2018年湖南省高中数学联赛A及参考答案.pdf

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1、第 1 页 共 7 页2018 年 湖 南 省 高 中 数 学 联 赛 （ A） 卷 试 题参 考 答 案 与 评 分 细 则一 、 填 空 题 (本 题 满 分 70 分 ， 每 小 题 7 分 )1.已 知 , 321 aaaBA ， 当 BA 时 ， ),( BA 与 ),( AB 视 为 不 同 的 对 ， 则 这 样 的 ),( BA对 的 个 数 有 _个 解 :由 集 合 BA, 都 是 BA 的 子 集 ， BA 且 , 321 aaaBA 当 A 时 ， B有 1种 取 法 ；当 A为 一 元 集 时 ， B有 2种 取 法 ；当 A为 二 元 集 时 ， B有 4种 取 法

2、 ；当 A为 三 元 集 时 ， B有 7种 取 法 故 不 同 的 ),( BA 对 有 26743231 (个 )2.若 不 等 式 32x ax 的 解 集 是 (4， b)， 则 实 数 a= ， b= 解 ： 方 法 一 ： 设 2,则 ,且 (2, )x t x t t b ， 则 不 等 式 2 3 02at t 的 解 集 为2, )b（ ，所 以 2， b 是 方 程 2 3 02at t 的 两 根 ， 即 12 ,32 ,2b ab a 解 得 18a ， b=36方 法 二 ： 设 1 2 3, 2y x y ax ， 由 不 等 式 32x ax 的 解 集 是 (4

3、， b)， 可 得 两 函 数1 2 3, 2y x y ax 在 同 一 坐 标 系 中 的 图 象 设 两 函 数 图 象 的 交 点 为 A， B， 则 (4,2), ( , )A B b b ， 所 以 32 4 2a ， 32b ab 解 得 18a ， b=363.从 -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4八 个 数 字 中 ， 任 取 三 个 不 同 的 数 字 作 为 二 次 函 数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的 系 数 ， 若 二 次 函 数 的 图 象 过 原 点 ， 且 其 顶 点 在 第 一 象 限 或 第 三 象 限 ， 这 样 的 二 次 函 数

4、 有_个 ?解 ： 可 将 二 次 函 数 分 为 两 大 类 ： 一 类 顶 点 在 第 一 象 限 ； 另 一 类 顶 点 在 第 三 象 限 ， 然 后 由 顶 点坐 标 的 符 号 分 别 考 查 图 象 过 坐 标 原 点 ，第 2 页 共 7 页 c=0 二 次 函 数 可 写 成 f(x)=ax2 +bx的 形 式 又 f(x)=a(x+ ab2 )2 - ab42 ， 其 顶 点 坐 标 是 (- ab2 ， ab42 )若 顶 点 在 第 一 象 限 ， 则 有 - ab2 0， - ab42 0 故 a0因 此 ， 这 样 的 二 次 函 数 有 A13A14 =12个 若

5、 顶 点 在 第 三 象 限 ， 则 有 - ab2 0,b0 这 样 的 二 次 函 数 有 A24 =12个 由 加 法 原 理 知 ， 满 足 条 件 的 二 次 函 数 共 有 A13A14 +A24 =24个 4.已 知 n为 正 整 数 ， 若 166 10322 nn nn 是 一 个 既 约 分 数 ， 那 么 这 个 分 数 的 值 等 于 解 ： )2)(8( )2)(5(166 10322 nn nnnn nn ， 而 当 n-2=1时 ， 若 (n+8， n+5)=(n+5， 3)=1，则 166 10322 nn nn 是 一 个 既 约 分 数 ， 故 当 n=3时

