2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学试卷及答案解析.pdf

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1、绝密启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考试结束后， 考试注意 ： 1答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证 号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对 答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓 名是否一致. 2.第 I 卷每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字

2、笔在答题卡上 书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。 参考公式： 样本数据（ 11 , yx ） ， （ 22 , yx ） ，.， （ nn yx , ） 的线性相关系数 = = = n i i n i i n i ii yyxx yyxx r 1 2 1 2 1 )()( )( 其中 n xxx x n + = . 21 n yyy y n + = . 21 锥体的体积公式 1 3 VSh= 其中 S 为底面积， h为高 第卷 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分 ，共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求

3、的. （1） 若 i i z 21+ = ,则复数 z = ( ) A. i2 B. i+2 C. i2 D. i+2 答案： C 解析： i i i ii i i z = = + = + = 2 1 2221 2 2 （2） 若集合 0 2 |,3121| =+= x x xBxxA ,则 BA = ( ) A. 01| xx B. 10| xx C. 20| xx D. 10| xx 答案： B 解析： 10/,20/,11/ = xxBAxxBxxA （3） 若 )12( 2 1 log 1 )( + = x xf ,则 )(xf 的定义域为 ( ) A. ( 2 1 ,0) B. (

4、2 1 ,0 C. ( 2 1 , + ) D. (0, + ) 答案： A 解析： () + 0, 2 1 1120,012log 2 1 x xx （4） 若 x xxxf ln42)( 2 = ,则 0)( xf 的解集为 ( ) A. (0, + ) B. (-1,0)(2, + ) C. (2, + ) D. (-1,0) 答案： C 解析： () ()() 2,012,0 ,0 2 ,0 4 22 2 + = xxxx x xx x xxf Q （5） 已知数列 n a 的前 n项和 n S 满足: mnmn SSS + =+ ,且 1 1 =a ,那么 = 10 a ( ) A.

5、 1 B. 9 C. 10 D. 55 答案： A 解析： 1 1,4 1,3 1,2 10 4314 3213 21212 = =+= =+= =+= a aSSS aSSS aSaaS L Q Q Q （6） 变 量X与Y相对应的一组数据为 (10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量 U 与 V 相对 应的一组数据为 (10,5),(11.3,4） ， （11.8,3） ， （12.5,2） ， （13,1). 1 r 表示变量Y与X 之间的线性相关 系数, 2 r 表示变量V与U 之间的线性相关系数,则 ( ) A. 0 12 rr B. 12

6、 0 rr C. 12 0 rr 9,输出。 （ PS:此题实质是 2010 江苏理科卷第 7 题得翻版，同时在我们寒假题海班，理科讲义的第 200 页 的第 6 题也讲过相似的。所以童鞋们再次遇到，应该也是灰常熟悉的。并且框图本来就是你们的 拿手菜，所以最对也不觉奇怪。 ） 14.若椭圆 1 2 2 2 2 =+ b y a x 的焦点在 x 轴上，过点 ) 2 1 ,1( 作圆 1 22 =+ yx 的切线，切点分别为 A， B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 答案： 1 45 22 =+ yx 解析：设过点（ 1， 2 1 ）的直线方程为：当斜率存在时， 2

7、1 )1( += xky ， 根据直线与圆相切，圆心（ 0,0）到直线的距离等于半径 1 可以得到 k= 4 3 ,直线与圆方程的联立 可以得到切点的坐标 （ 5 4 , 5 3 ） ， 当斜率不存在时， 直线方程为： x=1， 根据两点 A：（ 1,0） ， B：（ 5 4 , 5 3 ） 可以得到直线： 2x+y-2=0,则与 y 轴的交点即为上顶点坐标（ 2,0） 2=b ，与 x 轴的交点即为焦 点 1=c ，根据公式 5,5 222 =+= acba ，即椭圆方程为： 1 45 22 =+ yx （ PS:此题可能算是填空题，比较纠结的一道，因为要理清思路，计算有些繁琐。但是，是不是

