1、绝密 启用前 试卷类型 B 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 (广东卷) 数学(理科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项: 1答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试 室号、座位号填写在答题卡上用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应 位置上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 2选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目 指定区域内相应位置
2、上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息 点,再作答漏涂、错涂、多涂的,答案无效 5考生必须保持答题卡的整洁考试结束后,将试卷和答题卡一并交回 参考公式: 如果事件 A B, 互斥,那么 ( ) () ()PA B PA PB+ =+ 已知 n 是正整数,则 12 21 ()( ) nn n n n n ab aba ab ab b = + + +L 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要
3、求的。 1已知 02a B 3a D 1 3 a 8在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD交于点 OE, 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F 若 AC = uuur a , BD = uuur b,则 AF = uuur ( ) A 11 42 +ab B 21 33 +ab C 11 24 +ab D 12 33 +ab 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题(912 题) 9阅读图 3 的程序框图,若输入 4m = , 6n = ,则输出 a = , i = (注:框图中的赋值符号“ =”也可以写成“
4、”或“ :=” ) 10已知 26 (1 )kx+ ( k 是正整数)的展开式中, 8 x 的系数小于 120,则 k = 11经过圆 22 20 xxy+=的圆心 C ,且与直线 0 xy+ = 垂直 的直线方程是 12已知函数 () (sin cos)sinf xxxx= , xR ,则 ()f x 的 最小正周期是 E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图 1 图 2 B E A B E B B E C B E D 开始 1i = n 整除 a? 是 输入 mn, 结束 ami= 输出 ai, 1ii= + 图 3 否 A y x O B G F F 1 图
5、4 二、选做题(1315 题,考生只能从中选做两题) 13 (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 12 CC, 的极坐标方程分别为 cos 3 = , 4cos 0 0 2 = ,椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb + = ,抛物线方程为 2 8( )x yb=如图 4 所示,过点 (0 2)Fb+, 作 x 轴的平行线,与 抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的 右焦点 1 F (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A B, 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样
6、的点?并说明理由(不必具体求出这 些点的坐标) 19 (本小题满分 14 分) 设 k R , 函数 1 1 1() 11 x xfx xx = , , , () ()Fx f x kx= , xR , 试讨论函数 ()Fx 的单调性 20 (本小题满分 14 分) 如图5所示, 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形, 其中 BD 是圆的直径, 60ABD= o , 45BDC= o , PD 垂直底面 ABCD , 22PD R= , E F, 分别是 PB CD, 上的点,且 PE DF EBFC = ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G (1)
7、求 BD与平面 ABP 所成角 的正弦值; (2)证明: EFG 是直角三角形; (3)当 1 2 PE EB = 时,求 EFG 的面积 21 (本小题满分 12 分) 设 p q, 为实数, , 是方程 2 0 xpxq +=的两个实根,数列 n x 满足 1 x p= , 2 2 x pq=, 12nn n x px qx =( 34n = , ) (1)证明: p + = , q = ; (2)求数列 n x 的通项公式; (3)若 1p = , 1 4 q = ,求 n x 的前 n 项和 n S F C P G E A B 图 5 D 绝密启用前 试卷 类型 B 2008 年普通高
