2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学理及答案解析.docx

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1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 陕 西 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 (共 10 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 满 分 50分 )1.设 集 合 M=x|x 0， x R， N=x|x2 1， x R， 则 M N=( )A.0， 1B.0， 1)C.(0， 1D.(0， 1)解 析 ： M=x|x 0， x R， N=x|x 2 1， x R=x|-1 x 1， x R， M N=0， 1).答 案 ： B.2.函 数 f(x)=cos(2x-

2、)的 最 小 正 周 期 是 ( )A.B.C.2D.4解 析 ： 根 据 复 合 三 角 函 数 的 周 期 公 式 得 ， 函 数 f(x)=cos(2x- )的 最 小 正 周 期 是 ， 答 案 ： B.3.定 积 分 (2x+ex)dx的 值 为 ( )A.e+2B.e+1C.eD.e-1解 析 ： (2x+e x)dx=(x2+ex) =(1+e)-(0+e0)=e.答 案 ： C.4.根 据 如 图 框 图 ， 对 大 于 2 的 正 数 N， 输 出 的 数 列 的 通 项 公 式 是 ( ) A.an=2nB.an=2(n-1)C.an=2nD.an=2n-1解 析 ： 由

3、程 序 框 图 知 ： ai+1=2ai， a1=2， 数 列 为 公 比 为 2的 等 边 数 列 ， an=2n.答 案 ： C.5.已 知 底 面 边 长 为 1， 侧 棱 长 为 的 正 四 棱 柱 的 各 顶 点 均 在 同 一 球 面 上 ， 则 该 球 的 体 积 为( )A.B.4C.2 D.解 析 ： 正 四 棱 柱 的 底 面 边 长 为 1， 侧 棱 长 为 ， 正 四 棱 柱 体 对 角 线 的 长 为 =2又 正 四 棱 柱 的 顶 点 在 同 一 球 面 上 ， 正 四 棱 柱 体 对 角 线 恰 好 是 球 的 一 条 直 径 ， 得 球 半 径 R=1根 据 球

4、 的 体 积 公 式 ， 得 此 球 的 体 积 为 V= R3= .答 案 ： D. 6.从 正 方 形 四 个 顶 点 及 其 中 心 这 5个 点 中 ， 任 取 2个 点 ， 则 这 2 个 点 的 距 离 不 小 于 该 正 方 形边 长 的 概 率 为 ( )A.B.C.D.解 析 ： 设 正 方 形 边 长 为 1， 则 从 正 方 形 四 个 顶 点 及 其 中 心 这 5个 点 中 任 取 2个 点 ， 共 有 10条 线 段 ， 4条 长 度 为 1， 4条 长 度 为 ， 两 条 长 度 为 ， 所 求 概 率 为 = . 答 案 ： C.7.下 列 函 数 中 ， 满

5、足 “ f(x+y)=f(x)f(y)” 的 单 调 递 增 函 数 是 ( )A.f(x)=xB.f(x)=x3C.f(x)=( )xD.f(x)=3 x解 析 ： A.f(x)= ， f(y)= ， f(x+y)= ， 不 满 足 f(x+y)=f(x)f(y)， 故 A错 ；B.f(x)=x3， f(y)=y3， f(x+y)=(x+y)3， 不 满 足 f(x+y)=f(x)f(y)， 故 B 错 ；C.f(x)= ， f(y)= ， f(x+y)= ， 满 足 f(x+y)=f(x)f(y)， 但 f(x)在 R 上 是 单 调 减 函 数 ， 故 C 错 .D.f(x)=3 x，

6、f(y)=3y， f(x+y)=3x+y， 满 足 f(x+y)=f(x)f(y)， 且 f(x)在 R上 是 单 调 增 函 数 ，故 D 正 确 ；答 案 ： D.8.原 命 题 为 “ 若 z1， z2互 为 共 轭 复 数 ， 则 |z1|=|z2|” ， 关 于 其 逆 命 题 ， 否 命 题 ， 逆 否 命 题 真假 性 的 判 断 依 次 如 下 ， 正 确 的 是 ( )A.真 ， 假 ， 真B.假 ， 假 ， 真C.真 ， 真 ， 假D.假 ， 假 ， 假解 析 ： 根 据 共 轭 复 数 的 定 义 ， 命 题 “ 若 z 1， z2互 为 共 轭 复 数 ， 则 |z1|