8、就 做不出来呢，不是的，在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型，也就在理科教材第 147 页第 23 题。所以最纠结的一道高考题也不过如此，你们还怕什么？） 三 .选做题：请考生在下列两题中任选一题作答 .若两题都做，则按做的第一题评阅计 分 .本题共 5 分 . 15（ 1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为 cos4sin2 += ，以 极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程 为 . 答案： 024 22 =+ yxyx 。解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点： 1、 sin,cos = yx ， 2、 222 yx += 即可

9、。根据已知 cos4sin2 += = ,4y2,42 222 yxx xy +=+=+ 化简可得： 所以解析式为： 024 22 =+ yxyx 15 (2).(不等式选择题）对于实数x，y，若 11 x ， 12 y ，则 12 + yx 的最大 值为 . （ 2）此题，看似很难，但其实不难，首先解出 x 的范围， 20 x ，再解出 y 的范围， 31 y ， 最后综合解出 x-2y+1 的范围 1,5 ，那么绝对值最大，就去 5 （ PS: 此题作为最后一题，有失最后一题的分量，大家从解题步骤就可看出。所以高考注重的还 是基础 +基础！ ） 四 .本大题共 6 小题，共 75 分 .解

10、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分 12 分） 某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别 .公司准备了两种 不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料， 公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料 .若 4 杯都选对，则月工 资定为 3500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元；否则月工资定为 2100 元 . 令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数 .假设次人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 . （ 1）求 X 的分布列； （ 2）求此员工月工资的期望

11、. 解答： （ 1）选对 A 饮料的杯数分别为 0= ， 1= ， 2= ， 3= ， 4= ， 其概率分布分别为： () 70 1 0 4 8 4 4 0 4 = C CC P ， () 70 16 1 4 8 3 4 1 4 = C CC P ， () 70 36 2 4 8 2 4 2 4 = C CC P ， () 70 16 3 4 8 1 4 3 4 = C CC P ， () 70 1 4 4 8 4 4 0 4 = C CC P 。 （ 2） () 22802100 70 1 70 16 70 36 2800 70 16 3500 70 1 = += 。 17.（本小题满分 1

12、2 分） 在 ABC 中，角 CBA , 的对边分别是 cba , ，已知 2 sin1cossin C CC =+ . （ 1）求 Csin 的值； （ 2）若 8)(4 22 +=+ baba ，求边 c的值 . 解： （ 1）已知 2 sin1cossin C CC =+ 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin2 2222 CCCCCCC +=+ 整理即有： 01 2 sin2 2 cos2 2 sin0 2 sin 2 sin2 2 cos 2 sin2 2 = +=+ CCCCCCC 又 C 为 ABC 中的角， 0 2 sin C 4 1

13、 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin2 4 1 2 cos 2 sin 2 1 2 cos 2 sin 22 2 =+= = CCCCCCCC 4 3 sin 4 3 2 cos 2 sin2 = C CC （ 2） ()84 22 +=+ babaQ ( ) ( ) 2,202204444 2222 =+=+ babababa 又 4 7 sin1cos 2 = CCQ ， 17cos2 22 =+= Cabbac 18.（本小题满分 12 分） 已知两个等比数列 n a ， n b ，满足 3,2,1),0( 3322111 = abababaaa . （ 1）若 a =1，求

14、数列 n a 的通项公式； （ 2）若数列 n a 唯一，求 a的值 . .解： （ 1） 当 a=1 时， 33221 3,2,21 ababab +=+=+= ， 又 nn ba ,Q 为等比数列， 不妨设 n a 公比为 1 q ，由等比数列性质知： ( ) 3 2 231 2 2 32)2( aabbb +=+= ，同时又有 ()( ) ( ) ( ) 22322322, 1 2 1 2 1 2 11 2 11 2 113112 =+=+=+= qqqqaqaqaaqaa 所 以： ()1,22 1 = na n n （ 2 ） n a 要唯一， 当公比 0 1 q 时，由 33221

