2012年普通高等学校全国统一考试（全国卷）理科数学试题及答案解析.pdf

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1、 2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 （必修 +选修 ） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，第 卷第 1 至 2 页，第 卷 第 3 至第 4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第 卷 注意事项： 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号 填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。 在试题卷上作答无效

2、 。 3.第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 一、 选择题 （ 1） 复数 131 ii （ A） 2i （ B） 2i （ C） 12i （ D） 12i （ 2） 已知集合 1,3, Am ， 1, Bm ， A B A ，则 m （ A） 0 或 3 （ B） 0 或 3 （ C） 1或 3 （ D） 1或 3 （ 3） 椭圆的中心在原点，焦距为 4 ， 一条准线为 4x ，则该椭圆的方程为 （ A） 22116 12xy （ B） 22112 8xy （ C） 22184xy （ D） 22112 4xy （

3、4） 已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中 ， 2AB ， 1 22CC ， E 为 1CC 的中点，则直 线 1AC 与平面 BED 的距离为 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 （ 5） 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 5 5a ， 5 15S ，则数列 1 1 nnaa 的前 100项和 为 （ A） 100101 （ B） 99101 （ C） 99100 （ D） 101100 （ 6） ABC 中， AB 边的高为 CD ，若 CB a ， CA b ， 0ab ， | | 1a ， | | 2b ，则 AD （ A） 113

4、3ab （ B） 2233ab （ C） 3355ab （ D） 4455ab （ 7） 已知 为第二象限 角， 3sin cos 3，则 cos2 （ A） 53 （ B） 59 （ C） 59 （ D） 53 （ 8） 已知 1F 、 2F 为双曲线 22:2C x y的左、右焦点，点 P 在 C 上， 12| | 2| |PF PF ， 则 12cos FPF （ A） 14 （ B） 35 （ C） 34 （ D） 45 （ 9） 已知 lnx ， 5log 2y ， 12ze ，则 （ A） x y z （ B） z x y （ C） z y x （ D） y z x （ 10） 已

5、知函数 3 3y x x c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c （ A） 2 或 2 （ B） 9 或 3 （ C） 1 或 1 （ D） 3 或 1 （ 11） 将字母 , , , , ,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列 的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （ A） 12种 （ B） 18种 （ C） 24 种 （ D） 36 种 （ 12） 正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， 37AE BF。动点 P 从 E 出发沿直线 向 F 运动，每当碰到正方形的 边时反弹，反弹时反射 角 等于入射角，当点 P

6、第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为 （ A） 16 （ B） 14 （ C） 12 （ D） 10 2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 （必修 +选修 ） 第 卷 注意事项： 1.答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。 2.第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在 试题卷上作答无效 。 3.第卷共 10 小题，共 90 分。 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上

7、。 （注意： 在试题卷上作答无效 ） （ 13） 若 ,xy满足约束条件 1030 3 3 0 xy xy xy ， 则 3z x y的最小值为 _。 （ 14） 当函数 s in 3 c o s ( 0 2 )y x x x 取得最大值时， x _。 （ 15） 若 1()nx x 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等 ，则该展开式中 21x 的系数为 _。 （ 16） 三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，底面边长和侧棱长都相等， 11 60BAA CAA ， 则异 面直线 1AB 与 1BC 所成角的余弦值为 _。 三 .解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文

8、字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17） （本小题 满分 10 分） （ 注意：在试卷上作答无效 ） ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 cos( ) cos 1A C B ， 2ac ， 求 C 。 （ 18） （本小题满分 12 分）（注意： 在试题卷上作答无效 ） 如图，四棱锥 P ABCD 中 ，底面 ABCD 为菱形， PA 底面 ABCD ， 22AC ， 2PA ， E 是 PC 上的一点， 2PE EC 。 （）证明： PC 平面 BED ； （）设二面角 A PB C为 90 ，求 PD 与平面 PBC 所成角的 大小。 E C B

9、D A P （ 19） （本小题满分 12 分）（注意： 在试题卷上作答无效 ） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10平前，一方连续发球 2 次后，对方再连 续发球 2 次，依次轮换。每次发球，胜方得 1分，负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中，每次发 球，发球方得 1分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先 发球。 （）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1比 2 的概率； （） 表示开 始第 4 次发球时乙的得分，求 的期望。 （ 20） （本小题满分 12 分）（注意： 在试题卷上作答无效 ） 设函数 ( ) cosf x ax x ， 0,

10、 x 。 （）讨论 ()fx的单调性； （）设 ( ) 1 sinf x x ，求 a 的取值范围。 （ 21） （本小题满分 12 分）（注意： 在试卷上作答无效 ） 已知抛物线 2: ( 1)C y x与圆 2 2 21: ( 1 ) ( ) ( 0 )2M x y r r 有一个公共点 A ，且 在 点 A 处两曲线的切线为同一直线 l . （）求 r ； （）设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线， m 、 n 的交点为 D ，求 D 到 l 的距 离。 （ 22） （本小题满分 12 分）（注意： 在试卷上作答无效 ） 函数 2( ) 2 3f x x x ，定义数列 nx 如下： 1 2x ， 1nx 是过两点 (4,5)P 、 ( , ( )n n nQ x f x 的直线 nPQ 与 x 轴交点的横坐标。 （）证明： 123nnxx ； （ ）求数列 nx 的通项公式。