2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学文及答案解析.docx

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1、2018年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (北 京 卷 )数 学 文一 、 选 择 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符 合 题 目 要求 的 一 项 。1.已 知 集 合 A=x|x| 2， B=-2， 0， 1， 2， 则 A B=( )A.0， 1B.-1， 0， 1C.-2， 0， 1， 2D.-1， 0， 1， 2解 析 ： 集 合 A=x|x| 2=x|-2 x 2， B=-2， 0， 1， 2， A B=0， 1. 答 案 ： A2.在 复 平 面 内 ， 复 数 1

2、1 i 的 共 轭 复 数 对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： 复 数 1 1 1 11 1 1 2 2i ii i i ，共 轭 复 数 对 应 点 的 坐 标 ( 1 12 2， )在 第 四 象 限 . 答 案 ： D3.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 s值 为 ( ) A. 12B. 56C. 76D. 712解 析 ： 在 执 行 第 一 次 循 环 时 ， k=1， S=1.在 执 行 第 一 次 循 环 时 ， S=1- 1 12 2 .由 于 k=2 3，所 以 执 行 下

3、 一 次 循 环 .S= 1 1 52 3 6 ， k=3， 直 接 输 出 S= 56 . 答 案 ： B4.设 a， b， c， d 是 非 零 实 数 ， 则 “ ad=bc” 是 “ a， b， c， d 成 等 比 数 列 ” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 若 a， b， c， d 成 等 比 数 列 ， 则 ad=bc，反 之 数 列 -1， -1， 1， 1.满 足 -1 1=-1 1，但 数 列 -1， -1， 1， 1不 是 等 比 数 列 ，即 “

4、 ad=bc” 是 “ a， b， c， d成 等 比 数 列 ” 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： B 5.“ 十 二 平 均 律 ” 是 通 用 的 音 律 体 系 ， 明 代 朱 载 堉 最 早 用 数 学 方 法 计 算 出 半 音 比 例 ， 为 这 个理 论 的 发 展 做 出 了 重 要 贡 献 ， 十 二 平 均 律 将 一 个 纯 八 度 音 程 分 成 十 二 份 ， 依 次 得 到 十 三 个 单音 ， 从 第 二 个 单 音 起 ， 每 一 个 单 音 的 频 率 与 它 的 前 一 个 单 音 的 频 率 的 比 都 等 于 12 2 .若 第 一个 单

5、音 的 频 率 为 f， 则 第 八 个 单 音 的 频 率 为 ( )A. 3 2 fB. 3 22 fC.12 52 fD.12 72 f 解 析 ： 从 第 二 个 单 音 起 ， 每 一 个 单 音 的 频 率 与 它 的 前 一 个 单 音 的 频 率 的 比 都 等 于 12 2 .若 第 一 个 单 音 的 频 率 为 f， 则 第 八 个 单 音 的 频 率 为 ： 7 12 712 2 2f f .答 案 ： D6.某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 在 此 四 棱 锥 的 侧 面 中 ， 直 角 三 角 形 的 个 数 为 ( ) A.1B.2C.3D.4解

6、 析 ： 四 棱 锥 的 三 视 图 对 应 的 直 观 图 为 ： PA 底 面 ABCD， 5 5AC CD ， ， PC=3， PD=2 2 ， 可 得 三 角 形 PCD不 是 直 角 三 角 形 .所 以 侧 面 中 有 3个 直 角 三 角 形 ， 分 别 为 ： PAB， PBC， PAD.答 案 ： C7.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ABCD EF GH， ， ， 是 圆 x2+y2=1 上 的 四 段 弧 (如 图 )， 点 P 其 中 一 段 上 ，角 以 Ox 为 始 边 ， OP为 终 边 .若 tan cos sin ， 则 P所 在 的 圆 弧 是 (

7、) A.ABB.CDC.EFD.GH解 析 ： A、 在 AB段 ， 正 弦 线 小 于 余 弦 线 ， 即 cos sin 不 成 立 ， 故 A不 满 足 条 件 . B、 在 CD 段 正 切 线 最 大 ， 则 cos sin tan ， 故 B不 满 足 条 件 .C、 在 EF 段 ， 正 切 线 ， 余 弦 线 为 负 值 ， 正 弦 线 为 正 ，满 足 tan cos sin ，D、 在 GH 段 ， 正 切 线 为 正 值 ， 正 弦 线 和 余 弦 线 为 负 值 ，满 足 cos sin tan 不 满 足 tan cos sin .答 案 ： C8.设 集 合 A=(