6、 ， 该 分 数 是 既 约 分 数 这 个 分 数 为 118 5.函 数 2,0|,sin|2sin)( xxxxf 的 图 象 与 直 线 ky 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 交 点 ，则 k的 取 值 范 围 是 _解 3sin , 0, ( ) sin , ( ,2 x xf x x x ， 作 出 其 图 像 ， 可 知 有 两 个 交 点 时 的 k的 范 围 为 31 k 6.设 实 数 a， b 满 足 不 等 式 |)(| baabaa ， 则 a， b 的 正 、 负 符 号 分 别 为_.解 ： 由 已 知 得 22 |)|()(| baabaa ).(|.)(|

7、2)().(|2 2222 baabaababaaababaaa ，由 于 xx | ， 因 此 立 得 ).(|).(0 baabaaa ，约 去 -a得 baba | 00 abba ， a为 负 数 且 b为 正 数 第 3 页 共 7 页7.正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， E为 AB中 点 ， F为 CC1中 点 ， 异 面 直 线 EF与 AC1所 成 角 的余 弦 值 是 _.解 ： 设 正 方 体 棱 长 为 1， 以 DA为 x轴 ， DC为 y轴 ， DD1为 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则E(1， 12， 0)， F(0， 1， 12） ，

8、A(1， 0， 1)， C1(0， 1， 1)EF (-1， 12， 12)， AC1 (-1， 1， 1)， cos 11| | |EF ACEF AC 2 23 8.四 次 多 项 式 4 3 218 200 1984x x kx x 的 四 个 零 点 中 有 两 个 零 点 的 积 为 -32， 则 实 数k= 解 :设 多 项 式 4 3 218 200 1984x x kx x 的 四 个 根 为 1 2 3 4, , , .x x x x 则 由 韦 达 定 理 ， 得1 2 3 41 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 41 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 41 2

9、 3 4 18, ,200, 1984. x x x xxx xx xx x x x x x x kxx x xx x xx x x x xxx x x 设 1 2 3 432, 62,xx x x 则 故 1 2 3 462( ) 32( ) 200.x x x x 又 1 21 2 3 4 3 4 4,18, 14.x xx x x x x x 故 1 2 3 4 1 2 3 4( )( ) 86.k xx x x x x x x 9.(|x| |1x 2)3的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 解 ： .)|1|()2|1|(| 63 xxxx .20)|1()|()1( 333634

10、 xxCT10.在 半 径 为 R的 球 内 作 内 接 圆 柱 ， 则 内 接 圆 柱 全 面 积 的 最 大 值 是 解 ： 设 内 接 圆 柱 底 面 半 径 为 Rsin， 则 高 为 2Rcos， 则 全 面 积 为2 2 22 2 22 ( sin ) 2 sin 2 cos 2 (sin sin2 )(1 cos2 2sin2 ) (1 5sin(2 ) (1 5)R R R RR R R 其 中 1tan 2 ， 等 号 成 立 的 条 件 是 2 2 ， 故 最 大 值 为 2(1 5)R .第 4 页 共 7 页二 、 解 答 题 (本 题 满 分 80 分 ， 每 小 题

11、 20 分 )11.已 知 抛 物 线 C1的 顶 点 ( 2-1， 1)， 焦 点 ( 2-34， 1)， 另 一 抛 物 线 C2的 方 程 y2-ay+x+2b 0，C1与 C2在 一 个 交 点 处 它 们 的 切 线 互 相 垂 直 ， 试 证 C2必 过 定 点 ， 并 求 该 点 的 坐 标 解 :C1的 p 12， 方 程 (y-1)2 x-( 2-1)， 即 y2-2y-x+ 2 0设 交 点 为 (x0， y0)， 则 C1的 切 线 方 程 为 y0y-(y+y0)-12(x+x0)+ 2 0.，即 2(y0-1)y-x-2y0-x0+2 2 0同 理 可 得 ， C2的

