2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）文科数学试卷(必修+选修)及答案解析.pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 文科数学(必修+选修) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷1 至2 页。第卷 3 至4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效 。 3第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的

2、四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) () ()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3 3 4 VR= n 次独立重复试验中事件 A恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 0,1,2, ) kk nk nn Pk Cp p k n = 一、选择题 (1)cos300= (A) 3 2 (B)- 1 2 (C) 1 2

3、 (D) 3 2 1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 () 1 cos300 cos 360 60 cos 60 2 = = = (2)设全集 1, 2,3, 4,5U = ，集合 1, 4M = ， 1, 3, 5N = ，则 ( ) U NM = A. 1, 3 B. 1, 5 C. 3, 5 D. 4,5 2.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】 2,3,5 U M = ， 1, 3, 5N = ，则 ( ) U NM = 1, 3, 5 2,3,5 = 3, 5 (3)若变量 ,x y 满足约束条件 1,

4、 0, 20, y xy xy + 则 2zx y= 的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力 . 【解析】画出可行域（如右图） ， 11 2 22 zx y y x z= = ，由图可知 ,当直线 l 经过点 A(1,-1)时， z 最大，且最大值为 max 12(1) 3z = =. （4）已知各项均为正数的等比数列 n a ， 123 aaa =5， 789 aaa=10，则 456 aaa= (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算

5、、根式与指数式的互化等 知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】 由等比数列的性质知 3 123 13 2 2 () 5aaa aa a a= =null ， 3 789 79 8 8 ()aaa aa a a=null 10,所以 1 3 28 50aa = , 所以 1 333 6 456 46 5 5 28 () ( )(50)52aaa aa a a aa=null (5) 43 (1 ) (1 )x x的展开式 2 x 的系数是 (A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项 公式的灵活应用，以

6、及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一 些基本运算能力. 【解析】 () 13 43 234 22 (1 ) (1 ) 1 4 6 4 1 3 3x xxxxxxx =+ + 0 xy+= 1 O y x= y 20 xy= x A 0 :20lx y = 2 2 A 2 x 的系数是 -12+6=-6 (6)直三棱柱 111 ABC A B C 中，若 90BAC =， 1 AB AC AA= = ，则异面直线 1 BA 与 1 AC 所成的角等于 (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 111 ABC A B C 的

7、性质、异面直线所成的角、异 面直线所成的角的求法 . 【解析】延长 CA 到 D，使得 AD AC= ，则 11 ADAC 为平行四边形， 1 DA B 就是异面直 线 1 BA 与 1 AC 所成的角，又三角形 1 ADB为等边三角形， 0 1 60DA B= (7)已知函数 () |lg |f xx= .若 ab 且， () ()f afb= ，则 ab+ 的取值范围是 (A)(1, )+ (B)1, )+ (C) (2, )+ (D) 2, )+ 7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做 本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a

8、+b= 1 2a a + ,从而错选 D,这也 是命题者的用苦良心之处 . 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以 |lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去 )，或 1 b a = ，所以 a+b= 1 a a + 又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是 (2,+ ). 【解析 2】由 0ab,且 f(a)=f(b)得： 01 1 1 a b ab = ，利用线性规划得： 01 1 1 x y xy = ，化为求 zxy=+的取值范围问题， zxy y xz=+=+， 2 11 1yy xx = =过点 ()1,1 时 z 最小为2,(C) (2, )+

9、（8）已知 1 F 、 2 F 为双曲线 C: 22 1xy=的左、右焦点，点 P 在 C 上， 1 FP 2 F = 0 60 ， 则 12 |PF PF =null A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想， 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 . 【解析 1】 .由余弦定理得 cos 1 F P 2 F = 22 2 121 12 | | 2| | | PF PF F F PF PF + () () 2 2 22 12 12 1212

10、0 12 12 22 22 2 1 cos 60 222 PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF + + = = 12 |PF PF =null 4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 12 0 22 0 12 12 60 1 1 3 cot 1 cot 3 sin 60 222 2 2 FPF S b PF PF PF PF = = = 12 |PF PF =null 4 （9）正方体 ABCD- 111 1 ABCD中， 1 BB 与平面 1 ACD 所成角的余弦值为 （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 6 3 9.D 【命题意图】本小题主