8、x， y)|x-y 1， ax+y 4， x-ay 2， 则 ( )A.对 任 意 实 数 a， (2， 1) AB.对 任 意 实 数 a， (2， 1)AC.当 且 仅 当 a 0 时 ， (2， 1)AD.当 且 仅 当 a 32 时 ， (2， 1)A 解 析 ： 当 a=-1时 ， 集 合 A=(x， y)|x-y 1， ax+y 4， x-ay 2=(x， y)|x-y 1， -x+y4， x+y 2， 显 然 (2， 1)不 满 足 ， -x+y 4， x+y 2， 所 以 A， C 不 正 确 ；当 a=4， 集 合 A=(x， y)|x-y 1， ax+y 4， x-ay 2

9、=(x， y)|x-y 1， 4x+y 4， x-4y2， 显 然 (2， 1)在 可 行 域 内 ， 满 足 不 等 式 ， 所 以 B 不 正 确 .答 案 ： D二 、 填 空 题 共 6小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 。9.设 向 量 a=(1， 0)， b=(-1， m).若 a ma b ， 则 m= .解 析 ： 向 量 a=(1， 0)， b=(-1， m)， ma b =(m+1， -m). a ma b ， m+1=0， 解 得 m=-1.答 案 ： -110.已 知 直 线 l 过 点 (1， 0)且 垂 直 于 x 轴 .若 l被 抛 物 线 y2=4

10、ax截 得 的 线 段 长 为 4， 则 抛 物 线的 焦 点 坐 标 为 .解 析 ： 直 线 l过 点 (1， 0)且 垂 直 于 x轴 ， x=1， 代 入 到 y2=4ax， 可 得 y2=4a， 显 然 a 0， y= 2 a ， l 被 抛 物 线 y2=4ax截 得 的 线 段 长 为 4， 4 a =4， 解 得 a=1， y2=4x， 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 (1， 0).答 案 ： (1， 0)11.能 说 明 “ 若 a b， 则 1 1a b ” 为 假 命 题 的 一 组 a， b的 值 依 次 为 .解 析 ： 当 a 0， b 0 时 ， 满 足 a

11、b， 但 1 1a b 为 假 命 题 ， 故 答 案 可 以 是 a=1， b=-1.答 案 ： a=1， b=-1 12.若 双 曲 线 2 22 14x ya (a 0)的 离 心 率 为 52 ， 则 a= .解 析 ： 双 曲 线 2 22 14x ya (a 0)的 离 心 率 为 52 ， 可 得 ： 2 2 4 54aa ， 解 得 a=4.答 案 ： 413.若 x， y满 足 x+1 y 2x， 则 2y-x的 最 小 值 是 .解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 设 z=2y-x， 则 y= 1 12 2x z ， 平 移 y= 1

12、 12 2x z ，由 图 象 知 当 直 线 y= 1 12 2x z 经 过 点 A 时 ，直 线 的 截 距 最 小 ， 此 时 z最 小 ，由 12x yy x ， 得 12xy ， ， 即 A(1， 2)， 此 时 z=2 2-1=3. 答 案 ： 314.若 ABC 的 面 积 为 34 (a2+c2-b2)， 且 C 为 钝 角 ， 则 B= ； ca 的 取 值 范 围是 .解 析 ： ABC的 面 积 为 34 (a 2+c2-b2)，可 得 ： 34 (a2+c2-b2)= 12 acsinB， sin 3cosBB ，可 得 ： tanB= 3 ， 所 以 B= 3 ，

13、C 为 钝 角 ， A (0， 6 )， cotA (3， + ). sinsin 1 3cos cot sinsin sin 2 2A Bc C B A Ba A A cotA (2， + ).答 案 ： 3 ； (2， + ) 三 、 解 答 题 共 6小 题 ， 共 80 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 演 算 步 骤 或 证 明 过 程 .15.设 an是 等 差 数 列 ， 且 a1=ln2， a2+a3=5ln2.( )求 an的 通 项 公 式 ；( )求 1 2 naa ae e e .解 析 ： ( )求 an的 通 项 公 式 ；( )化 简 数 列 的 通

