1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷第 1 至第 2 页,第卷第 3 页至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条 形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座 位号后两位。 答第卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 答第卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡
2、上 书写,要求字体工整、笔迹清晰。 作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必 须在题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效 ,在试题卷 、草稿纸上答题无效 。 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式: 椎体体积 1 3 VSh= ,其中 S 为椎体的底面积, h 为椎体的高 . 若 1 1 1 n i y y n = = ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x n , y n )为样本点, ybxa= + 为回归直线, 则 1 1 1 n i x x n = = , 1 1 1 n i y y
3、 n = = ()() () 11 1 2 22 1 11 nn ii nn i ii x yyy xynxy b x xxnx aybx = = = , aybx= 说明:若对数据适当的预处理,可避免对大数字进行运算 . 第卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 ( 1)设 i是虚数单位,复数 ai i 1+ 2 为纯虚数,则实数 a为 ( A) 2 ( B) 2 ( C) 1 2 ( D) 1 2 ( 2)集合 ,U =123456 , ,S =145 , ,T = 234 ,则 )
4、( TCS U 等于 ( A) ,1456 ( B) ,15 ( C) 4 ( D) ,12345 ( 3)双曲线 xy 22 2 =8的实轴长是 ( A) 2 ( B) 22 ( C) 4 ( D) 4 2 ( 4) 若直线 xya3+ + =0过圆 xy xy 22 + +2 4 =0的圆心 ,则 a 的值为 ( A) 1 ( B) 1 ( C) 3 ( D) 3 ( 5)若点( a,b)在 lgyx= 图像上, a 1,则下列点也在此图像上的是 ( A) ( a 1 , b) ( B) ( 10a,1b) ( C ) ( a 10 ,b+1 ) ( D) ( a 2 ,2b) ( 6)设
5、变量 x,y 满足 ,xy1 xy1 x + 0 ,则 x y+2 的最大值和最小值分别为 ( A) 1, 1 ( B) 2, 2 ( C ) 1, 2 ( D) 2, 1 ( 7)若数列 n a 的通项公式是 =+= 1021 ),23()1( aaana n n L则 ( A) 15 ( B) 12 ( C) 12 ( D) 15 ( 8)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( A) 48 ( B) 32+8 17 ( C) 48+8 17 ( D) 80 ( 9) 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等 于 ( A) 1
6、10 ( B) 1 8 ( C) 1 6 ( D) 1 5 ( 10)函数 2 )1()( xaxxf n = 在区间 0,1 上的图像如图所示,则 n 可能是 ( A) 1 ( B) 2 ( C) 3 ( D) 4 第 II 卷(非选择题 共 100 分) 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效 . 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 .把答案填在答题卡的相应位置 . ( 11)设 ()f x 是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时, ()f x = 2 2x x ,则 (1)f = . ( 12)如图所示,程序框图(算法
7、流程图)的输出结果是 . ( 13)函数 2 1 6 y x x = 的定义域是 . ( 14)已知向量 a, b 满足( a+2b) ( a-b) =-6,且 a =1, b =2, 则 a 与 b 的夹角为 . ( 15)设 ()f x = sin 2 cos 2axbx+ ,其中 a, bR, ab 0,若 () ( ) 6 fx f 对一切则 xR 恒成立,则 11 ()0 12 f = 7 () 10 f () 5 f ()f x 既不是奇函数也不是偶函数 ()f x 的单调递增区间是 2 ,() 63 kk kZ + 存在经过点( a, b)的直线与函数 ()f x 的图像不相交
8、以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .解答写在 答题卡的制定区域内 . ( 16) (本小题满分 13 分) 在 ABC中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边长, a= 3 , b= 2 , 12cos( ) 0BC+=, 求边 BC 上的高 . ( 17) (本小题满分 13 分) 设直线 .02,1:,1: 21212211 =+=+= kkkkxkylxkyl 满足其中实数 ( I)证明 1 l 与 2 l 相交; ( II)证明 1 l 与 2 l 的交点在椭圆 22
9、 2x +y =1上. ( 18) (本小题满分 13 分) 设 2 1 )( ax e xf x + = ,其中 a为正实数 . ()当 3 4 =a 时,求 ()f x 的极值点; ()若 ()f x 为 R 上的单调函数,求 a的取值范围 . ( 19) (本小题满分 13 分) 如图, ABEDFC 为多面体, 平面 ABED 与平面 ACFD垂直, 点 O在线段 AD上, 1OA= , 2OD = , OAB, OAC, ODE, ODF都是正三角形。 ()证明直线 BCEF ; ()求棱锥 F OBED 的体积 . ( 20) (本小题满分 10 分) 某地最近十年粮食需求量逐年上