7、=|z2|” 是 真 命 题 ；其 逆 命 题 是 ： “ 若 |z1|=|z2|， 则 z1， z2互 为 共 轭 复 数 ” ， 例 |1|=|-1|， 而 1与 -1不 是 互 为共 轭 复 数 ， 逆 命 题 是 假 命 题 ； 根 据 否 命 题 与 逆 命 题 是 互 为 逆 否 命 题 ， 命 题 与 其 逆 否 命 题 同真 同 假 ， 命 题 的 否 命 题 是 假 命 题 ； 逆 否 命 题 是 真 命 题 .答 案 ： B. 9.设 样 本 数 据 x1， x2， ， x10的 均 值 和 方 差 分 别 为 1和 4， 若 yi=xi+a(a为 非 零 常 数 ， i=

8、1，2， ， 10)， 则 y1， y2， ， y10的 均 值 和 方 差 分 别 为 ( )A.1+a， 4B.1+a， 4+aC.1， 4D.1， 4+a解 析 ： 方 法 1： yi=xi+a， E(yi)=E(xi)+E(a)=1+a， 方 差 D(yi)=D(xi)+E(a)=4.方 法 2： 由 题 意 知 y i=xi+a，则 = (x1+x2+ +x10+10 a)= (x1+x2+ +x10)= +a=1+a，方 差s2= (x1+a-( +a)2+(x2+a-( +a)2+ +(x10+a-( +a)2= (x1- )2+(x2- )2+ +(x10- )2=s2=4.答

9、 案 ： A.10.如 图 ， 某 飞 行 器 在 4千 米 高 空 飞 行 ， 从 距 着 陆 点 A 的 水 平 距 离 10 千 米 处 开 始 下 降 ， 已 知下 降 飞 行 轨 迹 为 某 三 次 函 数 图 象 的 一 部 分 ， 则 该 函 数 的 解 析 式 为 ( ) A.y= - xB.y= x3- xC.y= x3-xD.y=- x3+ x解 析 ： 由 题 意 可 得 出 ， 此 三 次 函 数 在 x= 5处 的 导 数 为 0， 下 依 次 特 征 寻 找 正 确 选 项 ：A选 项 ， 导 数 为 ， 令 其 为 0解 得 x= 5， 故 A 正 确 ；B选 项

10、 ， 导 数 为 ， 令 其 为 0解 得 x= 5 不 成 立 ， 故 B 错 ； C选 项 ， 导 数 为 ， 令 其 为 0 解 得 x= 5不 成 立 ， 故 C错 ； D选 项 ， 导 数 为 ， 令 其 为 0解 得 x= 5 不 成 立 ， 故 D 错 .故 A.二 、 填 空 题 (考 生 注 意 ： 请 在 15、 16、 17三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第一 题 评 分 ， 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 20分 )11.已 知 4 a=2， lgx=a， 则 x= .解 析 ： 由 4a=2， 得 ，

11、 再 由 lgx=a= ， 得 x= .答 案 ： .12.若 圆 C 的 半 径 为 1， 其 圆 心 与 点 (1， 0)关 于 直 线 y=x对 称 ， 则 圆 C 的 标 准 方 程 为 .解 析 ： 圆 心 与 点 (1， 0)关 于 直 线 y=x对 称 ， 可 得 圆 心 为 (0， 1)， 再 根 据 半 径 等 于 1，可 得 所 求 的 圆 的 方 程 为 x 2+(y-1)2=1，答 案 ： x2+(y-1)2=1.13.设 0 ， 向 量 =(sin2 ， cos )， =(cos ， 1)， 若 ， 则 tan = .解 析 ： ， 向 量 =(sin2 ， cos