14、项 公 式 ， 利 用 等 比 数 列 求 和 公 式 求 解 即 可 .答 案 ： ( )a n是 等 差 数 列 ， 且 a1=ln2， a2+a3=5ln2.可 得 ： 2a1+3d=5ln2， 可 得 d=ln2，an的 通 项 公 式 ； an=a1+(n-1)d=nln2，( ) 2 2nna ln ne e ， 1 2 1 2 3 12 1 22 2 2 2 2 21 2n naa a n ne e e .16.已 知 函 数 f(x)=sin 2x+ 3 sinxcosx.( )求 f(x)的 最 小 正 周 期 ；( )若 f(x)在 区 间 3 ， m上 的 最 大 值 为

15、 32 ， 求 m的 最 小 值 .解 析 ： (I)运 用 二 倍 角 公 式 的 降 幂 公 式 和 两 角 差 的 正 弦 公 式 和 周 期 公 式 ， 即 可 得 到 所 求 值 ；( )求 得 2x- 6 的 范 围 ， 结 合 正 弦 函 数 的 图 象 可 得 2m- 6 2 ， 即 可 得 到 所 求 最 小 值 . 答 案 ： (I)函 数 f(x)= 2 1 cos2 3 1sin 3sin cos sin 2 sin 22 2 6 2xx x x x x ，f(x)的 最 小 正 周 期 为 T= 22 = ；( )若 f(x)在 区 间 3 ， m上 的 最 大 值

16、为 32 ，可 得 52 26 6 6 x m ， ， 即 有 2m- 6 2 ， 解 得 m 3 ， 则 m 的 最 小 值 为 3 .17.电 影 公 司 随 机 收 集 了 电 影 的 有 关 数 据 ， 经 分 类 整 理 得 到 下 表 ： 好 评 率 是 指 ： 一 类 电 影 中 获 得 好 评 的 部 数 与 该 类 电 影 的 部 数 的 比 值 .( )从 电 影 公 司 收 集 的 电 影 中 随 机 选 取 1 部 ， 求 这 部 电 影 是 获 得 好 评 的 第 四 类 电 影 的 概 率 ；( )随 机 选 取 1部 电 影 ， 估 计 这 部 电 影 没 有 获

17、 得 好 评 的 概 率 ；( )电 影 公 司 为 增 加 投 资 回 报 ， 拟 改 变 投 资 策 略 ， 这 将 导 致 不 同 类 型 电 影 的 好 评 率 发 生 变 化 .假 设 表 格 中 只 有 两 类 电 影 的 好 评 率 数 据 发 生 变 化 ， 那 么 哪 类 电 影 的 好 评 率 增 加 0.1， 哪 类 电影 的 好 评 率 减 少 0.1， 使 得 获 得 好 评 的 电 影 总 部 数 与 样 本 中 的 电 影 总 部 数 的 比 值 达 到 最 大 ？(只 需 写 出 结 论 )解 析 ： ( )先 求 出 总 数 ， 再 求 出 则 第 四 类 电

18、 影 的 频 率 为 2002000 =0.1， 即 可 求 出 答 案 ，( )根 据 互 斥 事 件 的 概 率 公 式 计 算 即 可 ，( )由 题 意 可 得 ， 增 加 电 影 部 数 多 的 ， 减 少 部 数 少 的 ， 即 可 得 到 .答 案 ： ( )总 的 电 影 部 数 为 140+50+300+200+800+510=2000部 ， 则 第 四 类 电 影 的 频 率 为 2002000 =0.1，故 从 电 影 公 司 收 集 的 电 影 中 随 机 选 取 1部 ， 求 这 部 电 影 是 获 得 好 评 的 第 四 类 电 影 的 概 率 0.1 0.25=0

