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    2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-宁夏卷.pdf

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    2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-宁夏卷.pdf

    1、2008 年普通高等学校统一考试(宁夏卷) 数学(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1、已知函数 y=2sin( x+ )( 0)在区间 0, 2 的图像如下: 那么 =( ) A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 2、已知复数 1zi=,则 2 2 1 zz z = ( ) A. 2i B. 2i C. 2 D. 2 3、如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( ) A. 5/18 B. 3/4 C. 3 /2 D. 7/8 4、 设等比数列 n a 的公比 2q

    2、 = , 前 n 项和为 n S , 则 4 2 S a =( ) A. 2 B. 4 C. 15 2 D. 17 2 5、右面的程序框图,如果输入三个实数 a、 b、 c,要求输出这三 个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个 选项中的( ) A. c x B. x c C. c b D. b c 6、已知 123 0aaa,则使得 2 (1 ) 1 i ax x 输出 x 结束 x=b x=c 否 是 A. 1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 8、平面向量 a r , b r 共线的充要条件是( ) A. a r , b r 方向相同 B. a r , b r 两向

    3、量中至少有一个为零向量 C. R, ba= rr D. 存在不全为零的实数 1 , 2 , 12 0ab+= rrr 9、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加 一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有( ) A. 20 种 B. 30种 C. 40种 D. 60种 10、由直线 2 1 =x , x=2,曲线 x y 1 = 及 x 轴所围图形的面积为( ) A. 4 15 B. 4 17 C. 2ln 2 1 D. 2ln2 11、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q( 2, 1)的距离

    4、与点 P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( ) A. ( 4 1 , 1) B. ( 4 1 , 1) C. ( 1, 2) D. ( 1, 2) 12、某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a + b 的最 大值为( ) A. 22 B. 32 C. 4 D. 52 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13、已知向量 (0, 1,1)a = r , (4,1,0)b = r , |29ab += rr 且 0 ,则 =

    5、 _ 14、过双曲线 22 1 916 xy =的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的 直线与双曲线交于点 B,则 AFB 的面积为_ 15、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的体积为 9 8 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 _ 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位: mm) ,结果如下: 由以上数据设计了如下茎叶图: 甲品 种: 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 3

    6、25 325 328 331 334 337 352 乙品 种: 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 甲 乙 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 根据以上茎叶图,对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: _

    7、 _ 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 已知数列 n a 是一个等差数列,且 2 1a = , 5 5a = 。 ( 1) 求 n a 的通项 n a ; ( 2) 求 n a 前 n 项和 n S 的最大值。 18、 (本小题满分 12 分) 如图,已知点 P 在正方体 ABCDA 1B1C1D1的对角线 BD 1上,PDA=60。 ( 1) 求 DP 与 CC 1 所成角的大小; ( 2) 求 DP 与平面 AA 1 D 1 D 所成角的大小。 B 1 C 1 D 1 A 1 C D A B P 19

    8、、 (本小题满分 12 分) A、 B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X 1 和 X 2 。根据市场 分析, X 1 和 X 2 的分布列分别为 X 1 5% 10% X 2 2% 8% 12% P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3 ( 1) 在 A、 B 两个项目上各投资 100 万元, Y 1 和 Y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获 得的利润,求方差 DY 1 、 DY 2 ; ( 2) 将 x( 0 x 100)万元投资 A 项目, 100 x 万元投资 B 项目,f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和。求 f(x)的最小值,并

    9、 指出 x 为何值时,f(x)取到最小值。 (注: D(aX + b) = a 2 DX) 20、 (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 1 : 22 22 1( 0) xy ab ab + =的左、右焦 点分别为 F 1 、 F 2 。 F 2 也是抛物线 C 2 : 2 4y x= 的焦点,点 M 为 C 1 与 C 2 在第一象限的交 点,且 2 5 | 3 MF = 。 ( 1) 求 C 1 的方程; ( 2) 平面上的点 N 满足 12 MNMFMF=+ uuur uuur uuuur ,直线 l MN,且与 C 1 交于 A、 B 两点, 若 OA uur O

