2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学及答案解析.docx

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1、2018年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (江 苏 卷 )数 学一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70分 .请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置上 .1.已 知 集 合 A=0， 1， 2， 8， B= 1， 1， 6， 8， 那 么 A B=_.解 析 ： A=0， 1， 2， 8， B= 1， 1， 6， 8， A B=0， 1， 2， 8 1， 1， 6， 8=1， 8，答 案 ： 1， 82.若 复 数 z满 足 i z=1+2i， 其 中 i 是 虚 数 单 位 ， 则 z 的 实 部

2、 为 _.解 析 ： 由 i z=1+2i，得 21 21 2 2i iiz ii i ， z 的 实 部 为 2. 答 案 ： 23.已 知 5 位 裁 判 给 某 运 动 员 打 出 的 分 数 的 茎 叶 图 如 图 所 示 ， 那 么 这 5 位 裁 判 打 出 的 分 数 的 平均 数 为 _.解 析 ： 根 据 茎 叶 图 中 的 数 据 知 ，这 5 位 裁 判 打 出 的 分 数 为 89、 89、 90、 91、 91，它 们 的 平 均 数 为 15 (89+89+90+91+91)=90.答 案 ： 904.一 个 算 法 的 伪 代 码 如 图 所 示 ， 执 行 此

3、算 法 ， 最 后 输 出 的 S 的 值 为 _. 解 析 ： 模 拟 程 序 的 运 行 过 程 如 下 ；I=1， S=1，I=3， S=2，I=5， S=4，I=7， S=8，此 时 不 满 足 循 环 条 件 ， 则 输 出 S=8.答 案 ： 85.函 数 2log 1f x x 的 定 义 域 为 _.解 析 ： 由 题 意 得 ： 2log x 1，解 得 ： x 2， 函 数 f(x)的 定 义 域 是 2， + ).答 案 ： 2， + )6.某 兴 趣 小 组 有 2名 男 生 和 3 名 女 生 ， 现 从 中 任 选 2 名 学 生 去 参 加 活 动 ， 则 恰 好

4、 选 中 2名 女生 的 概 率 为 _.解 析 ： (适 合 理 科 生 )从 2名 男 同 学 和 3名 女 同 学 中 任 选 2人 参 加 社 区 服 务 ，共 有 C52=10种 ， 其 中 全 是 女 生 的 有 C32=3种 ，故 选 中 的 2人 都 是 女 同 学 的 概 率 P= 310=0.3，(适 合 文 科 生 )， 设 2名 男 生 为 a， b， 3名 女 生 为 A， B， C，则 任 选 2 人 的 种 数 为 ab， aA， aB， aC， bA， bB， Bc， AB， AC， BC 共 10种 ，其 中 全 是 女 生 为 AB， AC， BC 共 3

5、种 ，故 选 中 的 2人 都 是 女 同 学 的 概 率 P= 310=0.3， 答 案 ： 0.37.已 知 函 数 y=sin(2x+ )( 2 2 )的 图 象 关 于 直 线 x= 3 对 称 ， 则 的 值 为 _.解 析 ： y=sin(2x+ )( 2 2 )的 图 象 关 于 直 线 x= 3 对 称 ， 2 3 2k ， k Z，即 =k 6 ， 2 2 ， 当 k=0时 ， = 6 ， 答 案 ： 68.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 若 双 曲 线 222 2 1yxa b (a 0， b 0)的 右 焦 点 F(c， 0)到 一 条渐 近 线 的 距

6、离 为 32 c， 则 其 离 心 率 的 值 为 _.解 析 ： 双 曲 线 222 2 1yxa b (a 0， b 0)的 右 焦 点 F(c， 0)到 一 条 渐 近 线 by xa 的 距 离 为32 c，可 得 ： 2 321 bca b cba ， 可 得 2 2 234c a c ， 即 c=2a，所 以 双 曲 线 的 离 心 率 为 ： 2ce a .答 案 ： 2 9.函 数 f(x)满 足 f(x+4)=f(x)(x R)， 且 在 区 间 ( 2， 2上 ， f(x)= 1c 2os 0 22 2 0 x xx x ， ， ，则 f(f(15)的 值 为 _.解 析