19、.025，( )获 得 好 评 的 电 影 部 数 为 140 0.4+50 0.2+300 0.15+200 0.25+800 0.2+5100.1=372，估 计 这 部 电 影 没 有 获 得 好 评 的 概 率 为 1- 3722000 =0.814，( )故 只 要 第 五 类 电 影 的 好 评 率 增 加 0.1， 第 二 类 电 影 的 好 评 率 减 少 0.1， 则 使 得 获 得 好 评的 电 影 总 部 数 与 样 本 中 的 电 影 总 部 数 的 比 值 达 到 最 大 .18.如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， 底 面 ABCD为 矩 形 ， 平 面

20、PAD 平 面 ABCD， PA PD， PA=PD，E， F 分 别 为 AD， PB的 中 点 . ( )求 证 ： PE BC；( )求 证 ： 平 面 PAB 平 面 PCD；( )求 证 ： EF 平 面 PCD.解 析 ： ( )由 等 腰 三 角 形 的 三 线 合 一 性 质 和 矩 形 的 对 边 平 行 性 质 ， 即 可 得 证 ；( )作 出 平 面 PAB和 平 面 PCD的 交 线 ， 注 意 运 用 公 理 4， 再 由 面 面 垂 直 的 性 质 和 两 个 平 面 所成 角 的 定 义 ， 即 可 得 证 ；( )取 PC的 中 点 H， 连 接 DH， FH

21、， 运 用 中 位 线 定 理 和 平 行 四 边 形 的 判 断 和 性 质 ， 结 合 线 面平 行 的 判 定 定 理 ， 即 可 得 证 .答 案 ： ( )PA=PD， E为 AD的 中 点 ， 可 得 PE AD，底 面 ABCD 为 矩 形 ， 可 得 BC AD， 则 PE BC；( )由 于 平 面 PAB和 平 面 PCD有 一 个 公 共 点 P， 且 AB CD，在 平 面 PAB内 过 P 作 直 线 PG AB，可 得 PG CD， 即 有 平 面 PAB 平 面 PCD=PG， 由 平 面 PAD 平 面 ABCD， 又 AB AD，可 得 AB 平 面 PAD，

22、 即 有 AB PA， PA PG；同 理 可 得 CD PD， 即 有 PD PG，可 得 APD为 平 面 PAB和 平 面 PCD的 平 面 角 ，由 PA PD， 可 得 平 面 PAB 平 面 PCD；( )取 PC 的 中 点 H， 连 接 DH， FH， 在 三 角 形 PCD中 ， FH为 中 位 线 ， 可 得 FH BC， FH= 12 BC， 由 DE BC， DE= 12 BC，可 得 DE=FH， DE FH， 四 边 形 EFHD为 平 行 四 边 形 ，可 得 EF DH， EF平 面 PCD， DH平 面 PCD， 即 有 EF 平 面 PCD.19.设 函 数

23、 f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex.( )若 曲 线 y=f(x)在 点 (2， f(2)处 的 切 线 斜 率 为 0， 求 a；( )若 f(x)在 x=1处 取 得 极 小 值 ， 求 a的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )求 得 f(x)的 导 数 ， 由 导 数 的 几 何 意 义 可 得 f (2)=0， 解 方 程 可 得 a 的 值 ；( )求 得 f(x)的 导 数 ， 注 意 分 解 因 式 ， 讨 论 a=0， a=1， a 1， 0 a 1， a 0， 由 极 小 值 的 定 义 ， 即 可 得 到 所 求 a 的 范 围 .答 案 ： ( )函 数

24、f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex的 导 数 为 f (x)=ax2-(a+1)x+1ex.曲 线 y=f(x)在 点 (2， f(2)处 的 切 线 斜 率 为 0，可 得 (4a-2a-2+1)e2=0， 解 得 a= 12 ；( )f(x)的 导 数 为 f (x)=ax2-(a+1)x+1ex=(x-1)(ax-1)ex，若 a=0则 x 1 时 ， f (x) 0， f(x)递 增 ； x 1， f (x) 0， f(x)递 减 .x=1处 f(x)取 得 极 大 值 ， 不 符 题 意 ；若 a 0， 且 a=1， 则 f (x)=(x-1) 2ex 0， f(x)递

