2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷).pdf

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1、2018 年 全国 高中 数学 联 合竞 赛一 试（A 卷） 参 考答 案及 评分 标准 说 明： 1. 评阅 试卷 时， 请 依据 本评 分标准. 填 空题只 设 8 分和 0 分 两档； 其 他各 题的 评 阅， 请严格 按照 本评分 标准 的评分 档次 给分， 不得 增加其 他中 间档次. 2. 如果 考生 的解答 方法 和本 解答不 同，只要思 路合 理、步骤正 确， 在 评卷 时可 参 考本 评分标 准适 当划分 档次 评分， 解 答题 中第 9 小题 4 分为 一个 档次， 第 10 、 11 小题 5 分为 一个 档次， 不得 增加其 他中 间档次 一、填空题：本大题共 8 小题

2、，每小题 8 分，满分 64 分 1. 设集合 1 ,2 ,3 , ,9 9 , 2 , 2 A B x xAC x xA ， 则 BC 的元 素个数为 答案： 24 解：由 条件知， 1 3 99 2, 4, 6, , 198 , 1, , 2, , 2, 4, 6, , 48 22 2 BC ， 故 BC 的元素个数为 24 2. 设 点 P 到平面 的距离 为 3 ， 点 Q 在平面 上 ，使得直线 PQ 与 所成 角不小于30 且不大于 60 ， 则 这样的点 Q 所构成的区域的面积为 答案：8 解 ： 设点 P 在平面 上的射影为 O 由条件知， 3 tan , 3 3 OP OQP

3、 OQ ， 即 1, 3 OQ ，故所求的区域面积为 22 3 18 3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 , , abcde f ， 则 abc def + 是 偶 数的 概率为 答案： 9 10 解 ： 先考虑 abc def + 为奇数的情况，此 时 , abc def 一奇一偶， 若 abc 为奇数， 则 , abc 为1, 3, 5 的排列， 进而 , def 为 2, 4, 6 的排列， 这样有 3! 3! 36 = 种情况， 由对称性可知， 使 abc def + 为奇数的情况数为 36 2 72 = 种 从而 abc def + 为偶 数的概率为 72

4、72 9 11 6! 720 10 = = 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 22 22 : 1( 0) xy C ab ab 的左、右焦点 分别是 1 F 、 2 F ，椭 圆 C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴， 且相交于点 P 已 知线段 , , PU PS PV PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则 12 PF F 的面积为 答案： 15 解 ：由对称性，不妨设 (, ) PP Px y 在第一象限，则由条件知 11 2, 1 22 PP x PT PS y PV PU ， 1 即 (2, 1) P 进而由 1, 2 P x PU PS 得 (2, 2)

5、, (4, 1) US ，代入椭圆C 的方程知 2 2 22 1 1 11 4 4 16 1 a b ab ，解得 22 20, 5 ab 从而 12 22 12 1 15 2 PF F P P S FF y a b y 5. 设 () fx 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间0, 1 上严格递减， 且满足 ( ) 1, (2 ) 2 ff ，则不等式组 1 2, 1 () 2 x fx 的解集为 答案： 2, 8 2 解 ：由 () fx 为偶函数及在0, 1 上严格递减知， () fx 在 1, 0 上严格递增， 再结合 () fx 以 2 为周期可知，1, 2 是 () f

6、x 的严格递增区间 注意到 ( 2 ) () 1 , ( 8 2) ( 2) ( 2) 2 f ff f f ， 所以 1 () 2 ( 2 ) () ( 8 2) fx f fx f ， 而1 282 2 ，故原不等式组成立当且仅当 2, 8 2 x 6. 设复数 z 满足 1 z ， 使得关于 x 的方程 2 2 20 zx zx 有实根， 则这样 的复数 z 的和为 答案： 3 2 解 ：设 22 i ( , , 1) R z a b ab a b 将原方程改为 2 ( i) 2( i) 2 0 a bx a bx ，分离实部与虚部后等价于 2 2 20 ax ax ， 2 20 bx

7、bx 若 0 b ， 则 2 1 a ，但 当 1 a 时， 无实数解，从 而 1 a ， 此时存在实 数 13 x 满足、，故 1 z 满足条件 若 0 b ，则由 知 0, 2 x ，但显然 0 x 不满足 ， 故只 能是 2 x ， 代 入解得 1 4 a ，进而 15 4 b ，相应有 1 15 i 4 z 综上，满足条件的所有复数 z 之和为 1 15 i 1 15 i 3 1 4 42 7. 设O 为 ABC 的外心， 若 2 AO AB AC ， 则sin BAC 的值为 答案： 10 4 解 ：不失一般性，设 ABC 的外接圆半径 2 R 由条件知， 2AC AO AB BO

8、， 故 1 1 2 AC BO 2 取 AC 的 中点 M ，则OM AC ，结合知 OM BO ，且 B 与 A 位于直线 OM 的同侧于是 1 cos cos(90 ) sin 4 MC BOC MOC MOC OC 在 BOC 中，由余弦定理得 22 2 cos 10 BC OB OC OB OC BOC ， 进而在 ABC 中，由正弦定理得 10 sin 24 BC BAC R 8. 设整数数列 1 2 10 , aa a 满足 10 1 2 8 5 3, 2 a aa a a ，且 1 1 ,2 , 1 ,2 , ,9 i ii a a ai ， 则这样的数列的个数为 答案：80 解