7、： 由 f(x+4)=f(x)得 函 数 是 周 期 为 4 的 周 期 函 数 ，则 f(15)=f(16 1)=f( 1)=| 1+ 12 |= 12 ， 1 1 22 2cos co 2s2 4f ，即 f(f(15)= 22 .答 案 ： 22 10.如 图 所 示 ， 正 方 体 的 棱 长 为 2， 以 其 所 有 面 的 中 心 为 顶 点 的 多 面 体 的 体 积 为 _.解 析 ： 正 方 体 的 棱 长 为 2， 中 间 四 边 形 的 边 长 为 ： 2 ，八 面 体 看 做 两 个 正 四 棱 锥 ， 棱 锥 的 高 为 1，多 面 体 的 中 心 为 顶 点 的 多

8、 面 体 的 体 积 为 ： 1 2 33 42 12 .答 案 ： 43 11.若 函 数 f(x)=2x3 ax2+1(a R)在 (0， + )内 有 且 只 有 一 个 零 点 ， 则 f(x)在 1， 1上 的最 大 值 与 最 小 值 的 和 为 _.解 析 ： 函 数 f(x)=2x3 ax2+1(a R)在 (0， + )内 有 且 只 有 一 个 零 点 ， f (x)=2x(3x a)， x (0， + )， 当 a 0 时 ， f (x)=2x(3x a) 0，函 数 f(x)在 (0， + )上 单 调 递 增 ， f(0)=1， f(x)在 (0， + )上 没 有

9、零 点 ， 舍 去 ； 当 a 0 时 ， f (x)=2x(3x a) 0 的 解 为 x 3a ， f(x)在 (0， 3a )上 递 减 ， 在 ( 3a ， + )递 增 ，又 f(x)只 有 一 个 零 点 ， 3 1 0273 af a ， 解 得 a=3，f(x)=2x 3 3x2+1， f (x)=6x(x 1)， x 1， 1，f (x) 0的 解 集 为 ( 1， 0)，f(x)在 ( 1， 0)上 递 增 ， 在 (0， 1)上 递 减 ，f( 1)= 4， f(0)=1， f(1)=0， f(x)min=f( 1)= 4， f(x)max=f(0)=1， f(x)在 1

10、， 1上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 和 为 ：f(x)max+f(x)min= 4+1= 3.答 案 ： -312.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， A 为 直 线 l： y=2x 上 在 第 一 象 限 内 的 点 ， B(5， 0)， 以 AB 为直 径 的 圆 C与 直 线 l交 于 另 一 点 D.若 0AB CD ， 则 点 A 的 横 坐 标 为 _.解 析 ： 设 A(a， 2a)， a 0， B(5， 0)， C( 52a ， a)，则 圆 C的 方 程 为 (x 5)(x a)+y(y 2a)=0.联 立 25 2 0y xx x a y y a ，

11、解 得 D(1， 2). 2 23 2 155 2 2 2 4 02 2a a aAB CD a a a a a ， ， . 解 得 ： a=3或 a= 1.又 a 0， a=3.即 A 的 横 坐 标 为 3.答 案 ： 313.在 ABC中 ， 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， ABC=120 ， ABC的 平 分 线 交 AC于 点 D， 且 BD=1， 则 4a+c 的 最 小 值 为 _.解 析 ： 由 题 意 得 12 acsin120 = 12 asin60 +12 csin60 ，即 ac=a+c，得 1 1 1a c ，得 1 1 4 44 4

12、 5 2 5 4 5 9c a c aa c a c a c a c a c ， 当 且 仅 当 4c aa c ， 即 c=2a 时 ， 取 等 号 .答 案 ： 914.已 知 集 合 A=x|x=2n 1， n N*， B=x|x=2n， n N*.将 A B的 所 有 元 素 从 小 到 大 依 次排 列 构 成 一 个 数 列 an， 记 Sn为 数 列 an的 前 n项 和 ， 则 使 得 Sn 12an+1成 立 的 n 的 最 小 值 为_.解 析 ： 利 用 列 举 法 可 得 ： 526 2 1 221 1 41 441 62 5032 1 2S ， a 27=43， 12