25、增 ， 无 极 值 ；若 a 1， 则 1a 1， f(x)在 ( 1a ， 1)递 减 ； 在 (1， + )， (- ， 1a )递 增 ，可 得 f(x)在 x=1处 取 得 极 小 值 ；若 0 a 1， 则 1a 1， f(x)在 (1， 1a )递 减 ； 在 ( 1a ， + )， (- ， 1)递 增 ，可 得 f(x)在 x=1处 取 得 极 大 值 ， 不 符 题 意 ；若 a 0， 则 1a 1， f(x)在 ( 1a ， 1)递 增 ； 在 (1， + )， (- ， 1a )递 减 ，可 得 f(x)在 x=1处 取 得 极 大 值 ， 不 符 题 意 .综 上 可

26、得 ， a 的 范 围 是 (1， + ). 20.已 知 椭 圆 M： 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 离 心 率 为 63 ， 焦 距 为 2 2 .斜 率 为 k 的 直 线 l 与椭 圆 M有 两 个 不 同 的 交 点 A， B.( )求 椭 圆 M 的 方 程 ；( )若 k=1， 求 |AB|的 最 大 值 ；( )设 P(-2， 0)， 直 线 PA与 椭 圆 M的 另 一 个 交 点 为 C， 直 线 PB与 椭 圆 M的 另 一 个 交 点 为 D.若 C， D 和 点 Q( 7 14 4 ， )共 线 ， 求 k.解 析 ： ( )根 据 椭 圆 的 离

27、心 率 公 式 即 可 求 得 a 的 值 ， 即 可 求 得 b 的 值 ， 求 得 椭 圆 方 程 ；( )当 k=1时 ， 设 直 线 AB的 方 程 ， 代 入 椭 圆 方 程 ， 根 据 弦 长 公 式 即 可 求 得 |AB|的 最 大 值 ；( )求 得 直 线 PA的 方 程 ， 代 入 椭 圆 方 程 ， 即 可 根 据 韦 达 定 理 即 可 求 得 C 点 坐 标 ， 同 理 求 得D点 坐 标 ， 即 可 求 得 QC与 QD， 根 据 向 量 的 共 线 定 理 ， 即 可 求 得 直 线 AB 的 斜 率 . 答 案 ： ( )由 题 意 可 知 ： 2c=2 2

28、， 则 c= 2 ， 椭 圆 的 离 心 率 e= 63ca ， 则 a= 3 ， b2=a2-c2=1， 椭 圆 的 标 准 方 程 ： 23x +y2=1；( )设 直 线 AB 的 方 程 为 ： y=x+m， A(x1， y1)， B(x2， y2)，联 立 2 2 13y x mx y ， ， 整 理 得 ： 4x 2+6mx+3m2-3=0， =(6m)2-4 4 3(m2-1) 0， 整 理 得 ： m2 4， 21 2 1 2 3 132 4mmx x x x ， ， 22 21 2 1 2 61 4 42AB k x x x x m ， 当 m=0时 ， |AB|取 最 大

29、值 ， 最 大 值 为 6 ；( )设 直 线 PA 的 斜 率 k PA= 11 2yx ， 直 线 PA 的 方 程 为 ： y= 11 2yx (x+2)，联 立 112 2 2 213 yy x xx y ，消 去 y整 理 得 ： (x 12+4x1+4+3y12)x2+12y12x+(12y12-3x12-12x1-12)=0，由 2 21 1 13x y 代 入 上 式 得 ， 整 理 得 ： (4x1+7)x2+(12-4x12)x-(7x12+12x1)=0， 21 1 11 1 17 12 7 124 7 4 7C Cx x xx x xx x ， ，则 1 1 11 1

30、17 12 22 4 7 4 7C y x yy x x x ，则 C( 1 11 17 124 7 4 7x yx x ， )， 同 理 可 得 ： D( 2 22 27 124 7 4 7x yx x ， )， 由 Q( 7 14 4 ， )， 则 1 1 2 21 1 2 24 4 7 4 71 14 4 7 4 4 7 4 4 7 4 4 7y x y xQC QDx x x x ， ， ， ，由 QC与 QD三 点 共 线 ， 则 2 2 1 11 2 2 14 4 7 4 4 71 14 4 7 4 4 7 4 4 7 4 4 7y x y xx x x x ，整 理 得 ： x1-x1=y1-y1， 则 直 线 AB 的 斜 率 k= 1 21 2y yx x =1， k 的 值 为 1.