12、 切 线 方 程 为 y0y-12a(y0+y)+12(x+x0)+2b 0，即 (2y0-a)y+x-ay0+x0+4b 0 .5分由 题 意 知 二 者 垂 直 ， 从 而 可 得 1(-1)+2(y0-1)(2y0-a) 0，整 理 得 4y02-2(a+2)y0+2a-1 0 由 y02-2y0-x0+ 2 0和 y02-ay0+x0+2b 0， 相 加 得 ：2y02-(a+2)y0+2b+ 2 0， - 2得 ： 2a-1-4b-2 2 0，可 得 4b 2a-1-2 2 .10分代 入 C2方 程 整 理 即 可 得 ： 2y2-2ay+2x+2a-1-2 2 0，即 2y2+2

13、x-2 2-1-2a(y-1) 0， .15分取 方 程 组 01 012222 2y xy ，解 得 ( 2-12， 1)即 对 任 何 满 足 的 a、 b， 点 ( 2-12， 1)在 曲 线 C2上 ， 即 C2过 定 点 ， 该 定 点 的 坐 标 为 ( 2-12,1).20分12.如 图 ， 在 凸 四 边 形 ABCD中 ， M为 边 AB的 中 点 ， 且 MC=MD.分 别 过 点 C、 D作 边 BC、AD的 垂 线 ， 设 两 条 垂 线 的 交 点 为 P.过 点 P作 PQ AB于 Q.求 证 : PQC= PQD.证 明 ： 如 图 ， 联 结 PA、 PB， 分

14、 别 取 PA、 PB的 中 点 E、 F，联 结 EM、 ED、 FM、 FC.则 四 边 形 PEMF为 平 行 四 边 形 5分从 而 ， PEM= PFM.由 ME=21BP=CF,MF=21AP=DE,MD=MC所 以 ， DEM MFC10分即 ， DEM= MFC.所 以 ， PED= DEM- PEM= MFC- PFM= PFC.又 ， PED=2 PAD, PFC=2 PBC,得 PAD= PBC.由 于 PQA= PDA=90o, PQB= PCB=90o,则 P、 Q、 A、 D和 P、 Q、 B、 C分 别 四 点 共 圆 15分故 PQD= PAD， PQC= PB

15、C,第 5 页 共 7 页所 以 ， PQC= PQD20分13.已 知 二 次 函 数 f(x)=x2-16x+p+3(1)若 函 数 在 区 间 -1， 1上 存 在 零 点 ， 求 实 数 p的 取 值 范 围 ；(2)问 是 否 存 在 常 数 q(q0)， 当 x q， 10时 ， f(x)的 值 域 为 区 间 D， 且 D的 长 度 为 12-q (注 ：区 间 a， b(ab)的 长 度 为 b-a)解 ： (1) 二 次 函 数 f(x)=x2-16x+p+3的 对 称 轴 是 x=8， 函 数 f(x)在 区 间 -1， 1上 单 调 递 减 ，则 函 数 f(x)在 区

16、间 -1， 1上 存 在 零 点 须 满 足 f(-1)f(1)0即 (1+16+p+3)(1-16+p+3)0， 解 得 -20p12 .5分(2)假 设 存 在 常 数 q(q0)满 足 题 意 ， 分 三 种 情 况 求 解 ： 当 88 10 80q qq 时 ， 即 0q6时 ，当 x=8时 ， 取 到 最 小 值 f(8)； 当 x=q时 ， 取 到 最 大 值 f(q)， f(x)的 值 域 为 ： f(8)， f(q)， 即 p-61， q2-16q+p+3 区 间 长 度 为 q2-16q+p+3-(p-61)=q2-16q+64=12-q2 15 17 15 17 15 1

17、715 52 0 2 2 2q q q q q ， ， 经 检 验 不 合 题 意 ， 舍 去 ， 故 .10分 当 88 10 80q qq 时 ， 即 6q8时 ，当 x=8时 ， 取 到 最 小 值 f(8)； 当 x=10时 ， 取 到 最 大 值 f(10)， f(x)的 值 域 为 ： f(8)， f(10)， 即 p-61， p-57 区 间 长 度 为 p-57-(p-61)=4=12-q， q=8 经 检 验 q=8不 合 题 意 ， 舍 去 .15分 当 q8时 ， 函 数 f(x)在 q， 10上 单 调 递 增 ， f(x)的 值 域 为 ： f(q)， f(10)，