13、a27=516， 不 符 合 题 意 . 627 2 1 222 1 43 5462 1 2S ， 28=451228=540， 符 合 题 意 ，答 案 ： 27二 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 计 90分 .请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 文 字说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .15.在 平 行 六 面 体 ABCD A 1B1C1D1中 ， AA1=AB， AB1 B1C1.求 证 ： (1)AB 平 面 A1B1C；(2)平 面 ABB1A1 平 面 A1BC. 解 析 ： (1)由 1 1 1 11

14、 1 1 1AB ABAB ABCAB ABC 不 在 平 面 内平 面 AB 平 面 A1B1C；(2)可 得 四 边 形 ABB1A1是 菱 形 ， AB1 A1B，由 AB1 B1C1AB1 BCAB1 面 A1BC， 平 面 ABB1A1 平 面 A1BC.答 案 ： 证 明 ： (1)平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1中 ， AB A1B1，1 1 1 11 1 1 1AB ABAB ABCAB ABC 不 在 平 面 内平 面 AB 平 面 A 1B1C；(2)在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1中 ， AA1=AB， 四 边 形 ABB1A1是 菱 形

15、， AB1 A1B.在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1中 ， AA1=AB， AB1 B1C1AB1 BC. 1 1 111 1 1AB AB AB BCAB BC BAB ABC BC ABC ，面 ， 面AB 1 面 A1BC， 且 AB1平 面 ABB1A1平 面 ABB1A1 平 面 A1BC.16.已 知 ， 为 锐 角 ， tan = 43 ， cos( + )= 55 .(1)求 cos2 的 值 ；(2)求 tan( )的 值 .解 析 ： (1)由 已 知 结 合 平 方 关 系 求 得 sin ， cos 的 值 ， 再 由 倍 角 公 式 得 cos2 的

16、 值 ；(2)由 (1)求 得 tan2 ， 再 由 cos( + )= 55 求 得 tan( + )， 利 用 tan( )=tan2 ( + )， 展 开 两 角 差 的 正 切 求 解 .答 案 ： (1)由 2 2sin 4cos 3sin cos 1 为 锐 角 ， 解 得 4sin 53cos 5 ， cos2 = 2 2 7cos sin 25 ；(2)由 (1)得 ， sin2 2sin cos 2425 ， 则 tan2 = sin2 24cos2 7 . ， (0， 2 )， + (0， )， 2 2sin 1 co 5s 5 . 则 sintan 2cos . tan(

17、 )=tan2 ( + )= tan 2 tan 2111 tan 2 tan .17.某 农 场 有 一 块 农 田 ， 如 图 所 示 ， 它 的 边 界 由 圆 O 的 一 段 圆 弧 MPN(P 为 此 圆 弧 的 中 点 )和 线 段 MN 构 成 .已 知 圆 O 的 半 径 为 40 米 ， 点 P 到 MN 的 距 离 为 50米 .现 规 划 在 此 农 田 上 修 建两 个 温 室 大 棚 ， 大 棚 内 的 地 块 形 状 为 矩 形 ABCD， 大 棚 内 的 地 块 形 状 为 CDP， 要 求 A， B均 在 线 段 MN上 ， C， D 均 在 圆 弧 上 .设

18、OC与 MN 所 成 的 角 为 .(1)用 分 别 表 示 矩 形 ABCD和 CDP的 面 积 ， 并 确 定 sin 的 取 值 范 围 ；(2)若 大 棚 I 内 种 植 甲 种 蔬 菜 ， 大 棚 内 种 植 乙 种 蔬 菜 ， 且 甲 、 乙 两 种 蔬 菜 的 单 位 面 积 年 产值 之 比 为 4： 3.求 当 为 何 值 时 ， 能 使 甲 、 乙 两 种 蔬 菜 的 年 总 产 值 最 大 . 解 析 ： (1)根 据 图 形 计 算 矩 形 ABCD和 CDP的 面 积 ， 求 出 sin 的 取 值 范 围 ；(2)根 据 题 意 求 出 年 总 产 值 y 的 解