12、)， =(cos ， 1)， sin2 -cos2 =0， 2sin cos =cos 2 ， 0 ， cos 0. 2tan =1， tan = .答 案 ： .14.观 察 分 析 下 表 中 的 数 据 ： 猜 想 一 般 凸 多 面 体 中 F， V， E所 满 足 的 等 式 是 .解 析 ： 凸 多 面 体 的 面 数 为 F、 顶 点 数 为 V 和 棱 数 为 E， 正 方 体 ： F=6， V=8， E=12， 得 F+V-E=8+6-12=2； 三 棱 柱 ： F=5， V=6， E=9， 得 F+V-E=5+6-9=2； 三 棱 锥 ： F=4， V=4， E=6， 得

13、F+V-E=4+4-6=2.根 据 以 上 几 个 例 子 ， 猜 想 ： 凸 多 面 体 的 面 数 F、 顶 点 数 V和 棱 数 E满 足 如 下 关 系 ： F+V-E=2再 通 过 举 四 棱 锥 、 六 棱 柱 、 等 等 ， 发 现 上 述 公 式 都 成 立 .因 此 归 纳 出 一 般 结 论 ： F+V-E=2答 案 ： F+V-E=2(不 等 式 选 做 题 ) 15.设 a， b， m， n R， 且 a2+b2=5， ma+nb=5， 则 的 最 小 值 为 .解 析 ： 由 柯 西 不 等 式 得 ， (ma+nb)2 (m2+n2)(a2+b2) a2+b2=5，

14、 ma+nb=5， (m2+n2) 5 的 最 小 值 为答 案 ：(几 何 证 明 选 做 题 )16.如 图 ， ABC中 ， BC=6， 以 BC为 直 径 的 半 圆 分 别 交 AB、 AC于 点 E、 F， 若 AC=2AE， 则EF= . 解 析 ： 由 题 意 ， 以 BC 为 直 径 的 半 圆 分 别 交 AB、 AC于 点 E、 F， AEF= C， EAF= CAB， AEF ACB， ， BC=6， AC=2AE， EF=3.答 案 ： 3.(坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 )17.在 极 坐 标 系 中 ， 点 (2， )到 直 线 sin( - )=1

15、的 距 离 是 .解 析 ： 根 据 极 坐 标 和 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 x= cos ， y= sin ，可 得 点 (2， )即 ( ， 1)；直 线 sin( - )=1即 x- y=1， 即 x- y-2=0， 故 点 ( ， 1)到 直 线 x- y-2=0 的 距 离 为 =1，答 案 ： 1.三 、 解 答 题 ： 解 答 题 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 盐 酸 步 骤 (共 6 小 题 ， 满 分 75 分 )18.(12分 ) ABC的 内 角 A， B， C 所 对 应 的 边 分 别 为 a， b， c.( )若 a， b， c成

16、等 差 数 列 ， 证 明 ： sinA+sinC=2sin(A+C)；( )若 a， b， c成 等 比 数 列 ， 求 cosB 的 最 小 值 .解 析 ： ( )由 a， b， c 成 等 差 数 列 ， 利 用 等 差 数 列 的 性 质 列 出 关 系 式 ， 利 用 正 弦 定 理 化 简 ，再 利 用 诱 导 公 式 变 形 即 可 得 证 ；( )由 a， bc成 等 比 数 列 ， 利 用 等 比 数 列 的 性 质 列 出 关 系 式 ， 再 利 用 余 弦 定 理 表 示 出 cosB，将 得 出 的 关 系 式 代 入 ， 并 利 用 基 本 不 等 式 变 形 即

17、可 确 定 出 cosB 的 最 小 值 . 答 案 ： ( ) a， b， c 成 等 差 数 列 ， 2b=a+c，利 用 正 弦 定 理 化 简 得 ： 2sinB=sinA+sinC， sinB=sin -(A+C)=sin(A+C)， sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C)；( ) a， b， c成 等 比 数 列 ， b2=ac， cosB= = = ，当 且 仅 当 a=c时 等 号 成 立 ， cosB的 最 小 值 为 .19.(12分 )如 图 1， 四 面 体 ABCD及 其 三 视 图 (如 图 2 所 示 )， 过 棱 AB的 中 点 E 作 平 行 于