8、等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)参考答案 一、 选择题:C D C C A D B B 1 C【解析】 1 2 += az ,而 20 a ,即 511 2 + a , 51 z 2 D【解析】 2062 4 =+= dS , 3=d ,故 48153 6 =+= dS 3 C【解析】 依题意我们知道二年级的女生有 380 人,那么三年级的学生的人数应该是 5003703803773732000 = ,即总体中各个年级的人数比例为 2:3:3 ,故在分层 抽样中应在三年级抽取的学生人数为 16 8 2 64 = 4 C 5 A 6 D【解析】 不难判断命题 p 为真命题, 命题
9、q 为假命题, 从而上述叙述中只有 ()()pq 为真命题 7 B【解析】 ( ) 3 ax f xae=+ , 若函数在 x R 上有大于零的极值点, 即 ( ) 3 0 ax fx ae=+ = 有正根。当有 ( ) 3 0 ax fx ae= +=成立时,显然有 0a 我 们马上就能得到参数 a 的范围为 3a 。 8 B 二、填空题: 9 【解析】 要结束程序的运算,就必须通过 n 整除 a 的条件运算,而同时 m 也整除 a ,那 么 a 的最小值应为 m 和 n 的最小公倍数 12,即此时有 3i = 。 10 【解析】 26 (1 )kx+ 按二项式定理展开的通项为 22 16
10、6 () rrrrr r TCkx Ckx + =,我们知道 8 x 的系数为 44 4 6 15Ck k= ,即 4 15 120k ,也即 4 8k ,而 k 是正整数,故 k 只能取 1。 11 【解析】 易知点 C 为 (1,0) ,而直线与 0 xy+ = 垂直,我们设待求的直线的方程为 y xb=+,将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 1b = ,故待求的直线的方程为 10 xy+=。 12 【解析】 2 1cos2 1 2 1 ( ) sin sin cos sin 2 cos(2 ) 22 2 42 x fx x x x x x = = = + , 故函数 的最小
11、正周期 2 2 T =。 二、选做题(1315 题,考生只能从中选做两题) A y x O B G F F 1 图 4 13 【解析】 由 cos 3 (0,0 ) 4cos 2 = = 解得 23 6 = = ,即两曲线的交点为 (2 3, ) 6 。 14 1 0, 4 15 【解析】 依题意,我们知道 PBA PACnull ,由相似三角形的性质我们有 2 PA PB R AB = ,即 22 221 3 22 PA AB R PB = = 。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤 16 解: (1)依题意有 1A = ,则 () sin(
12、 )fx x= + ,将 点 1 (,) 32 M 代入得 1 sin( ) 32 +=, 而 0 , 5 36 += , 2 = ,故 ( ) sin( ) cos 2 f xx x =+=; (2)依题意有 312 cos ,cos 513 =,而 ,(0,) 2 , 22 34 12 5 sin 1 ( ) ,sin 1 ( ) 5 5 13 13 = = = =, 312 4 5 56 ( ) cos( ) cos cos sin sin 5 13 5 13 65 f = = + =+=。 17 解: (1) 的所有可能取值有 6, 2, 1, -2; 126 (6) 0.63 200
13、 P = = , 50 (2) 0.25 200 P = = 20 (1) 0.1 200 P = = , 4 (2) 0.2 200 P = = = 故 的分布列为: 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2) 6 0.63 2 0.25 1 0.1 ( 2) 0.02 4.34E = + + + = (3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为 ( ) 6 0.7 2 (1 0.7 0.01 ) ( 2) 0.01 4.76 (0 0.29)Ex x x x= + + = 依题意, ( ) 4.73Ex ,即 4.76 4.73x ,解得 0
14、.03x 所以三等品率最多为 3% 18 解: (1)由 2 8( )x yb= 得 2 1 8 yxb= + , 当 2yb=+得 4x = , G 点的坐标为 (4, 2)b+ , 1 4 yx= , 4 | 1 x y = = , 过点 G 的切线方程为 (2) 4yb x+=即 2yxb= +, 令 0y = 得 2x b=, 1 F 点的坐标为 (2 ,0)b , 由椭圆方程得 1 F 点的坐标为 (,0)b , 2 bb =即 1b = , 即椭圆和抛物线的方程分别为 2 2 1 2 x y+=和 2 8( 1)xy= ; (2) Q过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P