19、析 式 ， 构 造 函 数 f( )，利 用 导 数 求 f( )的 最 大 值 ， 即 可 得 出 为 何 值 时 年 总 产 值 最 大 .答 案 ： (1)S 矩 形 ABCD=(40sin +10) 80cos=800(4sin cos +cos )，S CDP= 12 80cos (40 40sin )=1600(cos cos sin )，当 B、 N 重 合 时 ， 最 小 ， 此 时 sin = 14 ；当 C、 P 重 合 时 ， 最 大 ， 此 时 sin =1， sin 的 取 值 范 围 是 14 ， 1)；(2)设 年 总 产 值 为 y， 甲 种 蔬 菜 单 位 面

20、 积 年 产 值 为 4t， 乙 种 蔬 菜 单 位 面 积 年 产 值 为 3t， 则 y=3200t(4sin cos +cos )+4800t(cos cos sin )=8000t(sin cos +cos )， 其 中 sin 14 ， 1)；设 f( )=sin cos +cos ，则 f ( )=cos2 sin2 sin= 2sin2 sin +1；令 f ( )=0， 解 得 sin = 12 ， 此 时 = 6 ， cos = 32 ；当 sin 14 21， )时 ， f ( ) 0， f( )单 调 递 增 ；当 sin 12 ， 1)时 ， f ( ) 0， f( )

21、单 调 递 减 ； = 6 时 ， f( )取 得 最 大 值 ， 即 总 产 值 y 最 大 . 答 ： (1)S 矩 形 ABCD=800(4sin cos +cos )， S CDP=1600(cos cos sin )，sin 14 ， 1)；(2) = 6 时 总 产 值 y 最 大 .18.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 椭 圆 C 过 点 ( 3 12， )， 焦 点 F1( 3 ， 0)， F2( 3 ，0)， 圆 O 的 直 径 为 F 1F2.(1)求 椭 圆 C 及 圆 O 的 方 程 ；(2)设 直 线 l 与 圆 O 相 切 于 第 一 象

22、 限 内 的 点 P. 若 直 线 l与 椭 圆 C有 且 只 有 一 个 公 共 点 ， 求 点 P 的 坐 标 ； 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 A， B 两 点 .若 OAB的 面 积 为 2 67 ， 求 直 线 l 的 方 程 . 解 析 ： (1)由 题 意 可 得 c= 3 . 2 23 1 14a b ， 又 a2+b2=c2=3， 解 得 a=2， b=1即 可 .(2) 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+m， (k 0， m 0).可 得 2 2 31 mk ， 即 m2 3+3k2.由 2 24 4y kx mx y ， 可 得 (4k2+1)x2+8k

23、mx+4m2 4=0， =(8km)2 4(4k2+1)(4m2 4)=0， 解 得k= 2 ， m=3.即 可 . 设 A(x 1， y1)， B(x2， y2)， 联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 得 (4k2+1)x2+8kmx+4m2 4=0，O到 直 线 l的 距 离 2 22 22 1 22 4 4 11 14 11m k md AB k x x kkk ， ， OAB 的 面 积 为S= 2 2 22 22 224 4 1 4 21 1 34 1 4 111 1 2 62 2 7mk m kk kk kk ，解 得 k= 5 ， (正 值 舍 去 )， m=3 2 .即 可答

24、案 ： (1)由 题 意 可 设 椭 圆 方 程 为 222 2 1yxa b ， (a b 0)， 焦 点 F 1( 3 ， 0)， F2( 3 ， 0)， c= 3 . 2 23 1 14a b ， 又 a2+b2=c2=3，解 得 a=2， b=1. 椭 圆 C 的 方 程 为 ： 2 2 14x y ， 圆 O 的 方 程 为 ： x2+y2=3. (2) 可 知 直 线 l 与 圆 O 相 切 ， 也 与 椭 圆 C， 且 切 点 在 第 一 象 限 ， 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+m， (k 0， m 0).由 圆 心 (0， 0)到 直 线 l 的 距 离 等

