2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-宁夏卷.pdf

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1、2008 年普通高等学校统一考试（宁夏卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1、已知函数 y=2sin( x+ )( 0)在区间 0， 2 的图像如下： 那么 =（ ） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 2、已知复数 1zi=，则 2 2 1 zz z = （ ） A. 2i B. 2i C. 2 D. 2 3、如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. 5/18 B. 3/4 C. 3 /2 D. 7/8 4、 设等比数列 n a 的公比 2q

2、 = ， 前 n 项和为 n S ， 则 4 2 S a =（ ） A. 2 B. 4 C. 15 2 D. 17 2 5、右面的程序框图，如果输入三个实数 a、 b、 c，要求输出这三 个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个 选项中的（ ） A. c x B. x c C. c b D. b c 6、已知 123 0aaa，则使得 2 (1 ) 1 i ax x 输出 x 结束 x=b x=c 否 是 A. 1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 8、平面向量 a r ， b r 共线的充要条件是（ ） A. a r ， b r 方向相同 B. a r ， b r 两向

3、量中至少有一个为零向量 C. R， ba= rr D. 存在不全为零的实数 1 ， 2 ， 12 0ab+= rrr 9、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加 一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ） A. 20 种 B. 30种 C. 40种 D. 60种 10、由直线 2 1 =x ， x=2，曲线 x y 1 = 及 x 轴所围图形的面积为（ ） A. 4 15 B. 4 17 C. 2ln 2 1 D. 2ln2 11、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（ 2， 1）的距离

4、与点 P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ ） A. （ 4 1 ， 1） B. （ 4 1 ， 1） C. （ 1， 2） D. （ 1， 2） 12、某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a + b 的最 大值为（ ） A. 22 B. 32 C. 4 D. 52 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13、已知向量 (0, 1,1)a = r ， (4,1,0)b = r ， |29ab += rr 且 0 ，则 =

5、 _ 14、过双曲线 22 1 916 xy =的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的 直线与双曲线交于点 B，则 AFB 的面积为_ 15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上，且该六棱柱的体积为 9 8 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _ 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位： mm） ，结果如下： 由以上数据设计了如下茎叶图： 甲品 种： 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 3

6、25 325 328 331 334 337 352 乙品 种： 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 甲 乙 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： _

7、 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17、 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a 是一个等差数列，且 2 1a = ， 5 5a = 。 （ 1） 求 n a 的通项 n a ； （ 2） 求 n a 前 n 项和 n S 的最大值。 18、 （本小题满分 12 分） 如图，已知点 P 在正方体 ABCDA 1B1C1D1的对角线 BD 1上，PDA=60。 （ 1） 求 DP 与 CC 1 所成角的大小； （ 2） 求 DP 与平面 AA 1 D 1 D 所成角的大小。 B 1 C 1 D 1 A 1 C D A B P 19

8、、 （本小题满分 12 分） A、 B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X 1 和 X 2 。根据市场 分析， X 1 和 X 2 的分布列分别为 X 1 5% 10% X 2 2% 8% 12% P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3 （ 1） 在 A、 B 两个项目上各投资 100 万元， Y 1 和 Y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获 得的利润，求方差 DY 1 、 DY 2 ； （ 2） 将 x（ 0 x 100）万元投资 A 项目， 100 x 万元投资 B 项目，f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和。求 f(x)的最小值，并

9、 指出 x 为何值时，f(x)取到最小值。 （注： D(aX + b) = a 2 DX） 20、 （本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 1 ： 22 22 1( 0) xy ab ab + =的左、右焦 点分别为 F 1 、 F 2 。 F 2 也是抛物线 C 2 ： 2 4y x= 的焦点，点 M 为 C 1 与 C 2 在第一象限的交 点，且 2 5 | 3 MF = 。 （ 1） 求 C 1 的方程； （ 2） 平面上的点 N 满足 12 MNMFMF=+ uuur uuur uuuur ，直线 l MN，且与 C 1 交于 A、 B 两点， 若 OA uur O

10、B uuur =0，求直线 l 的方程。 21、 （本小题满分 12 分）设函数 1 () (, )f xax abZ xb =+ + ，曲线 ()y fx= 在点 (2, (2)f 处的切线方程为 3y = 。 （ 1） 求 ()yfx= 的解析式； （ 2） 证明：曲线 ()yfx= 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （ 3） 证明： 曲线 ()yfx= 上任一点的切线与直线 1x = 和直线 yx= 所围三角形的 面积为定值，并求出此定值。 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22