18、AD，BC的 平 面 分 别 交 四 面 体 的 棱 BD， DC， CA于 点 F， G， H. ( )证 明 ： 四 边 形 EFGH 是 矩 形 ；( )求 直 线 AB 与 平 面 EFGH夹 角 的 正 弦 值 .解 析 ： ( )由 三 视 图 得 到 四 面 体 ABCD的 具 体 形 状 ， 然 后 利 用 线 面 平 行 的 性 质 得 到 四 边 形 EFGH的 两 组 对 边 平 行 ， 即 可 得 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ， 再 由 线 面 垂 直 的 判 断 和 性 质 得 到 AD BC，结 合 异 面 直 线 所 成 角 的 概 念 得 到 EF EH

19、， 从 而 证 得 结 论 ；( )分 别 以 DB， DC， DA所 在 直 线 为 x， y， z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 所 用 点 的 坐 标 ，求 出 及 平 面 EFGH 的 一 个 法 向 量 ， 用 与 所 成 角 的 余 弦 值 的 绝 对 值 得 直 线 AB与 平 面EFGH夹 角 的 正 弦 值 .答 案 ： ( )由 三 视 图 可 知 ， 四 面 体 ABCD的 底 面 BDC 是 以 BDC为 直 角 的 等 腰 直 角 三 角 形 ，且 侧 棱 AD 底 面 BDC.如 图 ， AD 平 面 EFGH， 平 面 ADB 平 面 EFG

20、H=EF， AD平 面 ABD， AD EF. AD 平 面 EFGH， 平 面 ADC 平 面 EFGH=GH， AD平 面 ADC， AD GH.由 平 行 公 理 可 得 EF GH. BC 平 面 EFGH， 平 面 DBC 平 面 EFGH=FG， BC平 面 BDC， BC FG. BC 平 面 EFGH， 平 面 ABC 平 面 EFGH=EH， BC平 面 ABC， BC EH.由 平 行 公 理 可 得 FG EH. 四 边 形 EFGH为 平 行 四 边 形 .又 AD 平 面 BDC， BC平 面 BDC， AD BC， 则 EF EH. 四 边 形 EFGH是 矩 形

21、； ( )分 别 以 DB， DC， DA 所 在 直 线 为 x， y， z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，由 三 视 图 可 知 DB=DC=2， DA=1.又 E 为 AB 中 点 ， F， G分 别 为 DB， DC中 点 . A(0， 0， 1)， B(2， 0， 0)， F(1， 0， 0)， E(1， 0， )， G(0， 1， 0).则 .设 平 面 EFGH的 一 个 法 向 量 为 .由 ， 得 ， 取 y=1， 得 x=1. . 则 sin =|cos |= = = .20.(12分 )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 点 A(1， 1)， B(2

22、， 3)， C(3， 2)， 点 P(x， y)在 ABC三 边 围 成 的 区 域 (含 边 界 )上 .( )若 + + = ， 求 | |；( )设 =m +n (m， n R)， 用 x， y 表 示 m-n， 并 求 m-n的 最 大 值 .解 析 ： ( )先 根 据 + + = ， 以 及 各 点 的 坐 标 ， 求 出 点 p的 坐 标 ， 再 根 据 向 量 模 的 公式 ， 问 题 得 以 解 决 ； ( )利 用 向 量 的 坐 标 运 算 ， 先 求 出 ， ， 再 根 据 =m +n ， 表 示 出 m-n=y-x， 最 后结 合 图 形 ， 求 出 m-n的 最 小