25、于 圆 半 径 3 ， 可 得 2 2 31 mk ， 即 m2 3+3k2.由 2 24 4y kx mx y ， 可 得 (4k2+1)x2+8kmx+4m2 4=0， =(8km)2 4(4k2+1)(4m2 4)=0，可 得 m 2=4k2+1， 3k2+3=4k2+1， 结 合 k 0， m 0， 解 得 k= 2 ， m=3.将 k= 2 ， m=3代 入 2 2 3x yy kx m 可 得 2 2 2 02x x ，解 得 x= 2 ， y=1， 故 点 P 的 坐 标 为 ( 2 1， ). 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 2 20 03 30k mm k

26、， k 2 .联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 得 (4k 2+1)x2+8kmx+4m2 4=0， 2 222 1 1 2 1 2 24 4 14 4 1k mx x x x x x k ，O到 直 线 l的 距 离 21md k ， 2 22 22 1 24 4 11 14 1k mAB k x x kk ， OAB 的 面 积 为S= 2 2 22 22 224 4 1 4 21 1 34 1 4 111 1 2 62 2 7mk m kk kk kk ，解 得 k= 5 ， (正 值 舍 去 )， m=3 2 . 5 23y x 为 所 求 .19.记 f (x)， g (x)分 别

27、 为 函 数 f(x)， g(x)的 导 函 数 .若 存 在 x0 R， 满 足 f(x0)=g(x0)且f (x0)=g (x0)， 则 称 x0为 函 数 f(x)与 g(x)的 一 个 “ S点 ” .(1)证 明 ： 函 数 f(x)=x 与 g(x)=x2+2x 2 不 存 在 “ S 点 ” ；(2)若 函 数 f(x)=ax2 1 与 g(x)=lnx存 在 “ S 点 ” ， 求 实 数 a 的 值 ；(3)已 知 函 数 f(x)= x2+a， xbeg x x .对 任 意 a 0， 判 断 是 否 存 在 b 0， 使 函 数 f(x)与g(x)在 区 间 (0， +

28、)内 存 在 “ S 点 ” ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 “ S 点 ” 的 定 义 解 两 个 方 程 ， 判 断 方 程 是 否 有 解 即 可 ；(2)根 据 “ S点 ” 的 定 义 解 两 个 方 程 即 可 ；(3)分 别 求 出 两 个 函 数 的 导 数 ， 结 合 两 个 方 程 之 间 的 关 系 进 行 求 解 判 断 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： f (x)=1， g (x)=2x+2， 则 由 定 义 得 2 2 21 2 2x x xx ， 得 方 程 无 解 ， 则 f(x)=x 与 g(x)=x2+2x 2 不 存 在 “ S点

29、 ” ；(2)f (x)=2ax， g (x)= 1x ， x 0， 由 f (x)=g (x)得 1x =2ax， 得 12x a ，1 1 ln 22 21 12 2f g aa a ， 得 a= 2e ；(3)f (x)= 2x， 2 1xbe xg x x ， (x 0)，由 f (x 0)=g (x0)， 得 0 3002 01x xbe x ， 得 0 x0 1，由 f(x0)=g(x0)， 得 0 22 00 0 02 1x xbex a x x ， 得 22 00 02 1xa x x ，令 2 3 22 2 31 1x x x ax ah x x ax x ， (a 0， 0

30、 x 1)，设 m(x)= x3+3x2+ax a， (a 0， 0 x 1)，则 m(0)= a 0， m(1)=2 0， 得 m(0)m(1) 0，又 m(x)的 图 象 在 (0， 1)上 连 续 不 断 ，则 m(x)在 (0， 1)上 有 零 点 ，则 h(x)在 (0， 1)上 有 零 点 ，则 f(x)与 g(x)在 区 间 (0， + )内 存 在 “ S” 点 .20.设 a n是 首 项 为 a1， 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， bn是 首 项 为 b1， 公 比 为 q 的 等 比 数 列 .(1)设 a1=0， b1=1， q=2， 若 |an bn| b1对