11、要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想 的具体体现. 【解析 1】 因为 BB 1 /DD 1 ,所以 B 1 B 与平面 AC 1 D 所成角和 DD 1 与平 面AC 1 D 所成角 相等 ,设 DO平面 AC 1 D ，由等体积法得 11 D ACD D ACD VV = ,即 1 1 11 33 ACD ACD SDOSD = .设 DD 1 =a, 则 1 22 1 113 sin 60 ( 2 ) 222 ACD SACAD a a = o null , 2 11 22

12、 ACD SADCDa =null . 所以 1 3 1 2 3 3 3 ACD ACD SDDa DO a S a = null , 记 DD 1 与平面 AC 1 D 所成角 为 , 则 1 3 sin 3 DO DD =,所以 6 cos 3 = . 【解析 2】 设上下底面的中心分别为 1 ,OO； 1 OO与平面 AC 1 D 所成角就是 B 1 B 与平面 AC 1 D 所成角， 1 11 1 36 cos 1/ 3 2 OO OOD OD = （10）设 1 2 3 log 2, ln 2, 5abc =则 （A） abc（B） bca (C) cab (D) cba ,所以 a

13、= ,所以 ca,综上 cab. 【解析 2】 a= 3 log 2= 3 2 1 log ,b=ln2= 2 1 log e , 3 22 1log log 2 e ， 3 22 11 1 1 2log log e ； c= 1 2 111 5 2 54 =，ca ,APO= ,则 APB=2 ，PO= 2 1 x+ ， 2 1 sin 1 x = + ， |cos2PA PB PA PB = uuuvuuvuuvuuv = 22 (1 2 sin )x = 22 2 (1) 1 xx x + = 42 2 1 x x x + ，令 PA PB y= uuuvuuv ，则 42 2 1 x

14、x y x = + ， 即 42 (1 ) 0 xyxy+ =，由 2 x 是实数，所以 2 (1 ) 41( ) 0yy= + ， 2 610yy+ +，解得 322y 或 322y + . 故 min ()32PA PB=+ uuuvuuv .此时 21x = . P A B O 【解析 2】设 ,0APB =， ()() 2 cos 1/ tan cos 2 PA PB PA PB = = uuuvuuv 22 2 2 22 1 sin 1 2sin cos 2 1 2sin 2 sin sin = = 换元： 2 sin ,0 1 2 x x = ， ()( )112 1 23223

15、xx PA PB x = =+ uuuvuuv 【解析 3】建系：园的方程为 22 1xy+= ，设 11 1 1 0 (, ),(, ),(,0)Ax y Bx y Px ， ()( ) 22 11 1 01 1 10 1 10 ,0 01AO PA x y x x y x x x y x x = + = = ( ) 22222222 110011 0 1 10 323PA PB x x x x y x x x x x= +=+=+ uuuvuuv （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 (A) 23 3 (B)

16、 43 3 (C) 23 (D) 83 3 12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力 . 【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有 ABCD 11 2 22 32 3 Vhh= 四面体 ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, 22 max 22 1 23h =,故 max 43 3 V = . 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准

17、条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效 。 ()( ) 222 101 10 1 1 100 1 ,2PA PB x x y x x y x x x x y= = + uuuvuuv 3.第卷共10 小题，共90 分。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效 ) (13)不等式 2 2 0 32 x xx + f 的解集是 . 13. 21, 2xx x或 【命题意图】 本小题主要考查不等式及其解法 【解析】 : 2 2 0 3

18、2 x xx + f ()() ()()() 2 02210 21 x xxx xx + + ，数轴标根 得： 21, 2xx x或 (14)已知 为第二象限的角， 3 sin 5 a = ,则 tan 2 = . 14. 24 7 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的 正切公式 ,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能 . 【解析】因为 为第二象限的角,又 3 sin 5 = , 所以 4 cos 5 = ， sin 3 tan cos 4 =, 所 2 2tan 24 tan(2 ) 1tan 7 = (15)某学校开设 A 类选修课 3 门，B类选

