y=x3,y=1 ,x=-1 围成,f 是连续函数12 求 I= 其中 D:x1 ,0y2 13 设 D 由抛物线 y=x2,y=4x 2 及直线 y=1 所围成用先 x 后 y 的顺序,将 I=化成累次积分14 求 I= ,D 由曲线 x2+y2=2x+2y-1 所围成15 交换累次积分的积分顺序:I= 01dx f(x,y)dy+ 14dx f(x,y)dy16 将极坐标变换后的二重积分
5、f(rcos,rsin)rdrd 的如下累次积分交换积分顺序:其中 F(r,)=f(rcos,rsin)r17 计算累次积分:I= 01dx1x+1ydy+12dxxx+1ydy+23dxx3ydy18 将 d0sinf(rcos,rsin)rdr 写成直角坐标系下先对 y 后对 x 积分的累次积分19 计算 e-y2dy0ye-x2dx+ e-x2dx20 计算 ,其中 D 是由圆心在点 (a,a)、半径为 a 且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域21 计算二重积分: x+y-2dxdy,其中 D:0x2,-2y222 计算下列二重积分:() xyd,其中 D 是由曲线 r=
6、sin2(0 )围成的区域;() xyd,其中 D 是由曲线 y= ,x 2+(y-1)2=1 与 y 轴围成的在右上方的部分23 求下列二重积分:()I= ,其中 D 为正方形域:0x1,0y1;( )I= 3x+4y dxdy,其中 D:x 2+y21;()I= ydxdy,其中D 由直线 z=-2,y=0 ,y=2 及曲线 x= 所围成24 设函数 f(x)在区间a,b上连续,且恒大于零,证明: abf(a)dxab (b-a)225 ()记 (R)=(x,y)x 2+y2R2,I(R)= e-(x2+y2)dxdy,求 I(R);()证明: -+e-x2dx=考研数学二(二重积分)模拟
7、试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 直接指出其中某命题不正确因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值,因此命题(B)不正确设(x 0,y 0)是 D 中某点,令f(x,y)= 则在区域 D 上 2f(x,y)0 且不恒等于 0,但 f(x,y)d=0因此选 (B)或直接证明其中三个是正确的命题(A)是正确的用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证若 f(x,y)在 D不恒为零 (x0,y 0)D, f(x0,y 0)0,不妨设 f(x0,y 0)0,由连续性 有界闭区域 D0 D,且当
8、(x,y) D0 时 f(x,y)0 f(x,y)d 0,与已知条件矛盾因此,f(x,y)0 ( (x,y)D) 命题(D) 是正确的利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证这是因为 f(x,y) =f(x0,y 0)0,其中(x 0,y 0)是 D 中某点于是由二重积分的不等式性质得 f(x,y)df(x 0,y 0)0,其中 是 D 的面积命题(C)是正确的若f(x,y) 在(x,y)D 上 f2(x,y)0 且不恒等于 0由假设 f2(x,y)在 D 连续f2(x,y)d0 与已知条件矛盾于是 f(x,y)0 在 D 上成立因此选 B【知识模块】 二重积分2 【正确答
9、案】 C【试题解析】 在区域 D 上, x+y1当 t1 时,lntsintt,从而有(x,y)D时,ln 3(x+y) sin3(x+y) (x+y)3,则 ln3(x+y)d sin3(x+y)d (x+y)3d因此选 C【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 C【试题解析】 D 1,D 2 是以原点为圆心,半径分别为 R, 的圆,D3 是正方形,显然有 D1 D3 D2因此 C 成立【知识模块】 二重积分二、填空题4 【正确答案】 8【试题解析】 连 将区域 D 分成 D1(三角形 OAB),D 2(三角形 DBC)两个部分(见图 82) ,它们分别关于 y 轴与 x 轴对称由于 对 x
10、 与 y均为奇函数,因此又由于D 的面积= .2.2=2,所以 4dxdy=4.2=8于是 I=0+8=8【知识模块】 二重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 如图 85,x 2+y2=2ax 与 x2+y2=2ay 是两个圆,其交点为 O(0,0),P(a,a)因此,若先对 y 积分,就有若先对 x 求积分,则【知识模块】 二重积分6 【正确答案】 先对 y 积分 令 ,则x=a(1-t)2,dx=2a(t-1)dt于是 I= 04t4(1-t)2adt= .【知识模块】 二重积分7 【正确答案】 由于两个圆在极坐标下的表达式分别为:r=2acos 与 r
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