31、 n=1， 2， 3， 4 均 成 立 ， 求 d 的 取 值 范 围 ；(2)若 a1=b1 0， m N*， q (1， 2m ， 证 明 ： 存 在 d R， 使 得 |an bn| b1对 n=2， 3， ，m+1 均 成 立 ， 并 求 d的 取 值 范 围 (用 b1， m， q 表 示 ).解 析 ： (1)根 据 等 比 数 列 和 等 差 数 列 的 通 项 公 式 ， 解 不 等 式 组 即 可 ；(2)根 据 数 列 和 不 等 式 的 关 系 ， 利 用 不 等 式 的 关 系 构 造 新 数 列 和 函 数 ， 判 断 数 列 和 函 数 的 单调 性 和 性 质 进

32、 行 求 解 即 可 .答 案 ： (1)由 题 意 可 知 |a n bn| 1对 任 意 n=1， 2， 3， 4 均 成 立 ， a1=0， q=2， 0 1 12 12 4 13 8 1ddd ， 解 得 1 33 52 27 33 ddd .即 7 53 2d .证 明 ： (2) a n=a1+(n 1)d， bn=b1 qn 1，若 存 在 d R， 使 得 |an bn| b1对 n=2， 3， ， m+1 均 成 立 ，则 |b1+(n 1)d b1 qn 1| b1， (n=2， 3， ， m+1)，即 11 1121 1nn b qq b dn n ， (n=2， 3，

33、， m+1)， q (1， 2m ， 则 1 qn 1 qm 2， (n=2， 3， ， m+1)， 11 112 0 01 1nn b qq bn n ， ，因 此 取 d=0时 ， |a n bn| b1对 n=2， 3， ， m+1均 成 立 ，下 面 讨 论 数 列 1 21nqn 的 最 大 值 和 数 列 11nqn 的 最 小 值 ， 当 2 n m 时 ， 11 1 22 2 21 1 1n n nn n n n n n q q qq q nq q nqn n n n n n ，当 11 2 mq 时 ， 有 qn qm 2，从 而 n(qn qn 1) qn+2 0，因 此

34、当 2 n m+1 时 ， 数 列 1 21nqn 单 调 递 增 ，故 数 列 1 21nqn 的 最 大 值 为 2mq m . 设 f(x)=2 x(1 x)， 当 x 0时 ， f (x)=(ln2 1 xln2)2x 0， f(x)单 调 递 减 ， 从 而 f(x) f(0)=1，当 2 n m时 ， 11 1 1 12 1 11n mnq q nn fn n nqn ，因 此 当 2 n m+1 时 ， 数 列 11nqn 单 调 递 递 减 ，故 数 列 11nqn 的 最 小 值 为 mqn ， 1 2mb qm d 的 取 值 范 围 是 1 12m mb q bqd m

35、m ， . 数 学 (附 加 题 )【 选 做 题 】 本 题 包 括 A、 B、 C、 D 四 小 题 ， 请 选 定 其 中 两 小 题 ， 并 在 相 应 的答 题 区 域 内 作 答 .若 多 做 ， 则 按 作 答 的 前 两 小 题 评 分 .解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演算 步 骤 .A.选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲 (本 小 题 满 分 10分 )21.如 图 ， 圆 O 的 半 径 为 2， AB 为 圆 O 的 直 径 ， P 为 AB 延 长 线 上 一 点 ， 过 P 作 圆 O的 切 线 ，切 点 为 C.若 PC=2

36、3， 求 BC 的 长 . 解 析 ： 连 接 OC， 由 题 意 ， CP为 圆 O 的 切 线 ， 得 到 垂 直 关 系 ， 由 线 段 长 度 及 勾 股 定 理 ， 可 以得 到 PO的 长 ， 即 可 判 断 COB是 等 边 三 角 形 ， BC的 长 .答 案 ： 连 接 OC，因 为 PC为 切 线 且 切 点 为 C，所 以 OC CP.因 为 圆 O 的 半 径 为 2， PC 2 3，所 以 BO=OC=2， 2 2 4PO OC CP ，所 以 1os 2c COP ，所 以 COP=60 ，所 以 COB为 等 边 三 角 形 ， 所 以 BC=BO=2.B.选 修

