2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-陕西卷.pdf

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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西） 理科数学 （必修+选修） 注意事项： 1.本试卷分第一部分和第二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。 2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号、并在答题卡上填涂对应 的试卷类型信息点。 3.所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回。 第一部分（共 60 分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分） . 1.在复平面内，复数 z= i+2 1 对应的点位于 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第在象限

2、（ D）第四象限 2.已知全信 U（ 1， 2， 3， 4， 5） ，集合 A 23Z xx ,则集合 C u A 等于 （ A） 4,3,2,1 （ B） 4,3,2 (C) 5,1 (D) 5 3.抛物线 y=x 2 的准线方程是 （ A） 4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0 4.已知 sin = 5 5 ，则 sin 4 -cos 4 的值为 （ A） - 5 1 (B)- 5 3 (C) 5 1 (D) 5 3 5.各项均为正数的等比数列 n a 的前 n 项和为 S n ，若 S n =2,S 30 =14,则 S 40 等于 （ A） 80 （

3、 B） 30 (C)26 (D)16 6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该 球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 （ A） 4 33 (B) 3 3 (C) 4 3 (D) 12 3 7.已知双曲线 C： 1 2 2 2 2 = b y c a (a 0,b 0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的浙近线相切的圆的 半径是 A. ab B. 22 ba + C.a D.b 8.若函数 f(x)的反函数为 f )( 1 x ,则函数 f(x-1)与 f )1( 1 x 的图象可能是 9.给出如下三个命题： 四个非零实数 a、 b、 c、 d 依次成等比数列的

4、充要条件是 ad=bc; 设 a,b R，则 ab 0 若 b a 1，则 a b 1； 若 f(x)=log 2 2x=x,则 f（ |x|）是偶函数 . 其中不正确命题的序号是 A. B. C. D. 10.已知平面平面，直线 m，直线 n ，点 A m,点 B n，记点 A、 B 之间的距离 为 a,点 A 到直线 n 的距离为 b,直线 m 和 n 的距离为 c,则 A.b a c B.a c b C. c a b D. c b a 11.f(x)是定义在（ 0，）上的非负可导函数，且满足 xf(x)+f(x) 0,对任意正数 a、 b,若 a b， 则必有 A.af(b) bf(a)

5、 B.bf(a) af(b) C.af(a) f(b) D.bf(b) f(a) 12.设集合 S=A 0 ， A 1 ， A 2 ， A 3 ，在 S 上定义运算 为： A 1 A=A b ,其中 k 为 I+j 被 4 除的 余数， I,j=0,1,2,3.满足关系式 =（ xx） A 2 =A 0 的 x(x S)的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 第二部分（共 90 分） 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） . 13. = + + 1 1 2 12 lim 2 1 x xx x x . 14.已知实数 x、 y 满足

6、条件 + + ,033 ,022 ,042 yx yx yx ，则 z=x+2y 的最大值为 . 15.如图，平面内有三个向量 OA、 OB 、 OC ,其中与 OA与 OB 的夹 角为 120， OA与 OC 的夹角为 30 ,且 | OA | | OB | 1， | OC | 32 ，若 OC OA + OB （ ， R） ,则 + 的值 为 . 16.安排 3 名支教老师去 6 所学校任教，每校至多 2 人，则不同的分配方案共有 种 . （用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） . 17.（本小题满分 12 分） 设函数 f(

7、x)=a-b,其中向量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x R,且函数 y=f(x)的图象经过点 2, 4 ， （）求实数 m 的值； （）求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合 . 18.（本小题满分 12 分） 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被 淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 5 4 、 5 3 、 5 2 ，且各轮问 题能否正确回答互不影响 . （）求该选手被淘汰的概率； （）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数数期望 .（注： 本小题结果可用分数表示） 19.

