2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-辽宁卷.pdf

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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（供文科考生使用） 本试卷分第卷（选择题）和第卷 （非选择题）两部分第卷 1 至 2 页， 第卷 3 至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 （选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PAPB=ii 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P ，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球

2、的半径 () (1 ) kk nk nn Pk Cp p = 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1若集合 1 3A= ， ， 234B= ， ， ，则 AB= （ ） A 1 B 2 C 3 D 1 2 3 4， ， ， 2若函数 ()y fx= 的反函数 图象过点 (1 5)， ，则函数 ()y fx= 的图象必过点（ ） A (5 1)， B (1 5)， C (1 1)， D (5 5)， 3双曲线 22 1 16 9 xy =的焦点坐标为（ ） A (70) ， ， (70)， B (0 7)， ， (

3、0 7)， C (50) ， ， (5 0)， D (0 5)， ， (0 5)， 4若向量 a 与 b 不共线， 0iab ，且 i i aa c=a b ab ，则向量 a 与 c的夹角为（ ） A 0 B 6 C 3 D 2 5设等差数列 n a 的前 n项和为 n S ，若 3 9S = ， 6 36S = ，则 789 aaa+ +=（ ） A 63 B 45 C 36 D 27 6若 mn， 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题 是 （ ） A若 m ， ，则 m B若 m ， m ，则 C若 ， ，则 D 若 m = ， n = ， mn ， 则 7若函

4、数 ()yfx= 的图象按向量 a 平移后，得到函数 (1)2yfx= 的图象，则向量 a= （ ） A (1 2)， B (1 2)， C (1 2)， D (12) ， 8已知变量 x y， 满足约束条件 20 1 70 xy x xy + + ， ， ， 则 y x 的取值范围是（ ） A 9 6 5 ， B ) 9 6 5 + ， C ( ) 36 +， D 3 6， 9函数 2 1 2 log ( 5 6)yxx=+的单调增区间为（ ） A 5 2 + ， B (3 )+， C 5 2 ， D (2)， 10一个坛子里有编号为 1， 2， 12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到

5、 6 号球是红球，其 余的是黑球若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率 为（ ） A 1 22 B 1 11 C 3 22 D 2 11 11设 p q， 是两个命题： 2 51 :| | 3 0 : 0 66 px qx x + ， ，则 p 是 q的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 12将数字 1， 2， 3， 4， 5， 6 拼成一列，记第 i 个数为 i (i 1 2 6)a = null， ， ，若 1 1a ， 3 3a ， 5 5a ， 135 aaa ） （ I）求函数 ()f x 的值域；

6、 （ II）若函数 ()y fx= 的图象与直线 1y = 的两个相邻交点间的距离为 2 ，求函数 ()yfx= 的单调增区间 20 （本小题满分 12 分） 1 A 1 C 1 B C B A M D E 已知数列 n a ， n b 满足 1 2a = ， 1 1b = ，且 11 11 31 1 44 13 1 44 nn n nn n aa b ba b = + = + （ 2n ） （ I）令 nnn cab=+，求数列 n c 的通项公式； （ II）求数列 n a 的通项公式及前 n项和公式 n S 21 （本小题满分 14 分） 已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 2

7、2y x= 上，其中 O 为坐标原点，设圆 C 是 OAB 的内接圆（点 C 为圆心） （ I）求圆 C 的方程； （ II）设圆 M 的方程为 22 (47cos)(7sin)1xy + =，过圆 M 上任意一点 P 分别作 圆 C 的两条切线 PE PF， ，切点为 E F， ，求 CECF nullnullnullnullnullnullnullnull ， 的最大值和最小值 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 32 2 ( ) 9 cos 48 cos 18sinfx x x x = + + ， () ()gx f x= ，且对任意的实数 t 均有 (1 cos ) 0gt+ ，

8、 (3 sin ) 0gt+ （ I）求函数 ()f x 的解析式； （ II）若对任意的 266m ， ，恒有 2 () 11fx x mx ，求 x 的取值范围 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供文科考生使用）试题答案与评分参考 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细 则。 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变试题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如

9、果后继部分的解答较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。 （ 1） C（ 2） A（ 3） C（ 4） D（ 5） B（ 6） B（ 7） C（ 8） A（ 9） D（ 10） D（ 11） A （ 12） B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，共 16 分。 （ 13） 1（ 14） 72（ 15） 4 3 n （ 16） 2 三、解答题 （ 17）本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验

10、等基础知识，考查 运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分 12 分 . （）解： 分组 500， 900 900， 1100 1100， 1300 1300， 1500 1500， 1700 1700， 1900 1900， + 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 4 分 （）解：由（）可得 0.048+0.121+0.208+0.223 0.6，所以灯管使用寿命不是 1500 小时的频率为 0.6. 8 分 （）解：由（）知： 1 只灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 P=

11、0.6.根据在 n 次独 立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率公式可得 648.06.04.06.0)3()2( 221 131 =+=+ CPP 。 所以至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.648. 12 分 （ 18）本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与 思维能力。满分 12 分。 （）证明：连结 CD， 三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 是直三棱柱。 CC 1 平面 ABC， CD 为 C 1 D 在平面 ABC 内的射影， ABC 中， AC=BC， D 为 AB 中点。 AB CD， AB C 1 D， A 1 B