37、 4-2： 矩 阵 与 变 换 (本 小 题 满 分 10分 )22.已 知 矩 阵 A= 2 31 2 .(1)求 A 的 逆 矩 阵 A 1；(2)若 点 P 在 矩 阵 A 对 应 的 变 换 作 用 下 得 到 点 P (3， 1)， 求 点 P 的 坐 标 .解 析 ： (1)矩 阵 A= 2 31 2 ， 求 出 det(A)=1 0， A 可 逆 ， 然 后 求 解 A 的 逆 矩 阵 A 1.(2)设 P(x， y)， 通 过 2 3 31 2 1xy ， 求 出 31xy ， 即 可 得 到 点 P的 坐 标 .答 案 ： (1)矩 阵 A= 2 31 2 ， det(A)=

38、2 2 1 3=1 0， 所 以 A 可 逆 ，从 而 ： A 的 逆 矩 阵 A 1= 2 31 2 .(2)设 P(x， y)， 则 2 3 31 2 1xy ， 所 以 1 3 31 1y Ax ，因 此 点 P 的 坐 标 为 (3， 1).C.选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 (本 小 题 满 分 0分 )23.在 极 坐 标 系 中 ， 直 线 l的 方 程 为 sin( 6 )=2， 曲 线 C的 方 程 为 =4cos ， 求 直 线l被 曲 线 C截 得 的 弦 长 .解 析 ： 将 直 线 l、 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 利 用 互 化 公 式 可

39、 得 直 角 坐 标 方 程 ， 利 用 直 线 与 圆 的 相交 弦 长 公 式 即 可 求 解 .答 案 ： 曲 线 C的 方 程 为 =4cos ， 2=4 cos ， x2+y2=4x， 曲 线 C 是 圆 心 为 C(2， 0)， 半 径 为 r=2得 圆 . 直 线 l 的 方 程 为 sin( 6 )=2， 3cos sin 2212 ， 直 线 l 的 普 通 方 程 为 ： x 3 y=4.圆 心 C到 直 线 l的 距 离 为 2 11 3d ， 直 线 l 被 曲 线 C 截 得 的 弦 长 为 2 22 2 4 1 2 3r d .D.选 修 4-5： 不 等 式 选

40、讲 (本 小 题 满 分 0 分 )24.若 x， y， z 为 实 数 ， 且 x+2y+2z=6， 求 x 2+y2+z2的 最 小 值 .解 析 ： 根 据 柯 西 不 等 式 进 行 证 明 即 可 .答 案 ： 由 柯 西 不 等 式 得 (x2+y2+z2)(12+22+22) (x+2y+2z)2， x+2y+2z=6， x2+y2+z2 4是 当 且 仅 当 1 2 2yx z 时 ， 不 等 式 取 等 号 ， 此 时 x= 23 ， y= 43 ， z= 43 ， x2+y2+z2的 最 小 值 为 4【 必 做 题 】 第 25 题 、 第 26 题 ， 每 题 10 分

41、 ， 共 计 20 分 .请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 25.如 图 ， 在 正 三 棱 柱 ABC A1B1C1中 ， AB=AA1=2， 点 P， Q分 别 为 A1B1， BC的 中 点 .(1)求 异 面 直 线 BP 与 AC1所 成 角 的 余 弦 值 ；(2)求 直 线 CC1与 平 面 AQC1所 成 角 的 正 弦 值 . 解 析 ： 设 AC， A1C1的 中 点 分 别 为 O， O1， 以 1OBOCOO， ， 为 基 底 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 Ox

42、yz，(1)由 11 1cos BP ACBP AC BP AC ， 可 得 异 面 直 线 BP 与 AC1所 成 角 的 余 弦 值 ；(2)求 得 平 面 AQC1的 一 个 法 向 量 为 n， 设 直 线 CC1与 平 面 AQC1所 成 角 的 正 弦 值 为 ，可 得 11 1sin cos CC nCC n CC n ， ， 即 可 得 直 线 CC 1与 平 面 AQC1所 成 角 的 正 弦 值 .答 案 ： 如 图 ， 在 正 三 棱 柱 ABC A1B1C1中 ，设 AC， A1C1的 中 点 分 别 为 O， O1，则 ， OB OC， OO1 OC， OO1 OB，

