2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学试卷（文科）及答案解析.pdf

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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（文科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第 2 页，第卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条 形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座 位号后两位。 答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 答第卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡

2、上 书写，要求字体工整、笔迹清晰。 作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必 须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效 ，在试题卷 、草稿纸上答题无效 。 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式： 椎体体积 1 3 VSh= ，其中 S 为椎体的底面积， h 为椎体的高 . 若 1 1 1 n i y y n = = （ x 1 ， y 1 ） ， （ x 2 ， y 2 ） ， （ x n ， y n ）为样本点， ybxa= + 为回归直线， 则 1 1 1 n i x x n = = ， 1 1 1 n i y y

3、 n = = ()() () 11 1 2 22 1 11 nn ii nn i ii x yyy xynxy b x xxnx aybx = = = ， aybx= 说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算 . 第卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 （ 1）设 i是虚数单位，复数 ai i 1+ 2 为纯虚数，则实数 a为 （ A） 2 （ B） 2 （ C） 1 2 （ D） 1 2 （ 2）集合 ,U =123456 ， ,S =145 , ,T = 234 ,则 )

4、( TCS U 等于 （ A） ,1456 （ B） ,15 （ C） 4 （ D） ,12345 （ 3）双曲线 xy 22 2 =8的实轴长是 （ A） 2 （ B） 22 （ C） 4 （ D） 4 2 （ 4） 若直线 xya3+ + =0过圆 xy xy 22 + +2 4 =0的圆心 ,则 a 的值为 （ A） 1 （ B） 1 （ C） 3 （ D） 3 （ 5）若点（ a,b）在 lgyx= 图像上， a 1,则下列点也在此图像上的是 （ A） （ a 1 ， b） （ B） （ 10a,1b） （ C ） （ a 10 ,b+1 ） （ D） （ a 2 ,2b） （ 6）设

5、变量 x,y 满足 ,xy1 xy1 x + 0 ,则 x y+2 的最大值和最小值分别为 （ A） 1， 1 （ B） 2， 2 （ C ） 1， 2 （ D） 2， 1 （ 7）若数列 n a 的通项公式是 =+= 1021 ),23()1( aaana n n L则 （ A） 15 （ B） 12 （ C） 12 （ D） 15 （ 8）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ A） 48 （ B） 32+8 17 （ C） 48+8 17 （ D） 80 （ 9） 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等 于 （ A） 1

6、10 （ B） 1 8 （ C） 1 6 （ D） 1 5 （ 10）函数 2 )1()( xaxxf n = 在区间 0,1 上的图像如图所示，则 n 可能是 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 第 II 卷（非选择题 共 100 分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 . 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 .把答案填在答题卡的相应位置 . （ 11）设 ()f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， ()f x = 2 2x x ，则 (1)f = . （ 12）如图所示，程序框图（算法

7、流程图）的输出结果是 . （ 13）函数 2 1 6 y x x = 的定义域是 . （ 14）已知向量 a， b 满足（ a+2b） （ a-b） =-6，且 a =1， b =2， 则 a 与 b 的夹角为 . （ 15）设 ()f x = sin 2 cos 2axbx+ ，其中 a， bR， ab 0，若 () ( ) 6 fx f 对一切则 xR 恒成立，则 11 ()0 12 f = 7 () 10 f () 5 f ()f x 既不是奇函数也不是偶函数 ()f x 的单调递增区间是 2 ,() 63 kk kZ + 存在经过点（ a， b）的直线与函数 ()f x 的图像不相交

8、以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号） . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .解答写在 答题卡的制定区域内 . （ 16） （本小题满分 13 分） 在 ABC中， a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边长， a= 3 ， b= 2 ， 12cos( ) 0BC+=， 求边 BC 上的高 . （ 17） （本小题满分 13 分） 设直线 .02,1:,1: 21212211 =+=+= kkkkxkylxkyl 满足其中实数 （ I）证明 1 l 与 2 l 相交； （ II）证明 1 l 与 2 l 的交点在椭圆 22