23、 值 .答 案 ： ( ) A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)， + + = ， (x-1， y-1)+(x-2， y-3)+(x-3， y-2)=0， 3x-6=0， 3y-6=0， x=2， y=2， 即 =(2， 2)， ，( ) A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)， ， ， =m +n ， (x， y)=(m+2n， 2m+n)， x=m+2n， y=2m+n， m-n=y-x，令 y-x=t， 由 图 知 ， 当 直 线 y=x+t过 点 B(2， 3)时 ， t取 得 最 大 值 1， 故 m-n的 最 大 值 为 1. 21.(12分 )在 一 块

24、 耕 地 上 种 植 一 种 作 物 ， 每 季 种 植 成 本 为 1000元 ， 此 作 物 的 市 场 价 格 和 这块 地 上 的 产 量 均 具 有 随 机 性 ， 且 互 不 影 响 ， 其 具 体 情 况 如 下 表 ：( )设 X 表 示 在 这 块 地 上 种 植 1 季 此 作 物 的 利 润 ， 求 X 的 分 布 列 ；( )若 在 这 块 地 上 连 续 3季 种 植 此 作 物 ， 求 这 3季 中 至 少 有 2季 的 利 润 不 少 于 2000 元 的 概率 .解 析 ： ( )分 别 求 出 对 应 的 概 率 ， 即 可 求 X的 分 布 列 ； ( )分

25、 别 求 出 3季 中 有 2季 的 利 润 不 少 于 2000元 的 概 率 和 3季 中 利 润 不 少 于 2000元 的 概 率 ，利 用 概 率 相 加 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： ( )设 A表 示 事 件 “ 作 物 产 量 为 300kg” ， B 表 示 事 件 “ 作 物 市 场 价 格 为 6 元 /kg” ，则 P(A)=0.5， P(B)=0.4， 利 润 =产 量 市 场 价 格 -成 本 ， X 的 所 有 值 为 ：500 10-1000=4000， 500 6-1000=2000，300 10-1000=2000， 300 6-1000=800，则

26、 P(X=4000)=P( )P( )=(1-0.5) (1-0.4)=0.3，P(X=2000)=P( )P(B)+P(A)P( )=(1-0.5) 4+0.5(1-0.4)=0.5，P(X=800)=P(A)P(B)=0.5 0.4=0.2，则 X 的 分 布 列 为 ： ( )设 Ci表 示 事 件 “ 第 i 季 利 润 不 少 于 2000元 ” (i=1， 2， 3)， 则 C1， C2， C3相 互 独 立 ，由 ( )知 ， P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1， 2， 3)，3季 的 利 润 均 不 少 于 2000的 概 率 为

27、 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512，3季 的 利 润 有 2季 不 少 于 2000的 概 率 为P( C2C3)+P(C1 C3)+P(C1C2 )=3 0.82 0.2=0.384， 综 上 ： 这 3 季 中 至 少 有 2 季 的 利 润 不 少 于 2000元 的 概 率 为 ： 0.512+0.384=0.896.22.(13分 )如 图 ， 曲 线 C由 上 半 椭 圆 C1： + =1(a b 0， y 0)和 部 分 抛 物 线 C2：y=-x2+1(y 0)连 接 而 成 ， C1与 C2的 公 共 点 为 A， B， 其 中 C1的

28、 离 心 率 为 . ( ) 求 a， b 的 值 ；( )过 点 B的 直 线 l与 C1， C2分 别 交 于 点 P， Q(均 异 于 点 A， B)， 若 AP AQ， 求 直 线 l 的 方程 .解 析 ： ( )在 C1、 C2的 方 程 中 ， 令 y=0， 即 得 b=1， 设 C1： 的 半 焦 距 为 c， 由 = 及 a2-c2=b2=1得 a=2；( )由 ( )知 上 半 椭 圆 C 1的 方 程 为 +x2=1(y 0)， 设 其 方 程 为 y=k(x-1)(k 0)， 代 入 C1的 方 程 ， 整 理 得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设 点

