2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-广东卷.pdf

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1、 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项 ： 1.答卷前， 考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、 试室号、 座位号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔将试卷类型 （B） 填涂在答题卡相应位置上、 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相

2、应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点， 再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 锥体的体积公式 shV 3 1 = ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高。 如果事件 A 、 B 互斥，那么 )()()( BPAPBAP +=+ . 如果事件 A 、 B 相互独立，那么 ()()()PAB PA PB =. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 null1 2

3、2 1 , n ii i n i i xy nxy baybx xnx = = = = nullnull . 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合要求的. 1.已知函数 x xf = 1 1 )( 的定义域为 M ， )1ln()( xxg += 的定义域为 N ，则 = NM A. 1xx B. 1xx C. 11xx D. 2.若复数 )2)(1( ibi + 是纯虚数（ i 是虚数单位， b 是实数）则 b A.2 B. 2 1 C. 2 1 D.2 3.若函数 2 1 () sin ( ), () 2 f xxxRfx

4、=则是 A.最小正周期为 2 的奇函数 B.最小正周期为 的奇函数 C.最小正周期为 2 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数 4.客车从甲地以 60 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以 80 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发 .经过乙地，最后到达丙地 所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中，正确的是 A B C D 5.已知数 |a n |的前 n 项和 2 9 n Sn n=，第 k 项满足 58 k a ,则 k = A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6.图 1 是某县参加 2007 年高考 的学生身高条

5、形统计图， 从左到 右的各条形表示的学生人数依 次记为 A 1 、 A 2 、 A 10 （如 A 2 表示身高（单位： cm） （ 150， 155）内的学生人数） .图 2 是统 计图 1 中身高在一定范围内学 生人数的一个算法流程图 .现要 统计身高在 160180cm( 含 160cm,不含 180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写 的条件是 A. i6 B. i7 C. i8 D. i的焦点，则该抛物线的准线方 程是 . 12.如果一个凸多面体 n 棱锥， 那么这个凸多面体的所有顶点所确定的 直线共有 条.这些直线中共有 )(nf 对异面直线，则 )4(f 图 4 ;

6、)(nf .（答案用数字或 n 的解析式表示） 13.（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为 3 3 x t y t =+ = ， (参数 tR ),圆 C 的参数方程为 2cos 2sin 2 x y = = + (参数 02 ， )， 则圆 C 的圆心坐标 为 ，圆心到直线 l 的距离为 . 14.（不等式选讲选做题） 设函数 )2(,312)( += fxxxf 则 ;若 2)( xf ， 则 x 的取值范围是 . 15.（几何证明选讲选做题）如图 5 所示，圆 O 的直径 6=AB ， C 为圆周上一点， 3=BC ，过 C 作圆的切线 l

7、，过 A 作 l 的垂线 AD ， AD 分别与直线 l 、圆交于点 D 、 E ，则 DAC ，线段 AE 的长为 . 图 5 三、解答题：本大题共有 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） 已知 ABC 顶点的直角坐标分别为 )0,()0,0()4,3( cCBA 、 . （1）若 5=c ，求 sin A 的值; （2）若 A 是钝角，求 c 的取值范围. 17.(本题满分 12 分 ) 下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨 )与相应的生 产能耗 y(吨标准煤 )的几组对应数据 . x 3 4 5

8、 6 y 2.5 3 4 4.5 （ 1）请画出上表数据的散点图； （ 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y= axb null null + ; （ 3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤，试根据（ 2）求出的线性回 归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值： 3 2.5+4 3+5 4+6 4.5 66.5） 18.（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为 2 2 的圆 C 与直线 y x= 相 切于坐标原点 O.椭圆 9 2 2 2 y a

9、 x + 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为 10. （ 1）求圆 C 的方程 . （ 2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的 长 .若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 19.（本小题满分 14 分） 如图 6所示， 等腰 ABC的底边 AB=6 6 ,高 CD=3， 点 E 是线段 BD 上异于点 B、 D 的动点 .点 F 在 BC 边上， 且 EF AB.现沿 EF 将 BEF 折起到 PEF 的位置，使 PE AE.记 BEx= V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积 . （ 1）求 V(x)的