19、修课 4门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课 程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答) 15. A【命题意图】 本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论 的数学思想. 【解析 1】 :可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 12 34 CC 种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 21 34 CC种不 同的选法.所以不同的选法共有 12 34 CC + 21 34 18 12 30CC = +=种. 【解析 2】 : 333 734 30CCC= (16)已知 F是椭圆 C 的一个焦点， B

20、是短轴的一个端点， 线段 BF的延长线交 C 于点 D ， 且 BF 2FD= uur uur ，则 C 的离心率为 . 16. 3 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识， 考查了数形结合思想、方程思想 ,本题凸显解析几何的特点： “数研究形，形助数” ，利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径 . 【解析 1】如图， 22 |BFbca=+=, 作 1 DD y 轴于点 D 1 ,则由 BF 2FD= uur uur ，得 1 |2 |3 OF BF DD BD =,所以 1 33 | 22 DD OF c=, 即 3 2 D c x = ,由椭圆的第二定义

21、得 22 33 |( ) 22 ac c FD e a ca = 又由 |2|BFFD= ,得 2 3 2, c aa a = 3 3 e= 【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式 22 22 1 xy ab + = ，设 ( ) 22 ,Dx y ，F 分 BD 所成的比为 2， 22 302 233 30 ; 12 2 2 12 2 2 2 c ccc ybxbyb xxxy y + =，代入 22 22 91 1 44 cb ab +=， 3 3 e= 三解答题：本大题共 6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分 10 分）(注意：在试题卷上作答无

22、效 ) 记等差数列 n a 的前 n 项和为 n S ，设 3 12S = ，且 123 2, , 1aaa+ 成等比数列，求 n S . (18)(本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效 ) 已知 ABCV 的内角 A ， B 及其对边 a ， b 满足 cot cotab a Ab B+ =+，求内角 C (19)(本小题满分 12 分)（ 注意：在试题卷上作答无效 ) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录

23、用，否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 各专家独立评审 (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； (II)求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率 xO y B F 1 D D （20） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD 底面 ABCD，AB/DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为 棱 SB 上的一点，平面 EDC 平面SBC . （）证明：SE=2EB； （）求二面角 A-DE-C的大小 . （21）(本小题满分 12 分) （注

24、意：在试题卷上作答无效 ） 已知函数 42 () 3 2(3 1) 4f xax axx=+ （I）当 1 6 a = 时，求 ()f x 的极值; （II）若 ()f x 在 ()1,1 上是增函数，求 a 的取值范围 (22)(本小题满分 12 分) （注意：在试题卷上作答无效 ） 已知抛物线 2 :4Cy x= 的焦点为 F，过点 (1,0)K 的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点， 点A关于 x 轴的对称点为 D . （）证明：点 F 在直线 BD上； （）设 8 9 FA FB = uuuruuur null ，求 BDK 的内切圆 M 的方程 . 三，解答题：接答应写出文字说

25、明，证明过程或演算步骤。 (17) 解： （ 1）由 a m =a 1 +（ n-1） d 及 a 1 =5， a w =9 得 a 1 +2d=5 1 +9d=-9 解得 a 1 =9 d=-2 数列 a m 的通项公式为 a n =11-2n。 因为 Sm=(n-5) 2 +25. 所以 n=5 时 , Sm 取得最大值。 （ 18）解： （ 1）因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。 所以 ACPH又ACBD,PH,BD都在平面PHD内,且PHBD=H. 所以AC平面PBD 故平面PAC平面PBD (2)由（ 1）知 Sm=na 1 + n(n-1) 2 d=10n-n 2 (2)因

