2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-广东卷B.pdf

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1、绝密 启用前 试卷类型 B 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷） 数学（理科） 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试 室号、座位号填写在答题卡上用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应 位置上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目 指定区域内相应位置

2、上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息 点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效 5考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 ( ) () ()PA B PA PB+ =+ 已知 n 是正整数，则 12 21 ()( ) nn n n n n ab aba ab ab b = + + +L 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要

3、求的。 1已知 02a B 3a D 1 3 a 8在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD交于点 OE， 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F 若 AC = uuur a ， BD = uuur b，则 AF = uuur （ ） A 11 42 +ab B 21 33 +ab C 11 24 +ab D 12 33 +ab 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（912 题） 9阅读图 3 的程序框图，若输入 4m = ， 6n = ，则输出 a = ， i = （注：框图中的赋值符号“ =”也可以写成“

4、”或“ :=” ） 10已知 26 (1 )kx+ （ k 是正整数）的展开式中， 8 x 的系数小于 120，则 k = 11经过圆 22 20 xxy+=的圆心 C ，且与直线 0 xy+ = 垂直 的直线方程是 12已知函数 () (sin cos)sinf xxxx= ， xR ，则 ()f x 的 最小正周期是 E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图 1 图 2 B E A B E B B E C B E D 开始 1i = n 整除 a? 是 输入 mn， 结束 ami= 输出 ai， 1ii= + 图 3 否 A y x O B G F F 1 图

5、4 二、选做题（1315 题，考生只能从中选做两题） 13 （坐标系与参数方程选做题） 已知曲线 12 CC， 的极坐标方程分别为 cos 3 = ， 4cos 0 0 2 = ，椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb + = ，抛物线方程为 2 8( )x yb=如图 4 所示，过点 (0 2)Fb+， 作 x 轴的平行线，与 抛物线在第一象限的交点为 G ，已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的 右焦点 1 F （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设 A B， 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 P ，使得 ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样

6、的点？并说明理由（不必具体求出这 些点的坐标） 19 （本小题满分 14 分） 设 k R ， 函数 1 1 1() 11 x xfx xx = ， ， ， () ()Fx f x kx= ， xR ， 试讨论函数 ()Fx 的单调性 20 （本小题满分 14 分） 如图5所示， 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形， 其中 BD 是圆的直径， 60ABD= o ， 45BDC= o ， PD 垂直底面 ABCD ， 22PD R= ， E F， 分别是 PB CD， 上的点，且 PE DF EBFC = ，过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G （1）

7、求 BD与平面 ABP 所成角 的正弦值； （2）证明： EFG 是直角三角形； （3）当 1 2 PE EB = 时，求 EFG 的面积 21 （本小题满分 12 分） 设 p q， 为实数， ， 是方程 2 0 xpxq +=的两个实根，数列 n x 满足 1 x p= ， 2 2 x pq=， 12nn n x px qx =（ 34n = ， ） （1）证明： p + = ， q = ； （2）求数列 n x 的通项公式； （3）若 1p = ， 1 4 q = ，求 n x 的前 n 项和 n S F C P G E A B 图 5 D 绝密启用前 试卷 类型 B 2008 年普通高

8、等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)参考答案 一、 选择题：C D C C A D B B 1 C【解析】 1 2 += az ，而 20 a ，即 511 2 + a ， 51 z 2 D【解析】 2062 4 =+= dS ， 3=d ，故 48153 6 =+= dS 3 C【解析】 依题意我们知道二年级的女生有 380 人，那么三年级的学生的人数应该是 5003703803773732000 = ，即总体中各个年级的人数比例为 2:3:3 ，故在分层 抽样中应在三年级抽取的学生人数为 16 8 2 64 = 4 C 5 A 6 D【解析】 不难判断命题 p 为真命题， 命题

9、q 为假命题， 从而上述叙述中只有 ()()pq 为真命题 7 B【解析】 ( ) 3 ax f xae=+ ， 若函数在 x R 上有大于零的极值点， 即 ( ) 3 0 ax fx ae=+ = 有正根。当有 ( ) 3 0 ax fx ae= +=成立时，显然有 0a 我 们马上就能得到参数 a 的范围为 3a 。 8 B 二、填空题： 9 【解析】 要结束程序的运算，就必须通过 n 整除 a 的条件运算，而同时 m 也整除 a ，那 么 a 的最小值应为 m 和 n 的最小公倍数 12，即此时有 3i = 。 10 【解析】 26 (1 )kx+ 按二项式定理展开的通项为 22 16