11、、 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 作直线 AP 垂直直线 OM， 垂足为 P。 （ 1）证明： OM OP = OA 2 ； （ 2） N 为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直直线 ON，且交圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交 直线 ON 于 K。证明： OKM = 90。 23、 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C 1 ： cos () sin x y = = 为参数 ，曲线 C 2 ： 2 2 2 () 2 2 xt t yt = = 为参数 。 （ 1）指出 C 1

12、， C 2 各是什么曲线，并说明 C 1 与 C 2 公共点的个数； （ 2）若把 C 1 ， C 2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 1 C ， 2 C 。写出 1 C ， 2 C 的参数方程。 1 C 与 2 C 公共点的个数和 C 1 与 C 2 公共点的个数是否相同？ 说明你的理由。 24、 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 |4|8|)( = xxxf 。 （ 1） 作出函数 )(xfy = 的图像； K B P A O M N （ 2） 解不等式 2|4|8| xx 。 2008 年普通高等学校统一考试（宁夏卷） 数学（理科）参考答案 一、选

13、择题 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 B 7 C 8 D 9 A 10 D 11 A 12 C 二、填空题 13 3 14 32 15 15 4 3 16 1乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长 度普遍大于甲品种棉花的纤维长度） 2甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散 （或：乙品种棉花的纤维长度较 甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定） 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的 纤维长度的分散程度更大） 3甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm 4乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，

14、而且大多集中在中间（均值附近） 甲品种棉花 的纤维长度除一个特殊值（ 352）外，也大致对称，其分布较均匀 三、解答题 17解： （）设 n a 的公差为 d ，由已知条件， 1 1 1 45 ad ad += + = ，解出 1 3a = ， 2d = 所以 1 (1) 25 n aan d n=+ =+ （） 2 1 (1) 4 2 n nn Sna d n n =+ =+ 2 4( 2)n= 所以 2n = 时， n S 取到最大值 4 18解： 如图，以 D 为原点， DA为单位长建立空间直角坐标系 Dxyz 则 (1 0 0)DA = ， ， uuur ， (0 0 1)CC= ，

15、， uuur 连结 BD， B D 在平面 BBDD中，延长 DP交 B D于 H 设 (1)(0)DH m m m=， uuur ， 由已知 60DH DA=， o uuur uuur ， A B C D P A B C D x y z H 由 cosDA DH DA DH DA DH=， uuuruuur uuruuur uur uuur g 可得 2 221mm=+ 解得 2 2 m = ，所以 22 1 22 DH = ， uuur （）因为 22 001 2 22 cos 2 12 DH CC + + = = ， uuur uuur ， 所以 45DH CC=， o uuur uuu

16、r 即 DP与 CC所成的角为 45 o （）平面 AA D D的一个法向量是 (0 1 0)DC = ， ， uuur 因为 22 0110 1 22 cos 2 12 DH DC + + = = ， uuur uuur ， 所以 60DH DC=， o uuur uuur 可得 DP与平面 AA D D 所成的角为 30 o 19解： （）由题设可知 1 Y 和 2 Y 的分布列分别为 Y 1 5 10 P 0.8 0.2 1 5 0.8 10 0.2 6EY = + =， 22 1 (5 6) 0.8 (10 6) 0.2 4DY = + =， 2 2 0.2 8 0.5 12 0.3

17、8EY = + + =， 22 2 2 (2 8) 0.2 (8 8) 0.5 (12 8) 0.3 12DY = + + = （） 12 100 () 100 100 xx f xD Y D Y =+ Y 2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 22 12 100 100 100 xx DY DY =+ 22 2 4 3(100 ) 100 x x=+ 22 2 4 (4 600 3 100 ) 100 xx=+， 当 600 75 24 x = 时， () 3fx= 为最小值 20解： （）由 2 C ： 2 4y x= 知 2 (1 0)F ， 设 11 ()M xy， ， M 在