29、 P(xp， yp)， 依 题 意 ， 可 求 得 点 P的 坐 标 为( ， )； 同 理 可 得 点 Q 的 坐 标 为 (-k-1， -k2-2k)， 利 用 =0， 可 求 得 k 的值 ， 从 而 可 得 答 案 .答 案 ： ( )在 C 1、 C2的 方 程 中 ， 令 y=0， 可 得 b=1， 且 A(-1， 0)， B(1， 0)是 上 半 椭 圆 C1的左 右 顶 点 .设 C1： 的 半 焦 距 为 c， 由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a=2. a=2， b=1.( )由 ( )知 上 半 椭 圆 C1的 方 程 为 +x2=1(y 0).易 知 ， 直 线 l

30、 与 x 轴 不 重 合 也 不 垂 直 ， 设 其 方 程 为 y=k(x-1)(k 0)，代 入 C 1的 方 程 ， 整 理 得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设 点 P(xp， yp)， 直 线 l 过 点 B， x=1 是 方 程 (*)的 一 个 根 ，由 求 根 公 式 ， 得 xp= ， 从 而 yp= ， 点 P的 坐 标 为 ( ， ). 同 理 ， 由 得 点 Q 的 坐 标 为 (-k-1， -k2-2k)， = (k， -4)， =-k(1， k+2)， AP AQ， =0， 即 k-4(k+2)=0， k 0， k-4(k+2)=0， 解 得 k=

31、- .经 检 验 ， k=- 符 合 题 意 ， 故 直 线 l 的 方 程 为 y=- (x-1)， 即 8x+3y-8=0. 23.(14分 )设 函 数 f(x)=ln(1+x)， g(x)=xf (x)， x 0， 其 中 f (x)是 f(x)的 导 函 数 .( )令 g1(x)=g(x)， gn+1(x)=g(gn(x)， n N+， 求 gn(x)的 表 达 式 ；( )若 f(x) ag(x)恒 成 立 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 ；( )设 n N+， 比 较 g(1)+g(2)+ +g(n)与 n-f(n)的 大 小 ， 并 加 以 证 明 .解 析 ： ( )

32、由 已 知 ， ， 可 得 用 数 学 归 纳 法 加 以 证 明 ；( )由 已 知 得 到 ln(1+x) 恒 成 立 构 造 函 数 (x)=ln(1+x)- (x 0)， 利 用 导 数 求 出函 数 的 最 小 值 即 可 ； ( )在 ( )中 取 a=1， 可 得 ， 令 则 ， n 依 次取 1， 2， 3 ， 然 后 各 式 相 加 即 得 到 不 等 式 .答 案 ： 由 题 设 得 ，( )由 已 知 ， ， ， 可 得 ，下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 . 当 n=1 时 ， ， 结 论 成 立 . 假 设 n=k时 结 论 成 立 ， 即 ，那 么 n=k+1

33、时 ， = 即结 论 成 立 .由 可 知 ， 结 论 对 n N +成 立 .( )已 知 f(x) ag(x)恒 成 立 ， 即 ln(1+x) 恒 成 立 .设 (x)=ln(1+x)- (x 0)， 则 (x)= ，当 a 1 时 ， (x) 0(仅 当 x=0， a=1时 取 等 号 成 立 )， (x)在 0， + )上 单 调 递 增 ，又 (0)=0， (x) 0在 0， + )上 恒 成 立 . 当 a 1 时 ， ln(1+x) 恒 成 立 ， (仅 当 x=0时 等 号 成 立 )当 a 1 时 ， 对 x (0， a-1有 (x) 0， (x)在 (0， a-1上 单 调 递 减 ， (a-1) (0)=0.即 当 a 1 时 存 在 x 0 使 (x) 0， 故 知 ln(1+x) 不 恒 成 立 ，综 上 可 知 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (- ， 1.( )由 题 设 知 ， g(1)+g(2)+ +g(n)= ，n-f(n)=n-ln(n+1)，比 较 结 果 为 g(1)+g(2)+ +g(n) n-ln(n+1)，证 明 如 下 ： 上 述 不 等 式 等 价 于 ，在 ( )中 取 a=1， 可 得 ，令 则 ， 故 有 ， ln3-ln2 ， ， ，上 述 各 式 相 加 可 得 结 论 得 证 .