12、1 AB， A 1 B 1 C 1 D。 （）解法一：过点 A 作 CE 的平行线，交 ED 的延长线于 F，连结 MF. D、 E 分别为 AB、 BC 的中点。 DE AC。 又 AF CE， CE AC， AF DE。 MA平面 ABC， AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影。 MF DE， MFA 为二面角 M-DE-A 的平面角， MFA 30。 在 Rt MAF 中， AF = 30, 22 1 MFA a BC , AM= a 6 3 . 作 AC MF，垂足为 G。 MF DE,AF DE, DE平面 AMF, 平面 MDE平面 AMF. AG平面 MDE 在 Rt GAF

13、 中， GFA 30， AF= 2 a , AG= 4 a ,即 A 到平面 MDE 的距离为 4 a 。 CA DE, CA平面 MDE, C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等，为 4 a 。 解法二：过点 A 作 CE 的平行线，交 ED 的延长线于 F，连结 MF， D、 E 分别为 AB、 CB 的中点， DE AC, 又 AF CE,CE AC, AF DE, MA平面 ABC, AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影， MF DE, MFA 为二面角 M-DE-A 的平面角， MFA 30。 在 Rt MAF 中， AF= 2 1 BC= = 30, 2

14、MFA a , AM= a 6 3 . 8 分 设 C 到平面 MDE 的距离为 h。 MOCCCDEM VV = , hSMAS MDECDE = 3 1 3 1 , aMA a DECES CDE 6 3 , 82 1 2 = , 2 12 3 30cos2 1 2 1 a AF DEMFCES MDE = = , haa a = 2 2 12 3 3 1 6 3 83 1 ， h= 4 a ，即 C 到平面 MDE 的距离为 4 a 。 12 分 19.本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三 角函数有关知识的能力。满分 12 分。 （）解： .1) 6

15、sin(cos2 1)cos 2 1 sin 2 3 (2 )1(coscos 2 1 sin 2 3 cos 2 1 sin 2 3 )( = = += xx xxxxxxf 5 分 由 -1 ) 6 sin(cos x 1，得 -3 1) 6 sin(cos2 x 1。 可知函数 )(xf 的值域为 -3,1 . 7 分 （）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知， )(xfy = 的周其为 w，又由 w 0， 得 w 2 ，即得 w=2。 于是有 1) 6 2sin(2)( = xxf ，再由 Z)( 2 2 6 2 2 2 + kkk ，解得 Z)( 36 + kkxk 。 所以 )(

16、xfy = 的单调增区间为 Z)( 3 , 6 kkk （ 20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分 12 分。 （）解：由题设得 )2(2)( 11 +=+ + nbaba nnnn ，即 （）解：由题设得 )2)( 2 1 11 = nbaba nnnn ，令 nnn bad = ，则 )2( 2 1 1 = ndd nn 。 易知 d n 是首项 1= nn ba ，公比为 2 1 的等比数列，通项公式为 d n 1 2 1 n 8 分 由于 = +=+ 1 2 1 ,12 n nn nn ba nba 解得 a n 2 1 2 1 + n n 。 10

17、分 求和得 1 2 2 1 2 += n n S n n 。 12 分 （ 21）本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合 运用解析几何知识解决问题的能力。满分 14 分。 （）解法一：设 A、 B 两点坐标分别为（ 1 2 1 , 2 y y ） ， （ 2 2 2 , 2 y y ） ，由题设知 2 21 2 2 2 2 12 2 2 2 22 1 2 2 1 )() 22 () 2 () 2 ( yy yy y y y y +=+=+ ， 解得 12 2 2 2 1 = yy ， 所以 A（ 6， 2 3 ） ， B（ 6， -2 3 ）或 A（ 6， -2

18、 3 ） ， B（ 6， 2 3 ） 。 设圆心 C 的坐标为（ r,0） ，则 46 3 2 =r ，所以圆 C 的方程为 .16)4( 22 =+ yx 4 分 解法二：设 A、 B 两点坐标分别为（ x 1 ， y 1 ） ， （ x 2 ， y 2 ） ，由题设知 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx +=+ 又因为 2 2 21 2 1 2,2 xyxy = ，可得 2 2 11 2 1 22 xxxx +=+ ，即 0)2)( 2121 =+ xxxx 。 由 00 21 ，xx ，可知 x 1 0，故 A、 B 两点关于 x 轴对称，所以圆心 C 在 x 轴上， 设 C 点的坐标为（ r,0） ，则 A 点的坐标为（ r 2 3 , 2 3 ） ，于是有 rr 2 3 2) 2 3 ( 2 = ，解得 r=4，所以圆 C 的方程为 16)4( 22 =+ yx 。 4 分 （）解：设 ECF 2a，则 16cos322cos| 2 = aaCFCECFCE 8 分 在 Rt PCE 中， | 4 | cos PCPC r a = ，由圆的几何性质得