    10、B uuur =0,求直线 l 的方程。 21、 (本小题满分 12 分)设函数 1 () (, )f xax abZ xb =+ + ,曲线 ()y fx= 在点 (2, (2)f 处的切线方程为 3y = 。 ( 1) 求 ()yfx= 的解析式; ( 2) 证明:曲线 ()yfx= 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; ( 3) 证明: 曲线 ()yfx= 上任一点的切线与直线 1x = 和直线 yx= 所围三角形的 面积为定值,并求出此定值。 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22

    11、、 (本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A,过 A 作直线 AP 垂直直线 OM, 垂足为 P。 ( 1)证明: OM OP = OA 2 ; ( 2) N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交 直线 ON 于 K。证明: OKM = 90。 23、 (本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程 已知曲线 C 1 : cos () sin x y = = 为参数 ,曲线 C 2 : 2 2 2 () 2 2 xt t yt = = 为参数 。 ( 1)指出 C 1

    12、, C 2 各是什么曲线,并说明 C 1 与 C 2 公共点的个数; ( 2)若把 C 1 , C 2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 1 C , 2 C 。写出 1 C , 2 C 的参数方程。 1 C 与 2 C 公共点的个数和 C 1 与 C 2 公共点的个数是否相同? 说明你的理由。 24、 (本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲 已知函数 |4|8|)( = xxxf 。 ( 1) 作出函数 )(xfy = 的图像; K B P A O M N ( 2) 解不等式 2|4|8| xx 。 2008 年普通高等学校统一考试(宁夏卷) 数学(理科)参考答案 一、选

    13、择题 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 B 7 C 8 D 9 A 10 D 11 A 12 C 二、填空题 13 3 14 32 15 15 4 3 16 1乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长 度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) 2甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散 (或:乙品种棉花的纤维长度较 甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的 纤维长度的分散程度更大) 3甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm 4乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,

    14、而且大多集中在中间(均值附近) 甲品种棉花 的纤维长度除一个特殊值( 352)外,也大致对称,其分布较均匀 三、解答题 17解: ()设 n a 的公差为 d ,由已知条件, 1 1 1 45 ad ad += + = ,解出 1 3a = , 2d = 所以 1 (1) 25 n aan d n=+ =+ () 2 1 (1) 4 2 n nn Sna d n n =+ =+ 2 4( 2)n= 所以 2n = 时, n S 取到最大值 4 18解: 如图,以 D 为原点, DA为单位长建立空间直角坐标系 Dxyz 则 (1 0 0)DA = , , uuur , (0 0 1)CC= ,

    15、, uuur 连结 BD, B D 在平面 BBDD中,延长 DP交 B D于 H 设 (1)(0)DH m m m=, uuur , 由已知 60DH DA=, o uuur uuur , A B C D P A B C D x y z H 由 cosDA DH DA DH DA DH=, uuuruuur uuruuur uur uuur g 可得 2 221mm=+ 解得 2 2 m = ,所以 22 1 22 DH = , uuur ()因为 22 001 2 22 cos 2 12 DH CC + + = = , uuur uuur , 所以 45DH CC=, o uuur uuu

    16、r 即 DP与 CC所成的角为 45 o ()平面 AA D D的一个法向量是 (0 1 0)DC = , , uuur 因为 22 0110 1 22 cos 2 12 DH DC + + = = , uuur uuur , 所以 60DH DC=, o uuur uuur 可得 DP与平面 AA D D 所成的角为 30 o 19解: ()由题设可知 1 Y 和 2 Y 的分布列分别为 Y 1 5 10 P 0.8 0.2 1 5 0.8 10 0.2 6EY = + =, 22 1 (5 6) 0.8 (10 6) 0.2 4DY = + =, 2 2 0.2 8 0.5 12 0.3

    17、8EY = + + =, 22 2 2 (2 8) 0.2 (8 8) 0.5 (12 8) 0.3 12DY = + + = () 12 100 () 100 100 xx f xD Y D Y =+ Y 2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 22 12 100 100 100 xx DY DY =+ 22 2 4 3(100 ) 100 x x=+ 22 2 4 (4 600 3 100 ) 100 xx=+, 当 600 75 24 x = 时, () 3fx= 为最小值 20解: ()由 2 C : 2 4y x= 知 2 (1 0)F , 设 11 ()M xy, , M 在