10、升,下表是部分统计数据: 年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量(万吨) 236 246 257 276 286 ()利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 ybxa= + ; ()利用()中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。 温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明 . ( 21) (本小题满分 13 分) 在数 1 和 100 之间插入 n个实数,使得这 2n+ 个数构成递增的等比数列,将这 2n+ 个数 的乘积记作 n T ,再令 , lg nn aT= 1n . ()求数列 n a 的通项公式; ()设 1 tan tan ,
11、 nnn baa + = null 求数列 n b 的前 n项和 n S . 参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分 . ( 1) A ( 2) B ( 3) C ( 4) B ( 5) D ( 6) B ( 7) A ( 8) C ( 9) D ( 10) A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 25 分 . ( 1) 3 ( 12) 15 ( 13) ( 3, 2) ( 14) 3 ( 15), 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ( 16) (本小题满分 13 分)
12、本题考查两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系,利用正弦定 理或余弦定理解三角形,以及三角形的边与角之间的对应大小关系,考查综合运算求和能力 . 解:由 ACBCB =+=+ 和0)cos(21 ,得 . 2 3 sin, 2 1 cos,0cos21 = AAA 再由正弦定理,得 . 2 2sin sin = a Ab B . 2 2 sin1cos, 2 , =0,知 012 2 + axax 在 R 上恒成立,因此 ,0)1(444 2 = aaaa 由此并结合 0a ,知 .10 a ( 19) (本小题满分 13 分)本题考查空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,空 间
13、直线平行的证明,多面体体积的计算,考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力 . ( I)证明:设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点 . 由于 OAB与 ODE都是正三角形,所 以 OBDE 2 1 , OG=OD=2, 同理,设 G是线段 DA 与 FC 延长线的交点,有 .2= ODGO 又由于 G 和 G都在线段 DA 的延长线上,所以 G 与 G重合 . 在 GED和 GFD中,由 OBDE 2 1 和 OCDF 2 1 ,可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的中 点,所以 BC 是 GEF的中位线,故 BC EF. ( II)解:由 OB=1, OE=2, 2 3 ,
14、60 = EOB SEOB 知 ,而 OED是边长为 2 的正三角形, 故 .3= OED S 所以 . 2 33 =+= OEDEOBOEFD SSS 过点 F 作 FQ DG, 交 DG 于点 Q, 由平面 ABED平面 ACFD 知, FQ 就是四棱锥 FOBED 的高,且 FQ= 3 ,所以 . 2 3 3 1 = OBEDOBEDF SFQV ( 20) (本小题满分 10 分)本题考查回归分析的基本思想及其初步应用,回归直线的意义和求法, 数据处理的基本方法和能力,考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力 . 解: ( I)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来
15、配回归直线方程, 为此对数据预处理如下: = = = = 对预处理后的数据,容易算得 .2.3 ,5.6 40 260 4224 294192)11()2()21()4( ,2.3,0 2222 = = + + = = xbya b yx 由上述计算结果,知所求回归直线方程为 ,2.3)2006(5.6)2006(257 +=+= xaxby 即 .2.260)2006(5.6 += xy ( II)利用直线方程,可预测 2012 年的粮食需求量为 2.2992.26065.62.260)20062012(5.6 =+=+ (万吨) 300(万吨) . 21 (本小题满分 13 分)本题考查等
16、比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基 本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力 . 解: ( I)设 221 , +n lll L 构成等比数列,其中 ,100,1 21 = +n tt 则 , 2121 + = nnn ttttT L , 1221 ttttT nnn = + L 并利用 得),21(10 2 2131 += + nitttt nin .1,2lg,10)()()()( )2(2 12211221 2 += + + nnTattttttttT nn n nnnnn L ( II)由题意和( I)中计算结果,知 .1),3tan()2tan( += nnnb n 另一方面,利用 , tan)1tan(1 tan)1tan( )1tan(1tan kk kk kk + + =+= 得 .1 1tan tan)1tan( tan)1tan( + =+ kk kk 所以 + = += 2 31 tan)1tan( n k n k kn kkbS . 1tan 3tan)3tan( )1 1tan tan)1tan( ( 2 3 n n kk n k + = + = + = 年份 2006 4 2 0 2 4 需求量 257 21 11 0 19 29