26、为 ABCD 为等腰梯形， ABnullCD,ACBD,AB= 6 . 所以 HA=HB= 3 . 因为 APB=ADR=60 0 所以 PA=PB= 6 ,HD=HC=1. 可得 PH= 3 . 等腰梯形 ABCD 的面积为 S= 1 2 AC x BD = 2+ 3 . .9 分 所以四棱锥的体积为 V= 1 3 x（ 2+ 3） x 3 = 323 3 + .12 分 （ 19）解： （ 1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助 ,因此该地区 老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为 70 14% 500 = . 4 分 (2) 2 2 500 (40 270 30

27、160) 9.967 200 300 70 430 k = 由于 9.967 6.635 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与 性别有关 . 8 分 （ 3）由于（ 2）的结论知，该地区的 老年人是否需要帮助与性别有关，并 且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显 差异 ,因此在调查时 ,先确定该地区老年人中男 ,女的比例， 再把老年人分成男 ,女两 层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好 . 12 分 （ 20）解： （ 1）由椭圆定义知 22 F+ F| | |+| |=4 又 2AB=AF F AB 22 4 |+|,|= 3 得 L

28、的方程式为 y=x+c,其中 c= 1-b 2 (2) 设 A,(x 1 ,y 1 ),B(x 1 ,y 1 )则 A,B 两点坐标满足方程组 y=x+c x2+ y 2 b 2 =1 化简得 (1+b 2 )x 2 +2cx+1-2b 2 =0 则 x 1 +x 2 = -2c 1+b 2 .x 1 x 2 = 1-2b 2 1+b 2 （ 2） 即 21 4 2 3 x x=| . 则 224 2 12 12 22 2 2 8 4(1 ) 4(1 2 ) 8 ()4 9(11 bbb xx xx =+ = = + 解得 2 2 b = . （ 21）解： （） 1 2 a = 时， 2 1

29、 () ( 1) 2 x f xxe x=， ( ) 1 ( 1)( 1) xx x fx e xe x e x= + = + 。当 (),1x 时 ( )fx0;当 ( )1, 0 x 时， ( ) 0fx 。 故 ()f x 在 (),1 ， ()0,+ 单调增加，在（ -1， 0）单调减少。 （） () ( 1 ) a f xxx ax=。令 () 1 a gx x ax= ，则 ( ) x gx e a= 。若 1a ，则 当 ()0,x+时， ( )gx0， ()gx为减函数，而 (0) 0g = ，从而当 x 0 时 ()gx 0，即 ()f x 0. 若 a 1，则当 ()0,l

30、nx a 时， ( )gx0， ()gx为减函数，而 (0) 0g = ，从而当 ()0,lnx a 时 ()gx0，即 ()f x 0. 综合得 a的取值范围为 ( ,1 (22)解: (1) 因为 AC=BD 所以 BCD= ABC 又因为 EC 与圆相切于点 C,故 ACE= ABC 所以ACE=BCD (II)因为ECB=CDB, EBC=BCD, 5分 所以BDCECB,故 BC BE = CD BC 即 BC 2 =BECD 10分 （ 23）解： （ I）当 3 = 时， C 1 的普通方程为 3( 1)yx= ， C 2 的普通方 程为 22 1xy+=. 联立方程组 22 3

31、( 1), 1, yx xx y = =+= 解得 C 1 与 C 2 的交点为（ 1,0） ， 13 (, ) 22 （ II） C 1 的普通方程为 sin cos sin 0 xy = . A 点坐标为 2 (sin , cos sin )aaa ，故当 a 变化时， P 点轨迹的参数方程为 2 1 sin 2 1 sin cos 2 xa y aa = = （ a 为参数） P 点轨迹的普通方程为 22 11 () 416 xy += 故 P 点是圆心为 1 (,0) 4 ，半径为 1 4 的 圆 (24)解： : -2x+5,x 2 (1)由于 f (x) = 2x-3,x 2 则函数 y=f (x) 的图像如图所示 .。 5分 （）由函数 ()x y f= 与函数 y ax= 的图像可知，当且仅当 2a 时，函数 ()x y f= 与函数 y ax= 的图像有交点。故不等式 ()x f ax 的解集非空时， a 的取值范围为 () 1 ,2 , 2 + 。10分