8、(本小题满分 12 分 ) 如图 ,在底面为直角梯形的四棱锥 ,/, BCADABCDP 中 ,90=ABC 平面PA v 32,2,4 = ABADPA ,BC=6. ( )求证 :BD ;PACBD 平面 ( )求二面角 DBDP 的大小 . 20.(本小题满分 12 分 ) 设函数 f(x)= , 2 2 aaxx c + 其中 a 为实数 . ( )若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围 ; ( )当 f(x)的定义域为 R 时，求 f(x)的单减区间 . 21. (本小题满分 14 分 ) 已知椭圆 C: 1 2 2 2 2 =+ b y a x （ a b 0）的离心率为

9、, 3 6 短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2 3 ，求 AOB 面积 的最大值 . 22. (本小题满分 12 分 ) 已知各项全不为零的数列 a k 的前 k 项和为 S k ,且 S k + kaa kk ( 2 1 1 N * ),其中 a 1 =1. ( )求数列 a k 的通项公式 ; ( )对任意给定的正整数 n(n 2),数列 b k 满足 1 1 + + = bk k a nk b b （ k=1,2,， n-1） ,b 1 =1. 求 b 1 +b 2

10、 + +b n . 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 数 学（理工农医类）参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13 1 3 14 8 15 6 16 210 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 17 （本小题满分 12 分） 解： （） () (1 sin2) cos2f xabm

11、 x x=+ +i ， 由已知 1sin cos 2 42 fm =+ + = ，得 1m = （）由（）得 () 1 sin2 cos2 1 2sin2 4 fx x x x =+ + =+ + ， 当 sin 2 1 4 x += 时， ()f x 的最小值为 12 ， 由 sin 2 1 4 x += ，得 x 值的集合为 3 8 xx k k = Z， 18 （本小题满分 12 分） 解法一： （）记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 (123) i Ai= ， ， ，则 1 4 () 5 PA = ， 2 3 () 5 PA = ， 3 2 () 5 PA = ， 该选手被

12、淘汰的概率 112 223 1 1 2 1 2 3 ( ) () ()() ()()()P PA AA AAA PA PA PA PA PA PA=+ = + + 1 4 2 4 3 3 101 5 5 5 5 5 5 125 =+= （） 的可能值为 123， ， 1 1 (1) () 5 PPA = =， 12 1 2 42 8 (2)( )()() 55 25 PPAPAPA = = = ， 12 1 2 43 12 (3) ( )()() 55 25 P PAA PA PA = = = 的分布列为 1 2 3 P 1 5 8 25 12 25 1 8 12 57 12 3 525252

13、5 E =+ + = 解法二： （）记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 (123) i Ai= ， ， ，则 1 4 () 5 PA = ， 2 3 () 5 PA = ， 3 2 () 5 PA = 该选手被淘汰的概率 123 1 2 3 1( )1()()()PPAA PAPAPA= = 4 3 2 101 1 555 125 = = （）同解法一 19 （本小题满分 12 分） 解法一 ： （） PA 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD BDPA 又 3 tan 3 AD ABD AB =， tan 3 BC BAC AB = 30ABD = null ， 60BAC

14、= null ， 90AEB = null ，即 BDAC 又 PA AC A= BD 平面 PAC （）过 E 作 EFPC ，垂足为 F ，连接 DF DE 平面 PAC ， EF 是 DF 在平面 PAC 上的射影，由三垂线定理知 PC DF ， EFD 为二面角 A PC D的平面角 又 90 30DAC BAC= = nullnull ， sin 1DE AD DAC =， sin 3AE AB ABE=， 又 43AC = ， 33EC = ， 8PC = 由 Rt RtEFC PAC 得 33 2 PA EC EF PC = i 在 Rt EFD 中， 23 tan 9 DE E

15、FD EF = ， 23 arctan 9 EFD = 二面角 APCD的大小为 23 arctan 9 A E D P C B F 解法二： （）如图，建立坐标系， 则 (000)A ， ， ， (2 3 0 0)B ， ， ， (2 3 6 0)C ， ， ， (0 2 0)D ， ， ， (0 0 4)P ， ， ， (0 0 4)AP = nullnullnullnull ， ， ， (2 3 6 0)AC = nullnullnullnull ， ， ， (2320)BD = nullnullnullnull ， ， ， 0BD AP = nullnullnullnull nulln