9、 2x +y =1上. （ 18） （本小题满分 13 分） 设 2 1 )( ax e xf x + = ，其中 a为正实数 . （）当 3 4 =a 时，求 ()f x 的极值点； （）若 ()f x 为 R 上的单调函数，求 a的取值范围 . （ 19） （本小题满分 13 分） 如图， ABEDFC 为多面体， 平面 ABED 与平面 ACFD垂直， 点 O在线段 AD上， 1OA= ， 2OD = ， OAB， OAC， ODE， ODF都是正三角形。 （）证明直线 BCEF ； （）求棱锥 F OBED 的体积 . （ 20） （本小题满分 10 分） 某地最近十年粮食需求量逐年上

10、升，下表是部分统计数据： 年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量（万吨） 236 246 257 276 286 （）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 ybxa= + ; （）利用（）中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。 温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明 . （ 21） （本小题满分 13 分） 在数 1 和 100 之间插入 n个实数，使得这 2n+ 个数构成递增的等比数列，将这 2n+ 个数 的乘积记作 n T ，再令 , lg nn aT= 1n . （）求数列 n a 的通项公式； （）设 1 tan tan ,

11、 nnn baa + = null 求数列 n b 的前 n项和 n S . 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 50 分 . （ 1） A （ 2） B （ 3） C （ 4） B （ 5） D （ 6） B （ 7） A （ 8） C （ 9） D （ 10） A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 25 分 . （ 1） 3 （ 12） 15 （ 13） （ 3， 2） （ 14） 3 （ 15）， 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 16） （本小题满分 13 分）

12、本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定 理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求和能力 . 解：由 ACBCB =+=+ 和0)cos(21 ，得 . 2 3 sin, 2 1 cos,0cos21 = AAA 再由正弦定理，得 . 2 2sin sin = a Ab B . 2 2 sin1cos, 2 , =0，知 012 2 + axax 在 R 上恒成立，因此 ,0)1(444 2 = aaaa 由此并结合 0a ，知 .10 a （ 19） （本小题满分 13 分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空 间

13、直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力 . （ I）证明：设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点 . 由于 OAB与 ODE都是正三角形，所 以 OBDE 2 1 ， OG=OD=2， 同理，设 G是线段 DA 与 FC 延长线的交点，有 .2= ODGO 又由于 G 和 G都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 G重合 . 在 GED和 GFD中，由 OBDE 2 1 和 OCDF 2 1 ，可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的中 点，所以 BC 是 GEF的中位线，故 BC EF. （ II）解：由 OB=1， OE=2， 2 3 ,

14、60 = EOB SEOB 知 ，而 OED是边长为 2 的正三角形， 故 .3= OED S 所以 . 2 33 =+= OEDEOBOEFD SSS 过点 F 作 FQ DG， 交 DG 于点 Q， 由平面 ABED平面 ACFD 知， FQ 就是四棱锥 FOBED 的高，且 FQ= 3 ，所以 . 2 3 3 1 = OBEDOBEDF SFQV （ 20） （本小题满分 10 分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法， 数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力 . 解： （ I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来

15、配回归直线方程， 为此对数据预处理如下： = = = = 对预处理后的数据，容易算得 .2.3 ,5.6 40 260 4224 294192)11()2()21()4( ,2.3,0 2222 = = + + = = xbya b yx 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 ,2.3)2006(5.6)2006(257 +=+= xaxby 即 .2.260)2006(5.6 += xy （ II）利用直线方程，可预测 2012 年的粮食需求量为 2.2992.26065.62.260)20062012(5.6 =+=+ （万吨） 300（万吨） . 21 （本小题满分 13 分）本题考查等

16、比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基 本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力 . 解： （ I）设 221 , +n lll L 构成等比数列，其中 ,100,1 21 = +n tt 则 , 2121 + = nnn ttttT L , 1221 ttttT nnn = + L 并利用 得),21(10 2 2131 += + nitttt nin .1,2lg,10)()()()( )2(2 12211221 2 += + + nnTattttttttT nn n nnnnn L （ II）由题意和（ I）中计算结果，知 .1),3tan()2tan( += nnnb n 另一方面，利用 , tan)1tan(1 tan)1tan( )1tan(1tan kk kk kk + + =+= 得 .1 1tan tan)1tan( tan)1tan( + =+ kk kk 所以 + = += 2 31 tan)1tan( n k n k kn kkbS . 1tan 3tan)3tan( )1 1tan tan)1tan( ( 2 3 n n kk n k + = + = + = 年份 2006 4 2 0 2 4 需求量 257 21 11 0 19 29