10、表达式； （ 2）当 x 为何值时， V(x)取得最大值？ (3）当 V(x)取得最大值时，求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值 20.（本小题满分 14 分） 已知 a 是实数，函数 2 () 2 2 3 .f xaxx a=+如果函数 ()y fx= 在区间 1,1 上有零 点，求 a 的取值范围 . 21.（本小题满分 14 分） 已知函数 2 () 1, fx x x =+ 、 是方程 () 0fx= 的两个根 () , ()f x 是 ()f x 的导数 .设 11 () 1, ( 1, 2, ) () n nn n fa aaa n fa + = = null , (1)求

11、、 的值； (2)证明：对任意的正整数 n，都有 n a ; (3)记 ln ( 1, 2, ) n n n a bn a = null ,求数列 n b 的前 n 项和 n S . 参考答案 一 . CADBB CBA 二 . 9. 1 9 10. 1 2 11. 5 4 x = 12. 2 2 nn+ ,12 , (1)(2) 2 nn n 13. (0,2), 2 2 14. 6, 1, 1 15. 30 , 3 null 三.解答题 16.(1)解 : 25AC = ,设 AC 中点为 M,则 525 cos sin 55 AM AA AB =; (2)解 : ( 3,4), (3,4

12、)AC c AB= = nullnullnullnull nullnullnullnull ,若 A 是钝角 ,则 25 3( 3) 16 0 3 AC AB c c=+ nullnullnullnull nullnullnullnull . 17. 解: (1) 散点图略 (2) 4 1 66.5 ii i XY = = 4 22222 1 345686 i i X = = += 4.5X = 3.5Y = 2 66.5 4 4.5 3.5 66.5 63 0.7 86 4 4.5 86 81 b = ; 3.5 0.7 4.5 0.35aYbX= 所求的回归方程为 0.7 0.35yx=+

13、 (3) 100 x = , 100 0.7 0.35 70.35y =+ = 吨, 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 70.35 19.65 = (吨) 18. 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (,)mn 则 , 0, 0 22 2 mn mn mn = = 解得 2 2 m n = = 所求的圆的方程为 22 (2)(2)8xy+= (2) 由已知可得 210a = 5a = 椭圆的方程为 22 1 25 9 xy += , 右焦点为 (4,0)F . 设存在点 (, )Qxy C 满足条件 ,则 22 22 (2)(2)8 (4) 16 xy xy + + = +=

14、 解得 412 (, ) 55 Q 故存在符合要求的点 412 (, ) 55 Q . 19.解 : (1) 11 (9 6 ) (0 3 6) 32 6 x Vxxx=即 3 6 36 36 Vxx= (0 3 6)x (6,3 6)x 时 , 0;V, 当 1 22 1, ),( , ) 22 x x 时 , 0a , a 在两个区间上分别递增 ; 当 1 22 (, ),( ,1 22 xx 时 , 0a , a 在两个区间上分别递减 ; 由 1x = 时 , 5,a = 1x = 时 , 1a = , 1 37 2 x = 时 , 37 2 a + = P z y x D F E C

15、B A 37 (, 1,) 2 a + + 分析如图 : 解法二 : 若 0a = , () 2 3f xx= ,显然在上没有 零点 , 所以 0a 令 () 2 48 3 8 24 4 0aaa a= + + = + + = 得 37 2 a = 当 37 2 a = 时 , ()yfx= 恰有一个零点在 1,1 上 ; 当 ()()( )( )11 1 50ffaa = 即 15a = + + 或 () () 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 解得 5a 或 37 2 a 命题成立; 假设当 * (1, )nkk kN=时命题成立,即 51 , 2 k a

16、 2 1 51 1 151 82 2 1 21 2 2 162 2 k k k k k a a a a a + + + =+= + + ,又等号成立时 51 , 2 k a = 51 2 k a 时, 1k a + 1nk =+时命题成立;由知对任意 * nN 均有 n a . (3) () 2 1f xx =+ 22 1 11 2121 nn n nn aa a aa + + + = = + + 1n a + = 222 2 1()( 1)() 21 21 21 nn n aa a + + = = + 同理 1n a + = 2 () 21 n n a a + 211 ()ln 2ln nn aa a a + = = 1 2 nn bb + = 又 1 1 1 35 15 ln ln 4ln 2 35 a b a + + = 数列 n b 是一个首项为 15 4ln 2 + ,公比为 2 的等比数列; () () 15 4ln 1 2 15 2 42 1ln 12 2 n n n S + + = .