16、ullnullnull i ， 0BD AC = nullnullnullnull nullnullnullnull i BDAP ， BDAC ， 又 PA AC A= ， BD 平面 PAC （）设平面 PCD 的法向量为 (1)x y= ，n ， 则 0CD = nullnullnullnull in ， 0PD = nullnullnullnull in ， 又 (23 40)CD = nullnullnullnull ， ， (0 2 4)PD = nullnullnullnull ， ， ， 23 4 0 240 xy y = = ， ， 解得 43 3 2 x y = = ， ，

17、 43 21 3 = ， ，n 平面 PAC 的法向量取为 ( ) 2320BD= nullnullnullnull ， ，m ， cos = = imn n mn 二面角 APCD的大小为 393 arccos 31 20 （本小题满分 12 分） 解： （） ()f x 的定义域为 R ， 2 0 xaxa +恒成立， 2 40aa= ， 04a ，即当 04a时 ()f x 的定义域为 R （） 22 (2)e () () x xx a fx x ax a + = + ，令 () 0fx ，得 (2)0 xx a+ 由 () 0fx = ，得 0 x = 或 2x a=，又 04a ，

18、02a 时，由 () 0fx 得 02x a； 当 2a = 时， () 0fx ；当 24a时，由 () 0fx 得 20ax ， 即当 02a时， ()f x 的单调减区间为 (0 2 )a， ； A E D P C B y z x 当 24a时， ()f x 的单调减区间为 (2 0)a ， 21 （本小题满分 14 分） 解： （）设椭圆的半焦距为 c ，依题意 6 3 3 c a a = = ， ， 1b = ， 所求椭圆方程为 2 2 1 3 x y+= （）设 11 ()Ax y， ， 22 ()B xy， （ 1）当 AB x 轴时， 3AB = （ 2）当 AB 与 x 轴不

19、垂直时， 设直线 AB 的方程为 ykxm=+ 由已知 2 3 2 1 m k = + ，得 22 3 (1) 4 mk=+ 把 y kx m=+代入椭圆方程，整理得 22 2 (3 1) 6 3 3 0kxkmxm+ +=， 12 2 6 31 km xx k += + ， 2 12 2 3( 1) 31 m xx k = + 2 22 21 (1 )( )AB k x x =+ 22 2 2 22 2 36 12( 1) (1 ) (3 1) 3 1 km m k kk =+ + 22222 22 22 12( 1)(3 1 ) 3( 1)(9 1) (3 1) (3 1) kkmkk+

20、+ = 2 42 2 2 12 12 12 33(0)34 1 961 236 96 k k kk k k =+ =+ + = + + + 当且仅当 2 2 1 9k k = ，即 3 3 k = 时等号成立当 0k = 时， 3AB = ， 综上所述 max 2AB = 当 AB 最大时， AOB 面积取最大值 max 133 222 SAB= = 22 （本小题满分 12 分） 解： （）当 1k = ，由 11 12 1 2 aS aa= 及 1 1a = ，得 2 2a = 当 2k 时，由 111 11 22 kkk kk kk aSS aa aa + = = ，得 11 ()2 k

21、k k k aa a a + = 因为 0 k a ，所以 11 2 kk aa + =从而 21 1( 1)2 2 1 m amm = + =i 2 2( 1)22 m am m=+ =i ， * mN 故 * () k akk=N （）因为 k ak= ，所以 1 1 1 k kk b nk nk ba k + + = = + 所以 11 2 1 12 1 (1)(2)(1) (1) 1 (1) 21 kkk k kk bb bnknkn bb b kk + = null iinullii i i iinulli 1 1 (1) ( 12 ) kk n Ck n n = =inull， ， 故 123 n bbb b+null 123 1 1 (1) nn nn n n CCC C n =+ null 012 11 1(1) nn nnn n CCC C=+ = nulli 卷选择题答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12