18、即 q2-16q+p+3， p-57 区 间 长 度 为 p-57-(q2-16q+p+3)=-q2-16q-60=12-q， q2-17q+72=0， q=8或 q=9 经 检 验 q=8或 q=9满 足 题 意 综 上 知 ， 存 在 常 数 q=8或 q=9， 15 172q 当 x q， 10时 ， f(x)的 值 域 为 区 间 D， 且 D的 长 度 为 12-q.20分14.已 知 数 列 an的 奇 数 项 是 首 项 为 1的 等 差 数 列 ， 偶 数 项 是 首 项 为 2的 等 比 数 列 数 列 an前 n项 和 为 Sn， 且 满 足 S5=2a4+a5， a9=a

19、3+a4(1)求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(2)若 amam+1=am+2， 求 正 整 数 m的 值 ；第 6 页 共 7 页(3)是 否 存 在 正 整 数 m， 使 得 22 1mmSS 恰 好 为 数 列 an中 的 一 项 ？ 若 存 在 ， 求 出 所 有 满 足 条 件 的m值 ， 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 解 ： (1)设 等 差 数 列 的 公 差 为 d， 等 比 数 列 的 公 比 为 q，则 a1=1， a2=2， a3=1+d， a4=2q， a9=1+4d S5=2a4+a5， a1+a2+a3=a4， 即 4d=2q， 又 a9=a3+a4 1

20、+4d=1+d+2q 解 得 ： d=2， q=3 对 于 k N*， 有 a2k1 1+(k1)2 2k1， a2k 23k1故 12 2 1 *2 3 2nn n n ka k Nn k ， = ；， = .5分(2)若 am=2k， 则 由 amam+1=am+2， 得23k-1(2k+1)=23k， 解 得 ： k=1， 则 m=2；若 am=2k-1， 则 由 (2k-1)23k-1=2k+1，此 时 左 边 为 偶 数 ， 右 边 为 奇 数 ， 不 成 立 故 满 足 条 件 的 正 数 为 2； .10分(3)对 于 k N*， 有 22 2 1 2 12 1 2 2 22 1

21、 *22 122 1(1 2 1) 2(1 3 ) 1 32 1 31 3 2 3 1 311 31 3 k kk k k kk k k m nm mmmmk kS kS S a k kSm aS S L L NSm Lm 假 设 存 在 正 整 数 ， 使 得 恰 好 为 数 列 中 的 一 项 ，又 由 （ ） 知 ， 数 列 中 的 每 一 项 都 为 正 数 ， 故 可 设 （ ） ，则 ， 变 形 得 到(3-L)3m-1=(L-1)(m2-1) .15分 m1， L1， 3m-1 0， L3 又 L N*， 故 L可 能 取 1， 2， 3当 L=1时 ， (3-L)3m-1 0，

22、 (L-1)(m2-1)=0， 不 成 立 ；当 L=2时 ， (3-2)3m-1=(2-1)(m2-1)， 即 3m-1=m2-1若 m=1， 3m-1m2-1，2 1 22 2 2 21 1 21( * 2)3 1 72( )( 1) 1 1 2 2 3 2 2 2 32 2 03 3 3 3 3m mm m m m m mmT m N m mm m m m mT T 令 ， ，则 = = 因 此 ， 1=T2 T3 ， 故 只 有 T2=1， 此 时 m=2， L=2=a2当 L=3时 ， (3-3)3m-1=(3-1)(m2-1) m=1， L=3=a3第 7 页 共 7 页综 上 ， 存 在 正 整 数 m=1， 使 得 21SS 恰 好 为 数 列 an中 的 第 三 项 ，存 在 正 整 数 m=2， 使 得 43SS 恰 好 为 数 列 an中 的 第 二 项 .20分