43、故 以 1OBOCOO， ， 为 基 底 ，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O xyz， AB=AA1=2， A(0， 1， 0)， B( 3 ， 0， 0)，C(0， 1， 0)，A1(0， 1， 2)， B1( 3 ， 0， 2)， C1(0， 1， 2). (1)点 P 为 A1B1的 中 点 . 13 22 2P ， ， ， 13 2 0 2 22 12BP AC ， ， ， ， ， .11 1 1 4 3 10205 2os 2c BP ACBP AC BP AC ， . 异 面 直 线 BP 与 AC 1所 成 角 的 余 弦 值 为 ： 3 1020 ；(2) Q为 BC的

44、中 点 . 232 1Q ， ， 0 33 022AQ ， ， ， 1 10 2 2 0 2 2AC CC ， ， ， ， ， ，设 平 面 AQC1的 一 个 法 向 量 为 n=(x， y， z)，由 1 3 3 02 22 2 0AQ n x yAC n y z ， 可 取 n=( 3 ， 1， 1)，设 直 线 CC 1与 平 面 AQC1所 成 角 的 正 弦 值 为 ，11 1 2 5sin 55 2cos CC nCC n CC n ， ， 直 线 CC1与 平 面 AQC1所 成 角 的 正 弦 值 为 55 .26.设 n N*， 对 1， 2， ， n 的 一 个 排 列

45、i 1i2 in， 如 果 当 s t 时 ， 有 is it， 则 称 (is，it)是 排 列 i1i2 in的 一 个 逆 序 ， 排 列 i1i2 in的 所 有 逆 序 的 总 个 数 称 为 其 逆 序 数 .例 如 ：对 1， 2， 3 的 一 个 排 列 231， 只 有 两 个 逆 序 (2， 1)， (3， 1)， 则 排 列 231 的 逆 序 数 为 2.记fn(k)为 1， 2， ， n的 所 有 排 列 中 逆 序 数 为 k 的 全 部 排 列 的 个 数 .(1)求 f3(2)， f4(2)的 值 ；(2)求 fn(2)(n 5)的 表 达 式 (用 n 表 示

46、 ).解 析 ： (1)由 题 意 直 接 求 得 f3(2)的 值 ， 对 1， 2， 3， 4 的 排 列 ， 利 用 已 有 的 1， 2， 3的 排 列 ，将 数 字 4 添 加 进 去 ， 4 在 新 排 列 中 的 位 置 只 能 是 最 后 三 个 位 置 ， 由 此 可 得 f4(2)的 值 ；(2)对 一 般 的 n(n 4)的 情 形 ， 可 知 逆 序 数 为 0 的 排 列 只 有 一 个 ， 逆 序 数 为 1 的 排 列 只 能 是将 排 列 12 n 中 的 任 意 相 邻 两 个 数 字 调 换 位 置 得 到 的 排 列 ， f n(1)=n 1.为 计 算

47、fn+1(2)， 当 1， 2， ， n 的 排 列 及 其 逆 序 数 确 定 后 ， 将 n+1 添 加 进 原 排 列 ， n+1在 新排 列 中 的 位 置 只 能 是 最 后 三 个 位 置 ， 可 得 fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n， 则 当 n 5时 ，fn(2)=fn(2) fn 1(2)+fn 1(2) fn 2(2)+ +f5(2) f4(2)+f4(2)， 则 fn(2)(n 5)的 表达 式 可 求 .答 案 ： (1)记 (abc)为 排 列 abc得 逆 序 数 ， 对 1， 2， 3 的 所 有 排 列 ， 有 (123)=0， (132)=1， (231)=2， (321)=3， f3(0)=1， f3(1)=f3(2)=2，对 1， 2， 3， 4 的 排 列 ， 利 用 已 有 的 1， 2， 3 的 排 列 ， 将 数 字 4 添 加 进 去 ， 4 在 新 排 列 中 的位 置 只 能 是 最 后 三 个 位 置 .因 此 ， f 4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5；(2)对 一 般 的 n(n 4)的 情 形 ， 逆 序 数 为 0 的 排 列 只 有 一 个 ： 12 n， fn(0)=1.逆 序 数 为