10、6 () rrrrr r TCkx Ckx + =，我们知道 8 x 的系数为 44 4 6 15Ck k= ，即 4 15 120k ，也即 4 8k ，而 k 是正整数，故 k 只能取 1。 11 【解析】 易知点 C 为 (1,0) ，而直线与 0 xy+ = 垂直，我们设待求的直线的方程为 y xb=+，将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 1b = ，故待求的直线的方程为 10 xy+=。 12 【解析】 2 1cos2 1 2 1 ( ) sin sin cos sin 2 cos(2 ) 22 2 42 x fx x x x x x = = = + ， 故函数 的最小

11、正周期 2 2 T =。 二、选做题（1315 题，考生只能从中选做两题） A y x O B G F F 1 图 4 13 【解析】 由 cos 3 (0,0 ) 4cos 2 = = 解得 23 6 = = ，即两曲线的交点为 (2 3, ) 6 。 14 1 0, 4 15 【解析】 依题意，我们知道 PBA PACnull ,由相似三角形的性质我们有 2 PA PB R AB = ,即 22 221 3 22 PA AB R PB = = 。 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 解： （1）依题意有 1A = ，则 () sin(

12、 )fx x= + ，将 点 1 (,) 32 M 代入得 1 sin( ) 32 +=， 而 0 ， 5 36 += ， 2 = ，故 ( ) sin( ) cos 2 f xx x =+=； （2）依题意有 312 cos ,cos 513 =，而 ,(0,) 2 ， 22 34 12 5 sin 1 ( ) ,sin 1 ( ) 5 5 13 13 = = = =， 312 4 5 56 ( ) cos( ) cos cos sin sin 5 13 5 13 65 f = = + =+=。 17 解： （1） 的所有可能取值有 6， 2， 1， -2； 126 (6) 0.63 200

13、 P = = ， 50 (2) 0.25 200 P = = 20 (1) 0.1 200 P = = ， 4 (2) 0.2 200 P = = = 故 的分布列为： 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 （2） 6 0.63 2 0.25 1 0.1 ( 2) 0.02 4.34E = + + + = （3）设技术革新后的三等品率为 x ，则此时 1 件产品的平均利润为 ( ) 6 0.7 2 (1 0.7 0.01 ) ( 2) 0.01 4.76 (0 0.29)Ex x x x= + + = 依题意， ( ) 4.73Ex ，即 4.76 4.73x ，解得 0

14、.03x 所以三等品率最多为 3% 18 解： （1）由 2 8( )x yb= 得 2 1 8 yxb= + ， 当 2yb=+得 4x = ， G 点的坐标为 (4, 2)b+ ， 1 4 yx= ， 4 | 1 x y = = ， 过点 G 的切线方程为 (2) 4yb x+=即 2yxb= +， 令 0y = 得 2x b=， 1 F 点的坐标为 (2 ,0)b ， 由椭圆方程得 1 F 点的坐标为 (,0)b ， 2 bb =即 1b = ， 即椭圆和抛物线的方程分别为 2 2 1 2 x y+=和 2 8( 1)xy= ； （2） Q过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P

15、 , 以 PAB 为直角的 Rt ABP 只有一个，同理 以 PBA 为直角的 Rt ABP 只有一个。 若以 APB 为直角，设 P 点坐标为 2 1 (, 1) 8 xx+ ， A 、 B 两点的坐标分别为 (2,0) 和 (2,0)， 22242 115 2( 1) 10 86 PA PB x x x x=+ += + = uuuruuur null 。 关于 2 x 的二次方程有一大于零的解， x 有两解，即以 APB 为直角的 Rt ABP 有两个， 因此抛物线上存在四个点使得 ABP 为直角三角形。 19 解： 1 ,1, 1() () 1, 1, kx x xFx f x kx