18、 2 C 上，因为 2 5 3 MF = ，所以 1 5 1 3 x + = ， 得 1 2 3 x = ， 1 26 3 y = M 在 1 C 上，且椭圆 1 C 的半焦距 1c = ，于是 22 22 48 1 93 1. ab ba += = ， 消去 2 b 并整理得 42 93740aa+=， 解得 2a = （ 1 3 a = 不合题意，舍去） 故椭圆 1 C 的方程为 22 1 43 xy += （）由 12 MFMF MN+= uuur uuuuruur 知四边形 12 MFNF 是平行四边形，其中心为坐标原点 O， 因为 lMN ，所以 l 与 OM 的斜率相同， 故 l

19、的斜率 26 3 6 2 3 k = 设 l 的方程为 6( )yxm= 由 22 3412 6( ) xy y xm += = ， ， 消去 y 并化简得 22 916 8 40 xmxm+= 设 11 ()Ax y， ， 22 ()B xy， ， 12 16 9 m xx+= ， 2 12 84 9 m xx = 因为 OA OB uur uuur ，所以 12 12 0 xx yy+= 12 12 12 1 2 6( )( )x xyyxx xmxm+=+ 2 12 1 2 76()6x xmxx m=+ 2 2 84 16 766 99 mm mm =+gg 2 1 (14 28) 0

20、 9 m= 所以 2m = 此时 22 (16) 49(8 4) 0mm= ， 故所求直线 l 的方程为 623yx=，或 623yx=+ 21解： （） 2 1 () () fx a x b = + ， 于是 2 1 23 2 1 0 (2 ) a b a b += + = + ， ， 解得 1 1 a b = = ， ， 或 9 4 8 . 3 a b = = ， 因 abZ， ，故 1 () 1 fx x x =+ （）证明：已知函数 1 y x= ， 2 1 y x = 都是奇函数 所以函数 1 ()gx x x =+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形 而 1 () 1 1

21、 1 fx x x =+ + 可知，函数 ()gx的图像按向量 (1 1)= ，a 平移，即得到函数 ()f x 的图像，故函数 ()f x 的图 像是以点 (1 1)， 为中心的中心对称图形 （）证明：在曲线上任取一点 00 0 1 1 xx x + ， 由 0 2 0 1 ()1 (1) fx x = 知，过此点的切线方程为 2 00 0 2 1 1 1() 1(1) xx yxx + = 令 1x = 得 0 0 1 1 x y x + = ，切线与直线 1x = 交点为 0 0 1 1 1 x x + ， 令 yx= 得 0 21yx=，切线与直线 yx= 交点为 00 (2 1 2

22、1)xx ， 直线 1x = 与直线 yx= 的交点为 (1 1)， 从而所围三角形的面积为 0 00 00 1112 12 1 1 2 2 2 21 21 x xx xx + = = 所以，所围三角形的面积为定值 2 22解： （）证明：因为 MA是圆 O的切线，所以 OA AM 又因为 APOM 在 Rt OAM 中，由射影定理知， 2 OA OM OP= g （）证明：因为 BK 是圆 O的切线， BNOK 同（） ，有 2 OB ON OK= g ，又 OB OA= ， 所以 OP OM ON OK=gg，即 ON OM OP OK = 又 NOP MOK= ， 所以 ONP OMK

23、，故 90OKM OPN= o 23解： （） 1 C 是圆， 2 C 是直线 1 C 的普通方程为 22 1xy+ = ，圆心 1 (0 0)C ， ，半径 1r = 2 C 的普通方程为 20 xy += 因为圆心 1 C 到直线 20 xy+ =的距离为 1， 所以 2 C 与 1 C 只有一个公共点 （）压缩后的参数方程分别为 1 C ： cos 1 sin 2 x y = = ， （ 为参数） ； 2 C ： 2 2 2 2 4 xt yt = = ， （ t 为参数） 化为普通方程为： 1 C ： 22 41xy+=， 2 C ： 12 22 yx=+， 联立消元得 2 22210 xx+=， 其判别式 2 (2 2) 4 2 1 0= = ， 所以压缩后的直线 2 C 与椭圆 1 C 仍然只有一个公共点，和 1 C 与 2 C 公共点个数相同 24解： （） 44 () 2 12 4 8 48. x fx x x x = + ， ， ， ， 图像如下： （）不等式 842xx，即 () 2fx ， 由 2122x+=得 5x = 由函数 ()f x 图像可知，原不等式的解集为 (5)， 1 1 O x y 2 3 4 2 4 -1-2 -2 8 -4