9、 ：设 1 1, 2 ( 1, 2, , 9) ii i ba a i ，则有 1 10 1 1 2 9 2a a a bb b ， 234 52 85 567 bbb aa aa bbb 用t 表示 234 , bbb 中值为 2 的项数由知，t 也是 567 , bbb 中值为 2 的项数， 其中 0, 1, 2, 3 t 因此 23 7 , , bb b 的取法数为 02 12 22 32 3333 (C ) (C ) (C ) (C ) 20 取定 23 7 , , bb b 后，任意指定 89 , bb 的值，有 2 24 种方式 最后由 知，应取 1 1, 2 b 使得 12 9

10、bb b 为偶数，这样的 1 b 的取法 是 唯一的， 并且确定了整数 1 a 的值， 进而数列 12 9 , bb b 唯一对应一个满足条件的 数列 1 2 10 , aa a 综上可知，满足条件的数列的个数为 20 4 80 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分 解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 9. （ 本题 满分 16 分）已知定义在 R 上的函数 () fx 为 3 log 1 , 0 9, () 4 , 9. xx fx xx 设 , abc 是三个互不相同的实数，满足 ( )( )( ) fa fb fc ，求 abc 的取值范围 解 ： 不妨假设 abc 由于

11、 () fx 在 (0, 3 上严格递减， 在3, 9 上严格递增， 在9, ) 上严格递减，且 (3) 0, (9) 1 ff ，故结合图像可知 (0, 3) a ， (3, 9) b ， (9, ) c ， 并且 ( )( )( ) ( 0 , 1 ) fa fb fc 4 分 由 () () fa fb 得 33 1 log log 1 ab ， 即 33 log log 2 ab ，因此 2 39 ab 于是 9 abc c 8 分 又 3 0 () 4 1 fc c ， 12 分 故 (9, 16) c 进而 9 (81, 144) abc c 所以， abc 的取值范围是 (81,

12、 144) 16 分 注 ： 对任意的 (81, 144) r ， 取 0 9 r c = ，则 0 (9,16) c ，从 而 0 ( ) (0, 1) fc 过 点 00 ( , ( ) c fc 作平行于 x 轴的直线 l ，则 l 与 () fx 的图像另有两个交点 ( , ( ) afa ， ( , ( ) bfb （其中 (0, 3), (3, 9) ab ）， 满足 ( )( )( ) fa fb fc ， 并且 9 ab ， 从 而 abc r = 10. （ 本题 满分 20 分）已知实数列 123 , aaa 满足：对任意正整数 n ，有 (2 ) 1 nn n aSa ，

13、其中 n S 表示数列的前 n 项和证明： (1) 对任意正整数 n ，有 2 n an ； (2) 对任意正整数 n ，有 1 1 nn aa 证明： (1) 约定 0 0 S 由条件知，对任意正整数 n ，有 22 11 1 1 (2 ) ( )( ) nn n n n n n n n aSa S S S S S S ， 从而 22 0 n Sn Sn ，即 n Sn （当 0 n 时亦成立） 5 分 显然， 1 12 n nn a SS n n n 10 分 (2) 仅需考虑 1 , nn aa 同号的情况 不失一般性，可设 1 , nn aa 均为正（否则 将数列各项同时变为相反数，仍

14、满足条件） ，则 11 n nn S SS n ，故必有 1 ,1 nn S nS n ， 此时 1 1, 1 nn a nna n n ， 从而 1 ( 1 ) (1) (1 ) (1) 1 nn a an n nn nn nn 20 分 11. （ 本题 满分 20 分 ） 在平面直角坐标系 xOy 中， 设 AB 是抛物线 2 4 yx 的 过点 (1, 0) F 的弦， AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点 , O AB ） 若 PF 平 分 APB ，求 PF 的所有可能值 解 ： 设 22 2 123 123 , , , 444 yyy Ay By Py ， 由条件知 12

15、3 , yyy 两两不等且非零 设直线 AB 的方程为 1 x ty ，与抛物线方程联立可得 2 4 40 y ty ，故 12 4 yy 注意到 AOB 的外接圆过点O ， 可设该圆的方程为 22 0 x y dx ey ，与 2 4 y x 联立得， 4 2 10 16 4 yd y ey 该四次方程有 123 , , ,0 y yyy 这四个不 4 同的实根，故由韦达定理得 123 00 yyy ，从而 3 12 () y yy 5 分 因 PF 平分 APB ， 由角平分线定 理知， 1 2 PA FA y PB FB y ，结 合 、 ，有 2 22 2 31 2 2 22 2 31

16、 2 12 1 12 1 22 2 2 2 2 22 2 2 2 3 2 12 2 21 32 () ( ) 16(2 ) 44 ( ) 16(2 ) () 44 yy yy yy y yy PA y y PB y y yy y yy yy 2 2 22 4 2 2 12 2 1 2 2 22 4 2 1 21 1 2 ( 8) 16(4 16) 64 192 ( 8) 16(4 16) 64 192 y yy y y y yy y y ， 10 分 即 6 22 2 6 22 2 11 2 1 22 1 2 64 192 64 192 y yy y y yy y ，故 22 42 24 12

17、 11 22 ( )( 192) 0 yy yy yy 当 22 12 yy 时， 21 yy ，故 3 0 y ，此时 P 与 O 重合，与条件不符 当 42 24 11 22 192 0 yy yy 时，注意到，有 2 22 2 1 2 12 ( ) 192 ( ) 208 y y yy 15 分 因 22 1 2 12 4 13 8 2 y y yy ，故 满足以及 22 12 4 13 yy 的实数 12 , yy 存 在，对应可得满足条件的点 , AB 此时，结合、知 2 2 22 3 12 1 2 ( ) 4 4 208 4 1 13 1 4 4 44 y yy y y PF 20 分 5