[考研类试卷]考研数学二(二次型)模拟试卷8及答案与解析.doc
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1、考研数学二(二次型)模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(x1,x 2,x 3)=x12+5x22+x32 一 4x1x2+2x2x3 的标准形可以是( )(A)y 12+4y22。(B) y12 一 6y22+2y22。(C) y12 一 y22。(D)y 12+4y22+y32。2 二次型 f(x1,x 2,x 3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2 一 5(x2+x3)2 的规范形为( )(A)y 12+y22+4y32。(B) y22 一 y32。(C) y12 一 y22 一 y32。(D)y 12 一 y
2、22+y32。3 二次型 f(x1,x 2,x 3)=x12+4x22+4x32 一 4x1x2+4x1x38x2x3 的规范形为( )(A)f=z 12+z22+z32。(B) f=z12 一 z22。(C) f=z12+z22 一 z32。(D)f=z 12。4 下列矩阵中 A 与 B 合同的是( )(A)(B)(C)(D)5 设 A 是 n 阶实对称矩阵,将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B,再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到 C,则 A 与 C( )(A)等价但不相似。(B)合同但不相似。(C)相似但不合同。(D)等价,合同且相似。6 设 A,B 均为 n 阶实对称矩阵
3、,若 A 与 B 合同,则( )(A)A 与 B 有相同的秩。(B) A 与 B 有相同的特征值。(C) A 与 B 有相同的特征向量。(D)A 与 B 有相同的行列式。7 下列矩阵中,正定矩阵是( )(A)(B)(C)(D)8 下列二次型中是正定二次型的是( )(A)f 1=(x1 一 x2)2+(x2 一 x3)2+(x3 一 x1)2。(B) f2=(x1+x2)2+(x2 一 x3)2+(x3+x1)2。(C) f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3 一 x4)2+(x4 一 x1)2。(D)f 4=(x2+x2)2+(x2+x3)2+(x2+x4)2+(x4 一 x1)2。
4、9 关于二次型 f(x1,x 2,x 3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3,下列说法正确的是( )(A)是正定的。(B)其矩阵可逆。(C)其秩为 1。(D)其秩为 2。10 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )(A)二次型 xTAx 的负惯性指数为零。(B)存在可逆矩阵 P 使 P 一 1AP=E。(C)存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 一 1C。(D)A 的伴随矩阵 A*与 E 合同。二、填空题11 二次型 f(x1,x 2,x 3)=(a1x1+a2x2+ax3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)的矩阵为_。12 设 则二次型的对应矩阵是_。13
5、二次型 f(x1,x 2,x 3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x34x1x3 的规范形是_。14 已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=xTAx 通过合同变换 x=Py 化为 f=yTBy,其中 则 a=_。15 实对阵矩阵 A 与矩阵 合同,则二次型 xTAx 的规范形为_。16 二次型 f(x1,x 2,x 3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同规范形为_。17 设 f=x12+x22+5x32+2a1x22x1x3+4x2x3 为正定二次型,则未知系数 a 的范围是_。18 设 A 是三阶实对称矩阵,满足 A2=2A2+5A 一 6E,
6、且 kE+A 是正定阵,则 k 的取值范围是_。19 设 =(1, 0,1) T,A= T,若 B=(kE+A)*是正定矩阵,则 k 的取值范围是_。20 设 A 是 mn 矩阵,E 是 n 阶单位阵,矩阵 B=一 aE+ATA 是正定阵,则 a 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 二次型 f(x1,x 2,x 3)=5x12+5x22+cx32 一 2x1x2+6x1x36x2x3 的秩为 2。求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值;22 设二次型 f=x12+x22+x32 一 4x1x24x1x3+2a2x3,经正交变换化为 3y12+3y22+by3
7、2,求 a,b 的值及所用正交变换。22 已知二次型 f(x1,x 2,x 3)=(1 一 a)x12+(1 一 a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 2。23 求 a 的值;24 求正交变换 x=Qy,把 f(x1,x 2,x 3)化为标准形;25 求方程 f(x1,x 2,x 3)=0 的解。考研数学二(二次型)模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 用配方法,有 f=x12 一 4x1x2+4x1+x22+2x2x3+x32=(x1 一 2x2)2+(x2+x3)2,可见二次型的正惯性指数 p=
8、2,负惯性指数 q=0。所以选 A。【知识模块】 二次型2 【正确答案】 B【试题解析】 将二次型中的括号展开,并合并同类项可得 f(x1,x 2,x 3)=5x12+5x22一 4x32+14x1x2+4x1x34x2x3,则该二次型矩阵为 ,由可知,矩阵 A 的特征根为 12,一 6,0。因此该二次型的正惯性指数 p=1,负惯性指数 q=1。所以选 B。【知识模块】 二次型3 【正确答案】 D【试题解析】 利用配方法将该二次型化为标准形 f(x1,x 2,x 3)=(x1 一 2x2+2x3)2,则该二次型的规范形为 f=z12。故选 D。【知识模块】 二次型4 【正确答案】 C【试题解析
9、】 合同的定义:C TAC=B,矩阵 C 可逆。合同的必要条件是: r(A)=r(B)且行列式A 与 B同号。A 选项的矩阵秩不相等。B 选项中行列式正、负号不同,故排除。C 选项中矩阵 A 的特征值为 1,2,0,而矩阵 B 的特征值为1,3,0,所以二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的正、负惯性指数,因此 A 和 B 合同。而 D 选项中,A 的特征值为 1,2,B 的特征值为一 1,一 2,一 2,因此 xTAx与 xTBx 正、负惯性指数不同,故不合同。所以选 C。【知识模块】 二次型5 【正确答案】 D【试题解析】 对矩阵作初等行、列变换,用左、右乘初等矩阵表示,由题设 AEij
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