16、xkxx = ， 2 1 ,1, (1 ) ( ) 1 ,1, 21 kx x Fx kx x = 对于 1 () ( 1) 1 Fx kxx x = 时，函数 ()Fx在 1 (,1 ) k 上是减函数，在 1 (1 ,1) k 上是增函数； 对于 1 () ( 1) 21 Fx kx x = ， 当 0k 时，函数 ()Fx在 ) 1, + 上是减函数； 当 0k 时，函数 ()Fx在 2 1 1,1 4k + 上是减函数，在 2 1 1, 4k + + 上是增函数。 20 解： （1）在 RtBAD 中， 60ABD= o Q ， ,3AB R AD R = 而PD垂直底面ABCD， 2

17、2 2 2 (2 2 ) ( 3 ) 11PA PD AD R R R=+= + = F C P G E A B 图 5 D 22 2 2 (2 2 ) (2 ) 2 3PB PD BD R R R=+= +=, 在 PAB 中， 222 PA AB PB+ = ,即 PAB 为以 PAB 为直角的直角三角形。 设点 D 到面 PAB 的距离为 H , 由 P ABD D PAB VV = 有 PA AB H AB AD PD=nullnull nullnull , 即 322 266 1111 AD PD R R HR PA R = = nullnull ， 66 sin 11 H BD =

18、 ; (2) / , PEPG EG BC EBGC = ,而 PEDF EBFC = , 即 ,/ PG DF GF PD GC DC = , GF BC ， GF EG , EFG 是直角三角形； （3） 1 2 PE EB = 时 1 3 EG PE BCPB = , 2 3 GF CF PDCD = = , 即 11 2 22 42 2 cos 45 , 2 2 33 3 33 3 EGBC R RGFPD R R= = , EFG 的面积 2 112424 22339 EFG SEGF RRR =null 21 解： （1）由求根公式，不妨设 ，得 22 44 , + = p pq

19、ppq 22 44 + += + = pp qpp q p ， 22 44 + = = pp qpp q q （2）设 112 () = nn n n xsx tx sx ，则 12 () = + nnn x stx stx ，由 12nn n x px qx = 得， += = st p st q ，消去 t ，得 2 0+=spsq ， s 是方程 2 0 xpxq +=的根， 由题意可知， 12 ,=ss 当 时，此时方程组 += = s tp stq 的解记为 12 12 = = = = ss tt 或 112 (), = nn n n xx x x 112 (), = nn n n

20、xx x x 即 11 nn x tx 、 21 nn x tx 分别是公比为 1 =s 、 2 =s 的等比数列， 由等比数列性质可得 2 12 1 () = n nn xx xx , 2 12 1 () = n nn xx xx , 两式相减，得 22 12 1 2 1 () ( ) ( ) = nn n xxx xx 2 21 ,= =Qx pqxp， 22 2 =+x ， 1 = +x 222 21 () =null nnn xx ， 222 21 () =null nnn xx 1 () = nn n x ，即 1 = nn n x ， 11+ + = nn n x 当 = 时，即方

21、程 2 0 xpxq+=有重根， 2 40 =pq， 即 2 ()40+=st st ，得 2 ()0,=st st，不妨设 = =st ，由可知 2 12 1 () = n nn xx xx ， =Q ， 2 12 1 () = = nn nn xx xx 即 1 =+ n nn xx ，等式两边同时除以 n ，得 1 1 1 = + nn xx ，即 1 1 1 = nn nn xx 数列 n n x 是以 1 为公差的等差数列， 1 2 (1)1 1 1 =+= +=+ n n x x nnn =+ nn n xn 综上所述， 11 ,( ) ,( ) + = += nn n nn x

22、n （3）把 1p = ， 1 4 q = 代入 2 0 xpxq+=，得 2 1 0 4 +=xx ，解得 1 2 = 11 () () 22 =+null nn n xn 23 2 3 11 1 1 1 1 1 1 () () () . () () 2() 3() . () 22 2 2 2 2 2 2 nn n Sn =+ + + + nullnull null 23 111 1 1 1() () 2() 3() . () 222 2 2 nn n= + + + + +nullnull null 1 111 1 1() 2 () () 3 ( 3)() 222 2 nnn n nn = + = +