    18、 2 C 上,因为 2 5 3 MF = ,所以 1 5 1 3 x + = , 得 1 2 3 x = , 1 26 3 y = M 在 1 C 上,且椭圆 1 C 的半焦距 1c = ,于是 22 22 48 1 93 1. ab ba += = , 消去 2 b 并整理得 42 93740aa+=, 解得 2a = ( 1 3 a = 不合题意,舍去) 故椭圆 1 C 的方程为 22 1 43 xy += ()由 12 MFMF MN+= uuur uuuuruur 知四边形 12 MFNF 是平行四边形,其中心为坐标原点 O, 因为 lMN ,所以 l 与 OM 的斜率相同, 故 l

    19、的斜率 26 3 6 2 3 k = 设 l 的方程为 6( )yxm= 由 22 3412 6( ) xy y xm += = , , 消去 y 并化简得 22 916 8 40 xmxm+= 设 11 ()Ax y, , 22 ()B xy, , 12 16 9 m xx+= , 2 12 84 9 m xx = 因为 OA OB uur uuur ,所以 12 12 0 xx yy+= 12 12 12 1 2 6( )( )x xyyxx xmxm+=+ 2 12 1 2 76()6x xmxx m=+ 2 2 84 16 766 99 mm mm =+gg 2 1 (14 28) 0

    20、 9 m= 所以 2m = 此时 22 (16) 49(8 4) 0mm= , 故所求直线 l 的方程为 623yx=,或 623yx=+ 21解: () 2 1 () () fx a x b = + , 于是 2 1 23 2 1 0 (2 ) a b a b += + = + , , 解得 1 1 a b = = , , 或 9 4 8 . 3 a b = = , 因 abZ, ,故 1 () 1 fx x x =+ ()证明:已知函数 1 y x= , 2 1 y x = 都是奇函数 所以函数 1 ()gx x x =+也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形 而 1 () 1 1

    21、 1 fx x x =+ + 可知,函数 ()gx的图像按向量 (1 1)= ,a 平移,即得到函数 ()f x 的图像,故函数 ()f x 的图 像是以点 (1 1), 为中心的中心对称图形 ()证明:在曲线上任取一点 00 0 1 1 xx x + , 由 0 2 0 1 ()1 (1) fx x = 知,过此点的切线方程为 2 00 0 2 1 1 1() 1(1) xx yxx + = 令 1x = 得 0 0 1 1 x y x + = ,切线与直线 1x = 交点为 0 0 1 1 1 x x + , 令 yx= 得 0 21yx=,切线与直线 yx= 交点为 00 (2 1 2

    22、1)xx , 直线 1x = 与直线 yx= 的交点为 (1 1), 从而所围三角形的面积为 0 00 00 1112 12 1 1 2 2 2 21 21 x xx xx + = = 所以,所围三角形的面积为定值 2 22解: ()证明:因为 MA是圆 O的切线,所以 OA AM 又因为 APOM 在 Rt OAM 中,由射影定理知, 2 OA OM OP= g ()证明:因为 BK 是圆 O的切线, BNOK 同() ,有 2 OB ON OK= g ,又 OB OA= , 所以 OP OM ON OK=gg,即 ON OM OP OK = 又 NOP MOK= , 所以 ONP OMK

    23、,故 90OKM OPN= o 23解: () 1 C 是圆, 2 C 是直线 1 C 的普通方程为 22 1xy+ = ,圆心 1 (0 0)C , ,半径 1r = 2 C 的普通方程为 20 xy += 因为圆心 1 C 到直线 20 xy+ =的距离为 1, 所以 2 C 与 1 C 只有一个公共点 ()压缩后的参数方程分别为 1 C : cos 1 sin 2 x y = = , ( 为参数) ; 2 C : 2 2 2 2 4 xt yt = = , ( t 为参数) 化为普通方程为: 1 C : 22 41xy+=, 2 C : 12 22 yx=+, 联立消元得 2 22210 xx+=, 其判别式 2 (2 2) 4 2 1 0= = , 所以压缩后的直线 2 C 与椭圆 1 C 仍然只有一个公共点,和 1 C 与 2 C 公共点个数相同 24解: () 44 () 2 12 4 8 48. x fx x x x = + , , , , 图像如下: ()不等式 842xx,即 () 2fx , 由 2122x+=得 5x = 由函数 ()f x 图像可知,原不等式的解集为 (5), 1 1 O x y 2 3 4 2 4 -1-2 -2 8 -4


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