15、 , 以 PAB 为直角的 Rt ABP 只有一个,同理 以 PBA 为直角的 Rt ABP 只有一个。 若以 APB 为直角,设 P 点坐标为 2 1 (, 1) 8 xx+ , A 、 B 两点的坐标分别为 (2,0) 和 (2,0), 22242 115 2( 1) 10 86 PA PB x x x x=+ += + = uuuruuur null 。 关于 2 x 的二次方程有一大于零的解, x 有两解,即以 APB 为直角的 Rt ABP 有两个, 因此抛物线上存在四个点使得 ABP 为直角三角形。 19 解: 1 ,1, 1() () 1, 1, kx x xFx f x kx
16、xkxx = , 2 1 ,1, (1 ) ( ) 1 ,1, 21 kx x Fx kx x = 对于 1 () ( 1) 1 Fx kxx x = 时,函数 ()Fx在 1 (,1 ) k 上是减函数,在 1 (1 ,1) k 上是增函数; 对于 1 () ( 1) 21 Fx kx x = , 当 0k 时,函数 ()Fx在 ) 1, + 上是减函数; 当 0k 时,函数 ()Fx在 2 1 1,1 4k + 上是减函数,在 2 1 1, 4k + + 上是增函数。 20 解: (1)在 RtBAD 中, 60ABD= o Q , ,3AB R AD R = 而PD垂直底面ABCD, 2
17、2 2 2 (2 2 ) ( 3 ) 11PA PD AD R R R=+= + = F C P G E A B 图 5 D 22 2 2 (2 2 ) (2 ) 2 3PB PD BD R R R=+= +=, 在 PAB 中, 222 PA AB PB+ = ,即 PAB 为以 PAB 为直角的直角三角形。 设点 D 到面 PAB 的距离为 H , 由 P ABD D PAB VV = 有 PA AB H AB AD PD=nullnull nullnull , 即 322 266 1111 AD PD R R HR PA R = = nullnull , 66 sin 11 H BD =
18、 ; (2) / , PEPG EG BC EBGC = ,而 PEDF EBFC = , 即 ,/ PG DF GF PD GC DC = , GF BC , GF EG , EFG 是直角三角形; (3) 1 2 PE EB = 时 1 3 EG PE BCPB = , 2 3 GF CF PDCD = = , 即 11 2 22 42 2 cos 45 , 2 2 33 3 33 3 EGBC R RGFPD R R= = , EFG 的面积 2 112424 22339 EFG SEGF RRR =null 21 解: (1)由求根公式,不妨设 ,得 22 44 , + = p pq
19、ppq 22 44 + += + = pp qpp q p , 22 44 + = = pp qpp q q (2)设 112 () = nn n n xsx tx sx ,则 12 () = + nnn x stx stx ,由 12nn n x px qx = 得, += = st p st q ,消去 t ,得 2 0+=spsq , s 是方程 2 0 xpxq +=的根, 由题意可知, 12 ,=ss 当 时,此时方程组 += = s tp stq 的解记为 12 12 = = = = ss tt 或 112 (), = nn n n xx x x 112 (), = nn n n
20、xx x x 即 11 nn x tx 、 21 nn x tx 分别是公比为 1 =s 、 2 =s 的等比数列, 由等比数列性质可得 2 12 1 () = n nn xx xx , 2 12 1 () = n nn xx xx , 两式相减,得 22 12 1 2 1 () ( ) ( ) = nn n xxx xx 2 21 ,= =Qx pqxp, 22 2 =+x , 1 = +x 222 21 () =null nnn xx , 222 21 () =null nnn xx 1 () = nn n x ,即 1 = nn n x , 11+ + = nn n x 当 = 时,即方
21、程 2 0 xpxq+=有重根, 2 40 =pq, 即 2 ()40+=st st ,得 2 ()0,=st st,不妨设 = =st ,由可知 2 12 1 () = n nn xx xx , =Q , 2 12 1 () = = nn nn xx xx 即 1 =+ n nn xx ,等式两边同时除以 n ,得 1 1 1 = + nn xx ,即 1 1 1 = nn nn xx 数列 n n x 是以 1 为公差的等差数列, 1 2 (1)1 1 1 =+= +=+ n n x x nnn =+ nn n xn 综上所述, 11 ,( ) ,( ) + = += nn n nn x
22、n (3)把 1p = , 1 4 q = 代入 2 0 xpxq+=,得 2 1 0 4 +=xx ,解得 1 2 = 11 () () 22 =+null nn n xn 23 2 3 11 1 1 1 1 1 1 () () () . () () 2() 3() . () 22 2 2 2 2 2 2 nn n Sn =+ + + + nullnull null 23 111 1 1 1() () 2() 3() . () 222 2 2 nn n= + + + + +nullnull null 1 111 1 1() 2 () () 3 ( 3)() 222 2 nnn n nn = + = +