15、 3,2,21 ababab +=+=+= 且 = 31 2 2 bbb ()()( ) 0134312 1 2 1 2 1 2 1 =+=+ aaqaqaqaaq ， 0aQ ， 0134 1 2 1 =+ aaqaq 最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根） () ( ) ( )01401344 2 + aaaaa ，此时满足条件的 a 有无数多个，不符合。 当公比 0 1 =q 时，等比数列 n a 首项为 a ，其余各项均为常数 0 ，唯一，此时由 ()()( ) 0134312 1 2 1 2 1 2 1 =+=+ aaqaqaqaaq ，可推得 3 1 ,013 = aa 符合

16、 综上： 3 1 =a 。 19.（本小题满分 12 分） 设 .2 2 1 3 1 )( 23 axxxxf += （ 1）若 )(xf 在 ), 3 2 ( + 上存在单调递增区间，求 a的取值范围； （ 2）当 20 + = aaf （ 2）已知 0a=+= aaf ( ) ,012224164 +=+= aaf ， () 08 3 40 816 2 1 64 3 1 4 = ba b y a x 上一点， NM, 分别是双曲线 E 的左、右定点，直线 PNPM, 的斜率之积为 5 1 . （ 1）求双曲线的离心率； （ 2）过双曲线 E的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 BA, 两

17、点， O为坐标原点， C 为双曲线上的一点，满足 OBOAOC += ，求 的值 . 解： （ 1）已知双曲线 E： ()0,01 2 2 2 2 = ba b y a x ， ( ) 00 , yxP 在双曲线上， M， N 分别为双曲线 E 的左右顶点，所以 ()0,aM ， ( )0,aN ，直线 PM ， PN 斜率之积为 1 5 5 1 2 2 0 2 2 0 22 0 2 0 0 0 0 0 = = + = a y a x ax y ax y ax y KK PNPM 而 1 2 2 0 2 2 0 = b y a x ，比较得 5 30 5 6 5 1 222222 =+= a

18、c eabacab （ 2）设过右焦点且斜率为 1 的直线 L： cxy = ，交双曲线 E 于 A， B 两点，则不妨设 ()() 2211 , yxByxA ，又 ( ) 2121 , yyxxOBOAOC +=+= ，点 C 在双曲线 E 上： ()() ( ) ( ) 22 2 2 22121 2 1 2 1 222 21 2 21 510255 ayxyyxxyxayyxx =+=+ *（ 1） 又 联立直线 L 和双曲线 E 方程消去 y 得： 05104 222 =+ accxx 由韦达定理得： 4 5 22 21 ac xx + = ， () 2 222 2 212121 2

19、5 4 5 c cac cxxcxxyy + + =+= 代入 （ 1） 式得： 4-0 2 71 2 7 222222 =+ ，或aaaaa 21.（本小题满分 14 分） （ 1）如图，对于任一给定的四面体 4321 AAAA ，找出依 次排列的四个相互平行的平面 4321 , ，使 得 ii A （ i=1,2,3,4） ，且其中每相邻两个平面间 的距离都相等； （ 2）给定依次排列的四个相互平行的平面 4321 , ，其中每相邻两个平面间的 距离为 1，若一个正四面体 4321 AAAA 的四个顶点满足： ii A （ i=1,2,3,4） ，求 该正四面体 4321 AAAA 的体积

20、 . 解： （ 1） 将直线 41 AA 三等分， 其中另两个分点依次为 32 , AA ,连接 3322 , AAAA ,作平行于 3322 , AAAA 的平面，分别过 3322 , AAAA ，即为 32 , 。同理，过点 41 , AA 作平面 41 , 即可的出结论。 （ 2）现设正方体的棱长为 a,若 则有,1 1 = MNMA ， 2 11 a MA = ， aEADAED 2 5 2 11 2 1111 =+= ，由于 , 1111111 EDMAEADA = 得， 5=a ， 那么，正四面体的棱长为 102 = ad ，其体积为 3 55 3 1 3 = aV （即一个棱长为 a 的正方体 割去四个直角三棱锥后的体积）